Second Order Parabolic Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Publishing Company

作者:Gary M. Lieberman

出品人:

页数:439

译者:

出版时间:1996-12

价格:USD 68.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9789810228835

丛书系列:

图书标签:

• parabolic
• 偏微分方程
• 抛物型方程
• 二阶方程
• 数值分析
• 有限差分法
• 有限元法
• 稳定性分析
• 谱方法
• 数学物理方程
• 应用数学

好的，这是一份关于一本名为《Second Order Parabolic Differential Equations》的图书的详细简介，但其中不包含任何与该主题直接相关的内容，旨在展示一本聚焦于其他领域的数学专著可能具有的深度和广度。 --- 《几何拓扑中的微分几何与流形理论》 作者：[虚构作者名] 出版社：[虚构出版社名] 装帧：精装，620页，附录与索引 内容概述 本书深入探讨了现代数学物理与纯数学交叉领域中的一个核心主题——微分几何与黎曼几何在拓扑结构分析中的应用。它并非聚焦于偏微分方程的经典解法或特定物理模型的建立，而是将重点放在了流形作为基础框架的构建、内在几何性质的度量，以及由此衍生出的代数拓扑不变量的计算方法上。本书旨在为研究生、博士后研究人员以及需要将先进几何工具应用于理论物理或复杂系统分析的工程师提供一本全面而深入的参考书。 全书的叙事逻辑从基础的拓扑空间概念出发，稳步过渡到光滑流形的定义，随后深入研究了切丛、张量代数以及向量场的动力学。其核心贡献在于系统地阐述了如何利用共变导数和黎曼曲率张量来刻画流形的局部几何结构，并探讨了这些结构如何影响全局拓扑性质。 核心章节详解 第一部分：基础构造与光滑结构 (Pages 1-150) 本部分奠定了全书的理论基石。首先，详细回顾了一般拓扑空间的性质，特别是紧性、连通性以及度量空间的完备性。随后，重点过渡到光滑流形的构建：从局部坐标图、转移映射的平滑性要求，到向量场的严格定义。 1.1 拓扑空间与构造性定义： 强调了开集、紧致化过程，并引入了层论（Sheaf Theory）的基础概念，用以描述流形上局部定义的函数的“粘合”机制。 1.2 微分形式与外代数： 详尽阐述了微分 $k$-形式的定义、楔积运算及其在流形上的推广。重点分析了外微分算子 $d$ 的性质，特别是 $d^2 = 0$ 这一关键的代数恒等式，并以此为桥梁引入了德拉姆上同调的概念框架。 1.3 切丛与切向量场： 深入讨论了切丛的构造，以及它如何作为流形上所有切空间的“总体”。向量场的定义不仅限于其在坐标系下的分量表达，更重要的是其作为导子（Derivation）的内在属性。 第二部分：度量几何与曲率理论 (Pages 151-350) 这是全书的几何核心部分，专注于如何为流形赋予“长度”和“角度”的概念，即黎曼度量。 2.1 黎曼度量张量的定义与性质： 明确了黎曼度量 $g$ 作为一个在每个切空间上的正定二次型，以及它如何诱导出流形上的内积。重点分析了度量张量在不同坐标变换下的协变性。 2.2 联络与协变导数： 详细介绍了仿射联络（Affine Connection）的公理化定义，特别是如何从度量张量中唯一导出列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），该联络的无挠性和度量兼容性是后续所有几何计算的基础。 2.3 曲率的代数与几何含义： 建立了黎曼曲率张量 $R$ 的定义，并详细分析了其代数恒等式（如第一和第二比安基恒等式）。本章深入探讨了截面曲率（Sectional Curvature）、里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）之间的关系，并讨论了曲率张量如何揭示流形在局部“弯曲”的程度。 第三部分：测地线、体积形式与拓扑关联 (Pages 351-500) 本部分将局部几何结构与全局拓扑特性联系起来，重点关注运动轨迹和不变量。 3.1 测地线方程与变分原理： 将测地线视为连接两点的“最短路径”，并基于长度泛函的变分原理推导出测地线方程。探讨了指数映射（Exponential Map）的性质及其在邻域内的局部性质。 3.2 体积形式与霍奇理论： 建立了体积形式 $mu$ 的定义，它依赖于度量张量的行列式。随后，将重点转向德拉姆上同调与霍奇理论的结合，解释了闭微分形式如何分解为调和形式、微分形式和代数噪声。详细讨论了霍奇定理的内涵，即 Betti 数与流形拓扑结构之间的深刻联系。 3.3 拓扑不变量的计算： 本章聚焦于如何利用曲率信息计算全局拓扑特征。高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem）的推广形式（例如，应用于二维流形）被详细推导，展示了曲率积分如何直接关联于欧拉示性数。 第四部分：特定几何结构与高级主题 (Pages 501-620) 最后一部分涉及几种具有特殊性质的流形结构，并对前述理论的应用进行了展望。 4.1 卡拉比-丘流形与凯勒几何： 详细介绍了凯勒流形的定义，这是复几何中的关键结构。重点分析了卡拉比猜想的背景，以及在紧致凯勒流形上 Ricci 曲率的特殊行为。 4.2 辛几何简介： 简要介绍了辛形式的定义及其保持体积的性质，探讨了在泊松括号下李导数与辛形式的关系，为相空间理论提供了几何基础。 4.3 曲率的谱理论展望： 讨论了谱几何的基本思想，即流形上的拉普拉斯-德拉姆算子（Laplacian-de Rham Operator）的特征值谱如何编码流形的几何和拓扑信息，为读者指明了前沿研究的方向。 本书特色 本书的特点在于其严格的数学推导和对概念内在逻辑的强调。作者避免了对瞬态物理问题的直接求解，而是致力于构建一个稳定、自洽的几何框架。每章末尾均附有若干挑战性的练习题，旨在巩固读者对张量代数和微分外算子操作的熟练程度。全书配有大量的图示，用以清晰地解释高维几何概念的直观图像。 ---

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