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出版者:Prentice Hall

作者:George Elmer Forsythe

出品人:

页数:270

译者:

出版时间:1977

价格:USD 63.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780131653320

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数学计算的拓扑与流形：现代几何方法探析 作者： [此处留空，或使用一个符合学术风格的虚构作者名，例如：张伟, 王芳] 出版社： [此处留空，或使用一个符合学术风格的虚构出版社名，例如：高等教育科学出版社] 出版年份： [此处留空，或使用一个现代年份，例如：2024] --- 内容简介 《数学计算的拓扑与流形：现代几何方法探析》深入探讨了在高等数学、物理学以及工程学中，如何运用拓扑学和微分几何的精确概念来构建、分析和求解复杂的计算模型。本书旨在弥合纯粹的理论几何与实际的数值计算之间的鸿沟，为读者提供一套从基础公理到前沿应用的完整知识体系。本书的重点不在于传统的代数方程求解或线性系统分析，而是聚焦于那些内在结构依赖于空间形态和连续形变的数学问题。 全书共分七个章节，结构严谨，逻辑清晰，力求在保证数学严密性的同时，兼顾计算实现的直观性。 第一部分：基础概念的几何重构（第1章至第2章） 第1章：拓扑空间的重审与离散化 本章首先从集合论出发，对拓扑空间的基本定义——开集、闭集、邻域系统——进行了细致的梳理。不同于仅停留在抽象集合上的讨论，本章着重分析了度量空间到一般拓扑空间的过渡，并引入了同胚的概念，强调在计算中保持“形状不变性”的重要性。重点讨论了紧致性、连通性在数值分析中的隐式意义，例如，在有限元分析中，网格划分的有效性本质上就是对基础拓扑结构的近似保持。本章还引入了单纯复形（Simplicial Complexes）作为连接连续几何与离散计算的桥梁，详细阐述了如何构造复形的边界算子和链复形，为后续的代数拓扑工具奠定基础。 第2章：流形的基础结构与切空间 本章将视角转向光滑结构，详细介绍了微分流形（Differentiable Manifolds）的定义，包括坐标图集、转移映射的光滑性要求。重点剖析了切空间（Tangent Space）的概念，将其视为流形上局部线性化分析的基础。书中通过多变量微积分的扩张，解释了向量场、微分形式在切空间上的定义和运算规则。针对计算实践，本章探讨了嵌入定理（Embedding Theorems）的意义，说明了复杂曲面如何被映射到更高维的欧几里得空间中进行局部近似计算，并讨论了曲率的概念如何影响数值方法的稳定性和精度。 第二部分：微分几何在优化与控制中的应用（第3章至第4章） 第3章：黎曼几何与测地线流 本章是本书的核心，深入探讨了黎曼流形的概念，即在流形上赋予一个正定的二次型——黎曼度量张量。这使得我们能够在曲面上定义长度、角度和面积。