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出版者:Davis Mathematics Press

作者:Sherman K. Stein

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1984-03

价格:USD 16.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9780916327002

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 初等数学
• 基础数学
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好的，这是一本名为《高等几何学：从欧几里得到黎曼》的图书简介，它完全不包含《Elementary Algebra》中的内容，且力求内容详实、自然流畅。 --- 《高等几何学：从欧几里得到黎曼》 —— 空间、结构与维度的深度探寻 导言：超越平面的视觉革命 自古以来，人类对“形状”与“位置”的理解，便奠定了我们认识世界的基础。然而，当我们试图用严格的逻辑和精密的语言去捕捉这种直觉时，我们发现，那个由欧几里得在两千多年前构建的、建立在五条公理之上的平面世界，仅仅是无限几何图景中的一个宁静角落。 《高等几何学：从欧几里得到黎曼》是一部旨在带领读者跨越经典范式，深入现代数学核心领域——高等几何学的综合性著作。本书摒弃了初级代数运算的窠臼，聚焦于空间结构的内在属性、连续性的拓扑本质，以及弯曲空间在物理学与纯数学中的深刻应用。我们不关注基础的线性方程求解或多项式分解，而是着眼于如何用群论、微分形式和流形理论来描述宇宙的宏大几何框架。 本书的写作风格，既注重严谨的数学推导，更强调几何直觉的培养。我们相信，真正的几何学家不仅能计算，更能在高维抽象空间中“看到”结构。 第一部分：欧几里得体系的再审视与非欧几何的诞生 (The Classical Roots and the Rupture) 本部分将以审慎的态度回顾欧几里得几何的逻辑完备性，但重点将迅速转向其第五公设——平行公理——的不可动摇性所引发的数学危机。我们不会花费篇幅讨论初级的平面图形面积或周长计算。 1.1 欧几里得的逻辑基石与阿基米德的遗留问题： 详细分析《几何原本》的公理系统，侧重于其对“点”、“线”、“面”定义的内在限制。 1.2 罗巴切夫斯基与黎曼的独立探索： 深入探讨双曲几何（Hyperbolic Geometry）和椭圆几何（Elliptic Geometry）的构建过程。重点在于如何替换平行公设，以及由此产生的三角学（如双曲余弦定理和球面积公式）与欧氏几何的根本差异。读者将看到，在这些非欧空间中，三角形内角和不再是恒定的 $pi$ 弧度。 1.3 射影几何学的诞生： 引入透视变换的概念，研究不随视点改变的几何不变量（如交比 Cross-Ratio）。射影几何提供了一种更具弹性的视角，它揭示了欧氏、仿射乃至双曲几何之间通过“无穷远”概念联系起来的内在层级结构。 第二部分：从欧几里得空间到拓扑学的桥梁 (Bridging to Modernity: Linear Spaces and Topology) 本部分是通往现代微分几何的基石。我们将从线性的向量空间出发，逐步提升抽象层次，进入研究“连续性”和“邻近性”的领域。 2.1 抽象向量空间与线性变换的深层结构： 聚焦于有限维和无限维向量空间（如函数空间）的性质。本书将详细分析特征值、特征向量的几何意义，以及伴随矩阵和合同变换，这些工具是理解张量分析的前提。