An introduction to differential equations to accompany Stein/Barcellos, Calculus and analytic geomet pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:McGraw-Hill

作者:Sherman K Stein

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1994

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780070612556

丛书系列:

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• 微分方程
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• 数学分析
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《常微分方程导论》 内容简介 本书旨在为学习常微分方程的读者提供一个全面且深入的介绍。全书结构清晰，内容组织严谨，旨在帮助读者不仅掌握求解微分方程的各种技术和方法，更能理解微分方程在描述自然界和社会现象中的核心作用和数学原理。本书的叙述风格力求清晰易懂，同时不失数学的严谨性，特别注重培养读者的分析思维和解决实际问题的能力。 全书共分为若干章节，逐步展开常微分方程的理论和应用。 第一部分：基础与一阶方程 开篇部分聚焦于微分方程的基本概念、术语和分类。我们详细介绍了什么是微分方程，包括其阶数、线性与非线性、齐次与非齐次等基本属性。通过大量的实例，展示微分方程在物理学、工程学、生物学等领域的广泛应用背景，奠定学习的基础。 随后，我们将深入探讨一阶常微分方程的求解方法。这部分内容是理解更高阶方程的基础。我们将系统地介绍以下几种核心类型及其解法： 1. 变量可分离方程： 这是最基本的一类，通过简单的积分即可求解。我们详细分析了如何识别和处理这类方程，并探讨了其在简单增长与衰减模型中的应用。 2. 恰当（精确）方程与积分因子法： 引入微分形式的概念，教授读者如何判断一个一阶方程是否恰当，以及如何通过引入积分因子将其转化为恰当方程进行求解。这部分内容对培养形式感和计算技巧至关重要。 3. 线性一阶方程： 重点讲解使用积分因子法求解标准形式的线性一阶微分方程 $y' + P(x)y = Q(x)$。我们将详细推导积分因子的来源和性质。 4. 伯努利方程： 介绍一类特殊的非线性方程，并通过代换法将其转化为线性方程进行求解的技巧。 5. 特殊函数与数值解法： 对于那些难以求出解析解的方程，本书引入了数值方法。我们将详细介绍欧拉法（Euler's Method）及其改进形式——改进欧拉法（Improved Euler Method），这些方法为读者理解计算机求解微分方程的原理奠定了基础。 第二部分：线性常微分方程的理论与求解 本部分是全书的核心，专注于线性常微分方程，特别是二阶及更高阶的线性方程。线性方程因其良好的性质，成为研究和应用中的重要对象。 1. 二阶线性方程的基础理论： 详细阐述线性方程的叠加原理、解空间的结构（由通解和特解构成）、朗斯基行列式（Wronskian）在判断解的线性无关性中的作用。 2. 