本书的核心计算工具之一是测地线（Geodesics）的求解。我们详细推导了测地线方程（即黎曼流形的“最短路径”方程），并展示了如何利用数值积分方法（如Runge-Kutta法）在弯曲空间中追踪最优路径。应用层面，本章探讨了信息几何中费舍尔信息矩阵作为黎曼度量的构造，以及在统计推断和机器学习中，如何利用测地线优化算法来寻找参数空间中的最优配置。 第4章：张量分析与微分形式运算 本章专注于处理流形上的微分对象。详细解释了张量场的变换律，这对理解物理定律在不同坐标系下的不变性至关重要。书中系统地介绍了微分形式（Differential Forms），包括楔积运算、上指标和下指标的提升与降低。核心内容集中在外微分（Exterior Differentiation） $ ext{d}$ 算子的定义、性质及其与梯度、旋度和散度的内在联系。我们探讨了如何在离散化的流形（如网格）上实现对 $ ext{d}$ 算子的近似，特别是与有限元方法（FEM）中形函数构造的结合。 第三部分：代数拓扑的计算工具（第5章至第6章） 第5章：同调论与持久性（Persistence） 本章转向代数拓扑的核心——同调理论（Homology Theory）。解释了如何通过链复形、边界算子和上同调群来刻画空间的“洞”的结构。本书的独特之处在于，它将抽象的同调概念转化为可计算的工具。重点介绍了计算同调的算法，如利用矩阵运算求解核与像来确定贝蒂数 $b_k$。随后，本章深入讨论了持续同调（Persistent Homology），这是一种强大的工具，用于分析数据集中不同尺度下的拓扑特征，特别是在点云数据分析和复杂网络结构识别中的应用。 第6章：流形上的积分与拓扑不变量 本章探讨了如何在曲面上进行积分，并利用德拉姆定理（de Rham's Theorem）将积分问题转化为拓扑不变量的计算。详细介绍了霍奇理论（Hodge Theory）在流形上的应用，特别是调和微分形式的概念。针对数值计算，本章分析了离散微分几何（Discrete Differential Geometry）中如何定义流形上的离散拉普拉斯-贝尔特拉米算子，并讨论了如何利用其特征值和特征函数来研究流形的谱特性，这对于理解流形上的热传导和振动模式至关重要。 第四部分：高级主题与计算挑战（第7章） 第7章：拓扑数据分析中的几何挑战与前沿进展 本章整合前述知识，讨论了在实际高维数据分析中遇到的几何计算难题。探讨了黎曼流形上的优化问题，例如，如何在非凸的、弯曲的流形上进行梯度下降（需要利用测地线梯度）。本章还展望了与计算物理（如规范场理论）和图形学（如网格参数化）相关的最新研究，特别是关于曲率流（如Ricci流）的数值模拟方法，及其在形状规范化和网格质量提升中的应用。书中强调了数值稳定性在处理奇异点和高曲率区域时的重要性。 --- 适用对象 本书适合于高等数学、应用数学、理论物理、计算机图形学以及数据科学等领域的高年级本科生、研究生以及从事计算几何和几何建模的专业研究人员。读者应具备扎实的线性代数、多变量微积分以及基础拓扑学知识。本书侧重于方法的几何内在性，而非特定软件库的编程指南。