（注：本书不涉及初级线性方程组的求解技巧。） 2.2 度量空间的引入与拓扑学的萌芽： 严格定义度量空间（Metric Space），探究开集、闭集、紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）这些拓扑基本概念。这些概念是描述“形状”在连续形变下保持不变性的语言。 2.3 流形概念的初步构建： 介绍拓扑流形（Topological Manifold）的概念，即局部看起来像欧氏空间的拓扑空间。我们将讨论映射的局部性质，为后续的微分结构打下基础。这部分将着重于“维度”的拓扑定义。 第三部分：微分几何的核心：流形、张量与曲率 (The Heart of Modern Geometry: Manifolds and Curvature) 这是本书最核心的部分，它将几何学从静态的欧氏描述提升到了动态的、由曲率驱动的现代框架。 3.1 光滑流形与切空间： 定义光滑结构（Smooth Structure）。关键概念是切空间（Tangent Space）的构建，它允许我们在一个弯曲的点上“暂时”应用线性代数工具。我们将通过坐标变换来理解张量（Tensors）——那些在坐标系选择下保持不变的几何量。 3.2 黎曼几何的奠基：度量张量与测地线： 黎曼几何是处理弯曲空间（如球面或更复杂的四维时空）的数学工具。我们引入黎曼度量张量 $g_{ij}$，它定义了空间中任意两点之间的“距离”和“角度”。重点分析测地线（Geodesics）——弯曲空间中的“最短路径”——并推导出它们的运动方程。 3.3 黎曼曲率张量与高斯绝妙定理的推广： 曲率是衡量空间弯曲程度的内在量度。我们将详细推导黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor $R^i_{jkl}$），分析其代数对称性，并展示如何用它来判断一个空间是平坦（如欧氏空间）还是弯曲（如球面）。高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的现代诠释，展示了曲率如何成为一个内禀（Intrinsic）的几何量。 第四部分：几何学的现代应用与延伸 (Frontiers of Geometry) 本部分探讨高等几何学如何渗透到物理学的前沿和更抽象的数学领域。 4.1 向量场、微分形式与外微分： 引入微分形式（Differential Forms）——一种比向量场更强大的工具，它们与积分和微分方程的求解密切相关。重点讨论外微分（Exterior Differentiation）和德拉姆上同调（De Rham Cohomology），这些工具在电磁场理论和拓扑学中具有核心地位。 4.2 纤维丛与规范场论（Gauge Theory）： 介绍纤维丛（Fiber Bundles）的概念，它允许我们将局部结构（如向量空间）“粘合”到流形上。这将自然地引出对物理学中规范场（如电磁力、弱核力）的几何理解，其中几何结构本身携带了物理定律。 4.3 拓扑学与几何的交汇： 简要介绍辛几何（Symplectic Geometry）在哈密顿力学中的作用，以及代数几何的影子——从光滑流形到代数簇的转变，展示几何学的广阔图景。 结语 《高等几何学：从欧几里得到黎曼》旨在为具有扎实预备知识的读者提供一个从基础公理到前沿理论的完整地图。本书没有涉及任何关于基础代数运算、求解线性方程组或处理初级函数和多项式的章节。相反，它要求读者运用其全部的逻辑推理能力，去驾驭无限维度的抽象空间，去理解决定宇宙形态的内在几何法则。这是一次对“空间本质”的严肃而深刻的哲学与数学探险。