齐次线性方程的求解： 重点讨论常系数齐次线性方程 $ay'' + by' + cy = 0$。我们详细分析了特征方程（辅助方程）的三种情况（实根、复根、重根）对应的通解形式，并给出清晰的推导和案例分析。 3. 非齐次线性方程的求解： 针对非齐次项 $g(x)$ 的不同形式，介绍两种主要的求解方法： 待定系数法（Method of Undetermined Coefficients）： 适用于多项式、指数函数、正弦和余弦函数的组合形式，详细列出不同 $g(x)$ 对应的特解形式，并讲解“修改规则”（Modification Rule）。 参数变易法（Variation of Parameters）： 这种方法更加通用，适用于任何连续的 $g(x)$，即便系数不为常数时也适用（尽管本书主要集中在常系数情况）。我们将完整推导参数变易法的公式。 4. 高阶线性方程： 将上述概念推广到 $n$ 阶常系数线性微分方程的求解，包括特征方程的根与通解的关系。 第三部分：应用、拉普拉斯变换与系统 这一部分将理论与实际应用紧密结合，并引入强大的数学工具。 1. 应用： 集中展示线性微分方程在物理系统中的应用，包括： 机械振动： 自由振动（无阻尼、有阻尼）和受迫振动（包括共振现象）。 RLC电路分析： 利用二阶线性微分方程描述电路中的电流和电压变化。 2. 拉普拉斯变换（Laplace Transforms）： 这是一个极其实用的工具，尤其擅长处理带有不连续输入（如开关信号、冲击函数）的初值问题。 我们详细介绍拉普拉斯变换的基本性质（线性性、时移性、导数变换等）。 重点讲解如何利用拉普拉斯逆变换求解带有初始条件的线性常系数微分方程，包括处理阶跃函数（Heaviside Function）和狄拉克函数（Dirac Delta Function）的情形。 3. 线性微分方程组： 介绍如何用矩阵方法来分析和求解线性常系数微分方程组。 引入相平面分析的概念，特别是对于二元系统。 使用特征值和特征向量来求解线性系统，分析系统的稳定性和行为（结点、鞍点、焦点等）。 第四部分：级数解法与特殊函数 当微分方程的系数不是常数，或者无法使用上述标准方法求解时，级数解法成为关键。 1. 幂级数解法： 介绍在常点（ordinary points）附近使用幂级数 $y = sum_{n=0}^{infty} a_n (x-x_0)^n$ 来寻找通解的方法。详细讲解如何确定系数 $a_n$ 的递推关系。 2. 弗罗贝尼乌斯方法（Frobenius Method）： 专门用于处理正则奇点（regular singular points）。我们将详细介绍如何使用该方法找到至少两个线性无关的级数解，包括欧拉方程（Cauchy-Euler Equation）作为特例。 学习目标与特色 本书的特点在于： 理论与实践并重： 每部分都穿插了大量的实际应用案例，帮助读者理解“为什么要求解这个方程”。 详尽的步骤推导： 关键的定理和公式的推导过程被细致地展示出来，确保读者不仅知其然，更知其所以然。 丰富的例题与习题： 提供了大量的计算练习题和需要深入思考的应用题，以巩固所学知识。 本书适合作为高等数学或工程数学课程的教材，也适合自学者系统地掌握常微分方程这一重要数学分支。读者在学完微积分（包括多元微积分和级数）的基础上，可以无障碍地进入本书的学习。 --- （注：以上内容为依据您提供的书名信息和一般“常微分方程导论”课程体系结构，详细构建的、不提及任何其他特定教材内容的、符合要求的简介。）

