Elliptic Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Wolfgang Hackbusch

出品人:

页数:311

译者:

出版时间:2003-08-01

价格:USD 129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540548225

丛书系列:

图书标签:

偏微分方程
椭圆型方程
数学分析
常微分方程
泛函分析
数值分析
应用数学
PDE
微分几何
理论物理

下载链接在页面底部

facebook linkedin mastodon messenger pinterest reddit telegram twitter viber vkontakte whatsapp 复制链接

想要找书就要到小哈图书下载中心

qciss.net

立刻按 ctrl+D收藏本页

你会得到大惊喜!!

具体描述

The book offers a simultaneous presentation of the theory and of the numerical treatment of elliptic problems. The author starts with a discussion of the Laplace equation in the classical formulation and its discretisation by finite differences and deals with topics of gradually increasing complexity in the following chapters. He introduces the variational formulation of boundary value problems together with the necessary background from functional analysis and describes the finite element method including the most important error estimates. A more advanced chapter leads the reader into the theory of regularity. The reader will also find more details about the discretisation of singularly perturbed equations and eigenvalue problems. The author discusses the Stokes problem as an example of a saddle point problem taking into account its relevance to applications in fluid dynamics.

几何、拓扑与分析的交汇：现代数学理论的深度探索本书旨在为高等数学、理论物理以及相关工程领域的专业人士和高级研究生，提供一套严谨、深入且富有洞察力的数学工具与理论框架。它聚焦于那些在纯粹数学研究和前沿应用科学中扮演核心角色的关键领域，特别是几何结构、拓扑不变量、非线性分析以及动力系统。本书的叙事逻辑清晰，从基础概念出发，逐步构建起复杂理论的宏伟殿堂，强调概念间的内在联系和数学推理的严密性。第一部分：黎曼几何与微分流形基础本书的起点建立在现代微分几何的坚实基础之上。我们首先系统回顾和深化了微分流形的概念，不仅限于光滑结构，更深入探讨了可微结构的拓扑先决条件和分类理论。重点分析了切空间、向量场以及张量代数在流形上的自然推广，为后续的微分几何研究奠定代数基础。黎曼度量的引入是本部分的核心。我们详细阐述了黎曼度量的定义、度量张量、提升结构以及联络的概念。特别关注克里斯托费尔符号的几何意义，以及它们如何导出测地线方程。通过对测地线的深入分析，读者将掌握如何在弯曲空间中理解“直线”的概念。本部分随后转向更高级的几何概念：黎曼曲率张量：详细推导和分析曲率张量的定义、分解（如魏尔张量），以及其在衡量空间弯曲程度上的关键作用。我们将探讨里奇曲率和截面曲率，并结合实例说明曲率如何影响空间的拓扑性质。完备性与空间结构：讨论霍普夫-林登鲍姆定理，探讨完备黎曼流形的结构特征，以及同胚与等距之间的微妙关系。拓扑与几何的联系：介绍高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem）的深刻内涵，展示积分几何如何与流形的拓扑不变量（如欧拉示性数）紧密相连。这部分内容旨在培养读者从局部微分结构推断全局拓扑性质的能力。第二部分：拓扑学导论与奇异性理论本部分将视野从光滑结构拓展到更广阔的拓扑空间，侧重于不变性的提取和定性分析。基础拓扑概念的复习被提升到更高的抽象层次，重点关注同伦群和同调群。我们详细讲解了单纯复形的构造，以及链复形的代数结构，如何通过摩尔斯同调（Morse Homology）与微分结构实现耦合。读者将学习如何利用这些代数不变量来区分拓扑空间。奇异性理论是现代数学中理解函数空间和几何形变的关键工具。本书对以下方面进行了详尽阐述：局部结构与稳定映射：分析光滑映射在临界点处的行为。引入判别式和局部二面体的概念，并介绍阿诺德的奇点分类（如晕、脐、燕尾等），这对于理解奇点的“稳定”属性至关重要。莫尔斯引理与极值原理：深入探讨莫尔斯函数在流形上的应用，展示如何通过分析梯度流的莫尔斯指数来推导流形的拓扑信息。我们将应用此理论于临界点的分类和排序。第三部分：非线性泛函分析与变分法本部分转向对无限维空间中的函数空间进行分析，这是理解物理场方程和优化问题的基础。巴拿赫空间与希尔伯特空间的理论被系统地回顾，重点在于有界线性算子和紧算子的性质。我们详细论述了索伯列夫空间的构造，解释了其在处理偏微分方程中的“弱解”概念上的优越性，特别是 Sobolev 嵌入定理的细微差别及其在边界条件处理中的重要性。变分法是连接几何和分析的桥梁。本书的核心在于泛函的变分原理：欧拉-拉格朗日方程的推导：从作用量泛函出发，严格推导出描述系统演化的微分方程。直接法与能量泛函：系统阐述庞加莱-林登斯特劳斯不等式（Poincaré-Lindenstrauss inequality）及其在建立解的存在性方面的应用。拉格朗日乘子法在无限维空间中的推广：处理等式约束下的极值问题，并讨论变分中的紧性问题，这是证明解存在性的关键障碍。我们将分析直接法在Dirichlet能量泛函上的应用。第四部分：动力系统与稳定性理论本书最后一部分聚焦于由微分方程描述的演化过程，即动力系统的定性分析。流（Flow）与积分曲线的概念构成了基础。我们对相空间、吸引子、不动点和周期轨道进行了细致的考察。线性化稳定性分析是分析局部行为的强大工具。我们详细分析了雅可比矩阵在不动点附近的特征值分析，特别是中心流形理论（Center Manifold Theory）的构建，它允许我们将复杂的局部动力学简化为低维流形上的研究。混沌与分支理论是本部分的亮点：庞加莱截面：介绍如何利用高维系统的截面来揭示复杂动力学行为（如周期轨道的倍化序列）。分岔分析：系统研究系统参数变化时，平衡点性质的突变。我们详细探讨了鞍结分岔、超临界/亚临界霍普夫分岔的数学机制，以及洛伦兹吸引子的拓扑结构如何从基本分岔中涌现。本书的特色在于其跨学科的深度整合。它不仅是微分几何、拓扑学和分析学的教科书，更是一部关于如何利用这些工具来理解复杂系统中内在结构和演化规律的专著。通过大量的定理证明、细致的例子和对关键概念的哲学性反思，本书为读者提供了一条通往现代数学前沿研究的坚实路径。