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我最近在探索生物信息学领域，尤其是在进行大规模基因序列比对和蛋白质结构预测时，遇到了许多计算上的挑战。我发现，传统的基于字符串匹配的算法在处理海量数据时，其效率往往难以满足需求，这促使我转向更复杂的算法，例如动态规划和图论中的一些算法。《Computer Methods for Mathematical Computations》这本书，在我的探索过程中，开始崭露头角。我注意到，在许多生物信息学领域的综述文章和研究论文中，都会提及本书在解释算法设计和分析方面的贡献。我开始猜测，这本书中是否会包含关于如何高效地实现动态规划算法的讨论，例如如何优化状态转移方程的计算，以及如何处理子问题之间的依赖关系。我对书中关于图论算法的内容也充满了好奇，例如如何利用图来表示基因之间的相互作用，以及如何使用图搜索算法来找到最优的比对路径。我同样也对书中关于近似算法和启发式算法的介绍产生了浓厚的兴趣，因为在生物信息学中，许多问题都是NP-hard问题，需要采用近似方法来求解。如果这本书能够提供关于如何设计和分析这些算法的见解，那么它将为我在生物信息学领域的研究提供重要的理论支持，帮助我解决那些计算密集型的问题，从而加速我的研究进程。

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最近，我在开发一个用于预测金融市场趋势的算法，其中涉及到大量的矩阵运算和时间序列分析。我发现，传统的线性回归模型在处理非线性关系和高维数据时，往往表现不佳。这让我开始探索更高级的机器学习算法，以及它们背后所依赖的数学原理。在查阅相关资料时，我多次看到《Computer Methods for Mathematical Computations》这本书被提及，尤其是在讨论矩阵分解、奇异值分解（SVD）、主成分分析（PCA）等技术时。我开始意识到，这些技术不仅仅是机器学习算法的“黑箱”，而是具有深厚数学基础的计算方法。我猜想，这本书中会详细介绍这些矩阵运算的算法，例如 LU 分解、QR 分解、Cholesky 分解等，并且会解释它们在不同应用场景下的优势和局限性。我对书中关于如何高效地进行大规模矩阵运算的部分尤其感兴趣，这对于处理金融数据这种海量且维度可能非常高的数据来说至关重要。我也在设想，书中是否会包含一些关于如何处理稀疏矩阵的技巧，因为在实际应用中，很多数据集都呈现出稀疏性，而直接应用稠密矩阵的算法可能会导致效率低下或内存不足。这本书，在我看来，就像是一本关于如何“驾驭”数学工具的书，它能够帮助我理解这些强大的工具是如何工作的，并且如何根据我的需求对其进行定制和优化，从而为我的金融预测算法提供更坚实的数学支撑。

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我最近在从事一项关于计算流体力学（CFD）的模拟项目，该项目需要求解复杂的偏微分方程组。我发现，虽然我能够熟练使用现有的CFD软件，但在面对一些非常规的边界条件或者需要极高精度的计算时，我就会感到力不从心。这促使我深入研究CFD中的数值方法，例如有限差分法、有限元法和有限体积法。《Computer Methods for Mathematical Computations》这本书，在我的研究过程中，如同一个宝藏被发掘出来。我看到许多CFD领域的专业文献，在讨论求解偏微分方程的数值离散化、迭代求解器、网格生成等问题时，都会引用这本书中的内容。我开始想象，这本书是否会详细介绍这些数值方法的离散化过程，例如如何将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组。我对书中关于如何处理非结构化网格和自适应网格技术的部分尤为期待，这对于CFD来说是至关重要的。我同样也对书中关于求解大规模线性系统的方法感兴趣，例如共轭梯度法及其预条件子，这些方法在CFD中扮演着核心角色。如果这本书能够提供关于如何选择和实现这些方法的指导，那么它将极大地提升我在CFD模拟方面的能力，使我能够更深入地理解和控制模拟过程，从而获得更准确和可靠的结果。

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经过一段时间的学习和实践，我开始意识到，许多看似精妙的软件库和算法框架，其背后都隐藏着一套严谨的数学计算方法。《Computer Methods for Mathematical Computations》这本书，尽管我一开始对其望而却步，但随着我接触的领域越来越深入，那些我曾经回避的数学概念，比如线性代数、数值分析、微分方程的求解等等，开始反复出现在我的工作和学习中。我开始明白，如果我仅仅停留在调用API的层面，而无法理解这些API背后是如何工作的，那么我在解决一些非标准、或者对性能有极致要求的计算问题时，就会显得力不从心。我看到同事们在处理大规模数据时，能够根据问题的特点选择最优的算法，并且能够对算法的收敛性、精度和稳定性进行评估，而我却只能依赖预设好的工具，一旦遇到特殊情况，就束手无策。这种无力感，促使我重新审视了那些我曾经忽略的书籍。我开始好奇，那些在学术界被广泛引用，并在实际计算领域扮演关键角色的“方法”，究竟是如何被构建和实现的。《Computer Methods for Mathematical Computations》这样的书名，在我看来，开始变得不再是枯燥的理论堆砌，而是通往更深层次理解的钥匙。我开始想象，这本书中是否会包含那些能够帮助我优化计算流程、提高算法效率、甚至理解某些“黑箱”算法原理的内容。我甚至开始在脑海中构思，如果我能掌握书中的一些核心方法，我是否就能在未来的工作中，解决那些目前看来棘手的计算难题。这种转变，标志着我从一个单纯的“使用者”向一个更具洞察力的“理解者”的转变，而这本书，似乎正是这条道路上的一块重要的路标。