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作为一名正在攻读《Stein/Barcellos》微积分教材的学生，我发现这本《微分方程导论》的出现简直是雪中送炭。它在数学的严谨性与易懂性之间找到了一个绝佳的平衡点。当我面对一些新颖的微分方程类型时，这本书并没有直接给出“万能公式”，而是循序渐进地引导我分析方程的结构，寻找解的思路。我特别欣赏书中对“模型构建”的强调，它不仅仅是教你如何解方程，更是告诉你如何将实际问题转化为数学模型，再通过微分方程的方法去解决。这种“从实际到抽象，再从抽象到实际”的完整过程，让我觉得学到的知识是真正有用的，而不仅仅是应付考试的技巧。书中的插图也非常丰富，能够清晰地展示函数的图像、解的曲线以及各种物理量的变化趋势。这对于我理解一些复杂的动态系统非常有帮助。总的来说，这本书为我提供了一个坚实的平台，让我能够更有信心地去应对更深层次的数学挑战。

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我最近读了这本《微分方程导论》，正好配合我正在看的《Stein/Barcellos，微积分与解析几何，第五版》。坦白说，在开始阅读之前，我有些忐忑。毕竟，微积分就已经够让人头疼的了，再加上微分方程，简直是双重挑战。但是，这本书的叙述方式真的出乎我的意料。作者在解释一些核心概念时，似乎总能找到最直观的比喻，让我这个初学者也能大致领会。举个例子，当讲到“解”的几何意义时，作者没有直接抛出复杂的数学定义，而是用“斜率场”这个形象的说法，让我能在一个二维平面上“看到”方程是如何描绘出无数条可能的曲线的。这种“可视化”的教学方法，对于我这种更偏向视觉学习的人来说，简直是福音。而且，书中给出的例题都非常贴近实际应用，不像有些教材那样，只是空泛的理论推导。我尤其喜欢关于人口增长模型和电路分析的章节，能看到抽象的数学概念在现实世界中发挥作用，这极大地激发了我学习的兴趣。虽然有些地方我还需要反复推敲，但总体来说，这本书为我打开了认识微分方程世界的一扇窗，让我觉得它不像我想象中那么遥不可及。

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我得说，这本书的编排方式真是太有用了，它巧妙地将抽象的微分方程理论与我正在学习的《Stein/Barcellos》微积分教材紧密联系起来。这种“配套”的感觉，让我在学习过程中少走了很多弯路。当书里提到某个概念，比如“积分因子”时，它会很自然地回溯到微积分中关于积分和导数的知识点，并解释这些知识是如何在微分方程的求解中派上用场的。这种前后呼应的处理方式，让我在理解新概念的同时，也巩固了旧知识，感觉像是在构建一个知识体系，而不是零散地记忆。而且，书中提供的习题，其难度梯度设计得也很合理。从基础的概念理解题，到需要综合运用多种方法的复杂问题，应有尽有。我尝试做了一些，发现即使是比较难的题目，只要按照书中的思路一步步来，也并非无法解决。最让我印象深刻的是，作者在讲解过程中，并没有一味地追求数学的严谨和形式化，而是更侧重于让读者理解“为什么”要这么做，以及“这样做的意义”是什么。这种注重“数学思想”的教学，比单纯记忆公式要来得更有价值。

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这本书的阅读体验，我只能用“豁然开朗”来形容。在开始阅读之前，我对微分方程的印象一直停留在“高难度”和“枯燥”的层面。但这本书完全颠覆了我的认知。作者并没有把重点放在那些晦涩难懂的理论证明上，而是通过大量精心设计的例子，让我能切实感受到微分方程在解决实际问题时的强大力量。我记得有一章是关于“振动系统”的，书中不仅解释了振动方程的由来，还详细描述了如何通过求解方程来预测振动的频率和幅度。这让我觉得，我学的不仅仅是数学，更是在学习如何描述和理解我们身边的世界。而且，书中提供的练习题，很多都带有一定的挑战性，但作者总会在前面给出清晰的提示和解题思路，让我觉得“我也能做到”。这种循序渐进的引导方式，让我克服了对难度数学的恐惧，并逐渐培养了独立解决问题的能力。这本书让我觉得，数学不仅仅是逻辑和计算，更是一种创造性的思维方式。

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这本书的语言风格非常独特，它不像我之前看过的任何一本数学教材。作者似乎很有耐心，他会用一种非常平易近人的方式来解释那些听起来就很“学术”的术语。我记得在讲到“稳定性”这个概念时，他用了“就像一个球滚下山坡，是会停在谷底，还是会继续往下滚”这样的比喻。这种生活化的类比，让我一下子就抓住了核心。我以前总觉得数学离生活很远，但这本书让我看到了数学的生命力。它没有直接灌输复杂的定理和证明，而是先通过一些生动的问题引入，然后引导你去思考，最后才给出数学的解释。这种“引导式”的学习过程，让我觉得我不是在被动地接受知识，而是在主动地探索。而且，书中还穿插了一些历史故事和科学家的趣闻，这让阅读过程变得更加轻松有趣。我甚至觉得，这本书更像是一本“故事书”，只不过故事的主角是数学。它让我对微分方程这个领域产生了浓厚的兴趣，迫不及待地想知道接下来会遇到什么样的“数学冒险”。

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