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这本书的名字叫《Elementary Algebra》，我一直对代数领域有着浓厚的兴趣，所以当我在书店看到这本书时，我感到非常惊喜。我翻阅了几页，发现它涵盖了代数的基础知识，从变量、方程到不等式，再到函数和图表。这本书的语言非常清晰易懂，即使是对代数不太熟悉的人也能轻松理解。我特别欣赏书中丰富的例子和练习题，它们能够帮助我巩固所学的知识，并且让我有机会去应用这些概念。作者在讲解每一个概念时都循序渐进，从最简单的例子开始，逐步深入到更复杂的应用。这种教学方法对于初学者来说非常友好，能够有效地建立起学习的信心。而且，书中的排版也很舒适，字体大小适中，页面布局合理，阅读起来不会感到疲惫。我尤其喜欢其中一些小贴士和“你知道吗？”的板块，它们为代数知识增添了一些趣味性，也提供了更深入的思考方向。我感觉这本书不仅仅是知识的传授，更像是一个循循善诱的老师，引导我一步步地探索代数的奥秘。

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我在阅读《Elementary Algebra》的过程中，深刻体会到了作者在编排内容上的匠心独具。这本书的叙述方式非常引人入胜，它不仅仅是在罗列公式和定理，而是通过生动有趣的语言，将抽象的代数概念转化为一个个生动的故事，让我仿佛置身于一个充满探索乐趣的数学世界。我印象最深刻的是关于二次方程的部分，作者用非常形象的比喻来解释判别式的意义，并且详细分析了不同判别式值所对应的根的性质，这让我对这个看似枯燥的概念有了全新的认识。同时，书中对函数概念的引入也相当巧妙，从简单的线性函数到更复杂的二次函数，都配有丰富的图示和实际应用案例，让我能够直观地理解函数的变化规律及其在现实生活中的作用。这本书的练习题设计得非常巧妙，难易程度梯度明显，既能巩固基础，又能挑战思维，让我能够不断突破自己的学习瓶颈。我感觉这本书的价值远不止于教授代数知识，它更在于培养读者对数学的兴趣和逻辑思维能力。

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在我看来，《Elementary Algebra》这本书最大的亮点在于其高度的实用性和启发性。它不仅仅是一本理论教材，更是一本能够引导读者解决实际问题的指南。我注意到书中花了相当大的篇幅来讲解如何将代数知识应用于解决实际问题，例如在经济学、物理学甚至日常生活中的各种场景。这让我深刻体会到代数不仅仅是抽象的符号和公式，更是我们理解和改造世界的重要工具。作者在讲解比例和百分比的应用时，提供了非常多样的真实数据和案例，让我能够清晰地看到代数在数据分析和决策中的重要作用。此外，书中对于一些易错点的提示和常见的解题误区也进行了深入的剖析，这对于提高解题的准确性和效率非常有帮助。阅读这本书，我感觉自己不仅仅是在学习代数，更是在学习一种解决问题的思维方式。书中的每一个章节都好像打开了一扇新的大门，让我能够看到代数在不同领域的神奇应用。

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作为一名长期接触数学领域的人，我总是想方设法寻找能够拓展我视野和深化我理解的资料。《Elementary Algebra》这本书，虽然名字听起来基础，但其内容的深度和广度却让我感到意外。我注意到它在介绍基础概念的同时，并没有停留在表面，而是深入挖掘了这些概念背后的逻辑和原理。书中对多项式运算的讲解，特别是因式分解的部分，逻辑严谨，条理清晰，提供了多种解题思路，这对我来说非常有价值。此外，它对线性方程组的系统性介绍，以及如何利用图形法和代入法、消元法来求解，都展现了作者深厚的数学功底和教学经验。我惊喜地发现，书中还涉及了一些稍有难度的应用题，这些题目不仅考察了学生对基本概念的掌握，更锻炼了他们分析问题和解决问题的能力。书中的插图和图表也很恰当地辅助了概念的阐释，使得抽象的代数概念变得更加直观。总的来说，这本书的编排结构紧凑，内容丰富，并且在细节处体现了作者的用心，是一本值得反复品读的优秀教材。

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坦白说，我一开始对《Elementary Algebra》这本书并没有抱太高的期望，认为它可能就是一本普通的入门教材。然而，在深入阅读之后，我发现这本书的深度和广度远远超出了我的想象。作者在讲解代数表达式的化简时，不仅列出了各种技巧，还详细解释了每种技巧背后的数学原理，这让我对代数运算有了更深刻的理解，而不仅仅是机械地记忆和套用公式。书中对不等式部分的阐述也十分细致，从一元一次不等式到一元二次不等式，再到涉及绝对值的复杂不等式，都提供了清晰的解题步骤和方法，并且用图示的方式加以说明，这大大降低了学习难度。我尤其欣赏书中关于“代数推理”的讨论，它鼓励读者不仅要计算出结果，更要理解每一步推理的逻辑性和合理性。这种注重思维训练的教学方式，对于培养学生严谨的数学素养至关重要。总的来说，这本书的每一个细节都透露出作者的严谨和用心，它不仅仅是一本学习代数的工具书，更是一本能够激发读者对数学深刻思考的启迪之作。

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