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最近，我一直在深入研究一些复杂的模拟项目，其中涉及到大量的数值迭代和优化过程。我发现，很多现有的开源库虽然功能强大，但在处理某些特定的边界条件或者大规模数据集时，其性能瓶颈就显现出来了。这促使我不得不去探究这些库背后的核心算法，以及它们是如何针对不同场景进行优化的。《Computer Methods for Mathematical Computations》这本书，就是在这种背景下，逐渐进入我的视野。我并没有直接翻开它，而是通过一些相关的学术论文和技术博客，看到了它被提及的次数。很多研究者在讨论更高效的求解方法、更鲁棒的数值稳定性技术时，都会引用其中的章节或者思想。这让我意识到，这本书并非仅仅是对基本数学概念的罗列，而是对如何在实际计算中应用这些数学概念，并且进行优化和改进的系统性阐述。我开始想象，这本书中是否会提供一些通用的框架，让我能够理解不同数值方法的优缺点，并根据具体问题选择最合适的方法。例如，在求解大型线性方程组时，是直接应用高斯消元法，还是采用迭代法，或者预条件共轭梯度法？这些选择背后，必然涉及到对算法复杂度和收敛速度的深入分析，而这正是“计算方法”的核心所在。我也在思考，书中是否会涉及一些关于误差分析和精度控制的技巧，这对于任何科学计算来说都是至关重要的。如果这本书能够提供关于如何有效管理和减小数值误差的指导，那么它将极大地提升我的计算结果的可信度。

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随着我参与的项目越来越复杂，我发现自己越来越依赖于那些经过精心设计和优化的计算库。然而，在某些情况下，我不得不承认，我对这些库的内部工作原理了解得并不足够深入。例如，在进行高精度数值积分时，我可能会遇到收敛速度慢或者精度不足的问题。这时候，我就会开始思考，如果我对牛顿-科特斯公式、高斯-拉格朗日公式或者其他数值积分方法有更深的理解，是否就能更有效地解决这些问题。这让我对《Computer Methods for Mathematical Computations》这本书产生了浓厚的兴趣。我猜想，这本书中必然包含了对各种数值积分方法及其性质的详细介绍，并且可能会提供一些关于如何选择和改进这些方法的见解。我甚至设想，书中是否会讨论一些更高级的积分技术，例如自适应步长控制，或者针对特定类型函数的积分优化策略。对于我来说，仅仅知道有一个函数可以进行积分是不够的，我更希望理解积分的原理，并能够根据问题的特点进行调整。我同样也在期待，书中是否会涉及一些关于微分方程数值解法的内容。例如，欧拉法、龙格-库塔法等，这些方法在模拟物理过程、工程系统等方面有着广泛的应用。如果我能够深入理解这些方法的原理、收敛性和稳定性，那么我在构建和分析这些模拟模型时，就会更加得心应手。

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坦白说，当我第一次在书店的显眼位置看到《Computer Methods for Mathematical Computations》时，我并没有立即产生购买的冲动。封面设计——虽然它并不丑陋，但确实也谈不上令人眼前一亮——以及书名本身，都带有一种“学术重镇”的沉重感。我当下心里想的是，这大概又是一本晦涩难懂、充斥着数学符号和算法描述，最终只会被少数专家捧为圭臬的书籍。我是一位有一定编程经验的读者，平时也接触不少与数据分析和建模相关的领域，但我对“数学计算”这个词总有一种天然的敬畏，仿佛它是一个只属于数学家的禁区，普通人一旦涉足，便会迷失在复杂的公式和理论之中。因此，我只是匆匆翻阅了几页，看到那些密密麻麻的公式和函数定义，便自觉地将其归入了“暂时不需要”的类别，然后带着一丝淡淡的惋惜（或者说，一种对自身能力不足的自我安慰）将其放回了书架。事后回想起来，当时的我对这本书的潜在价值，以及它在实际应用中可能扮演的角色，都存在着严重的误判。我更倾向于那些提供直接解决方案、或者以更具象化方式解释概念的书籍，对于这种直指核心计算方法的作品，我的第一反应是回避。这种先入为主的观念，也让我错失了一次深入理解许多底层技术原理的机会。我甚至设想过，即使有一天我真的需要解决某个复杂的计算问题，我也会优先寻找那些“应用手册”或者“框架教程”，而不是直接翻开这样一本“方法论”的书。这种思维定势，也反映了我在学习和获取知识时，更倾向于“拿来即用”而非“追根溯源”的习惯。

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我最近在学习如何构建高性能的物理模拟器，尤其是在模拟复杂粒子相互作用和系统演化时，需要处理大量的积分和微分方程。我发现，虽然我能够理解这些方程的物理意义，但在实际计算中，如何选择最优的数值方法，以及如何保证计算的稳定性和精度，仍然是我需要深入钻研的领域。《Computer Methods for Mathematical Computations》这本书，在我的研究过程中，如同一本“算法宝典”。我看到许多物理模拟领域的专业文献，在讨论数值积分、微分方程求解、以及蒙特卡罗方法时，都会引用本书。我开始想象，这本书中是否会详细介绍如何利用高斯积分、辛积分等方法来提高积分精度，以及如何选择合适的步长和方法来求解常微分方程。我对书中关于蒙特卡罗方法的内容也充满了期待，例如如何利用随机抽样来估计物理量，以及如何利用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法来采样复杂的概率分布。我同样也对书中关于求解偏微分方程的方法产生了浓厚的兴趣，例如有限差分法、有限元法等，这些方法在模拟各种物理现象时扮演着核心角色。如果这本书能够提供关于如何理解和实现这些计算方法，以及如何评估它们的性能和适用性的深入见解，那么它将为我在物理模拟领域的研究和应用提供坚实的数学基础，帮助我构建出更精确、更高效的模拟器。

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我最近在学习一种新的信号处理技术，该技术涉及到大量的傅里叶变换和滤波器的设计。我发现，虽然我已经熟悉了离散傅里叶变换（DFT）的基本概念，但在实际应用中，如何高效地计算和优化傅里叶变换，以及如何设计具有特定频率响应的滤波器，仍然是我需要深入学习的领域。《Computer Methods for Mathematical Computations》这本书，在我的学习过程中，如同一本“算法指南”。我看到许多信号处理领域的教材和论文，在讨论快速傅里叶变换（FFT）算法、卷积定理、以及各种滤波器设计方法时，都会引用本书。我开始想象，这本书中是否会详细介绍FFT算法的原理和各种实现方式，例如Cooley-Tukey算法，以及如何利用FFT来加速卷积运算。我对书中关于滤波器设计的讨论也充满期待，例如如何使用窗函数来设计FIR滤波器，或者如何利用极点和零点来设计IIR滤波器，以及如何分析滤波器的幅频响应和相频响应。我同样也对书中关于信号的统计分析和估计方法产生了浓厚的兴趣，例如如何使用维纳滤波器来估计信号，或者如何使用卡尔曼滤波器来跟踪状态。如果这本书能够提供关于如何理解和实现这些信号处理算法的深入见解，那么它将为我在信号处理领域的研究和应用提供坚实的数学基础，帮助我设计出更高效、更精确的信号处理系统。

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我最近在参与一项关于图像识别的项目，该项目需要处理大量的图像数据，并且涉及到复杂的特征提取和分类任务。我发现，虽然我能够熟练使用现有的图像处理库，但在优化特征提取过程、提高分类精度以及处理大规模图像数据集时，仍然面临一些挑战。《Computer Methods for Mathematical Computations》这本书，在我的探索过程中，如同一位“数学导师”。我看到许多计算机视觉领域的综述文章和研究论文，在讨论降维技术、核方法、以及优化算法时，都会引用本书。我开始猜测，这本书中是否会详细介绍如何利用主成分分析（PCA）或者其他降维技术来提取图像的关键特征，以及如何利用这些特征来构建更高效的分类器。我对书中关于核方法的内容也充满了好奇，例如如何利用核函数来处理非线性可分的数据，以及如何构建支持向量机（SVM）等模型。我同样也对书中关于优化算法的介绍产生了浓厚的兴趣，例如如何利用梯度下降法、牛顿法等来优化模型参数，以及如何处理凸优化和非凸优化问题。如果这本书能够提供关于如何理解和实现这些图像处理和机器学习算法的深入见解，那么它将为我在图像识别领域的研究和应用提供重要的理论支持，帮助我解决那些计算密集型的问题，从而提高我的模型性能和泛化能力。

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