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出版者:

作者:Crampin, M.; Pirani, F. A.; Pirani, Felix Arnold E.

出品人:

页数:404

译者:

出版时间:1987-3

价格:$ 132.21

装帧:

isbn号码:9780521231909

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分几何
• 应用数学
• 几何学
• 流形
• 拓扑学
• 张量分析
• 曲线曲面
• 数学物理
• 高等数学
• 几何分析

《流形与张量：几何的语言》 本书是一部探索现代数学核心概念——微分流形和张量分析的入门著作。通过严谨的论证和丰富的几何直观，本书旨在为读者构建一个坚实的数学基础，使其能够理解并运用这些强大的工具来描述和分析复杂的几何结构。 核心内容： 拓扑空间基础： 在正式引入流形之前，本书将从基础的拓扑概念出发，包括开集、闭集、邻域、连续性、同胚等，为理解流形的拓扑性质打下铺垫。我们会探讨一些基本的拓扑空间，例如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的性质，并介绍紧致性、连通性等重要的拓扑不变量。 微分流形： 本书的核心在于微分流形。我们将从局部欧几里得坐标的概念出发，逐步定义光滑流形，并详细阐述光滑结构、图册、光滑映射以及同胚等概念。我们会考察一些重要的例子，例如球面、环面、射影空间等，并通过可视化工具（如果可能）来帮助读者建立直观认识。本书将着重分析流形的局部性质如何通过坐标系来描述，以及如何通过“粘合”这些局部视图来形成全局结构。 切空间与向量场： 对于流形上的每一点，我们都引入了切空间的数学对象，它是该点处所有可能“方向”的集合。本书将严谨地定义切空间，并介绍切向量的运算，包括向量的加法和标量乘法。在此基础上，我们将深入研究向量场，将切向量作为函数在流形上进行“光滑”的指定，并探讨向量场在几何和动力学中的作用。 微分形式与外导数： 为了更有效地处理流形上的积分和微分运算，本书将引入微分形式的概念。我们将从线性代数中的外代数出发，构建共变向量场（余向量场）以及更高阶的微分形式。本书将重点介绍外导数算子，并详细推导其性质，例如它的幂零性（$d^2=0$）。我们将展示外导数如何泛化了梯度、散度和旋度等概念，并为理解斯托克斯定理等重要的积分定理奠定基础。 张量分析： 张量是描述多线性关系的数学对象，在物理学、工程学和几何学中扮演着至关重要的角色。本书将从张量的定义出发，介绍张量的类型（协变、逆变、混合），以及张量在不同坐标系下的变换法则。我们将详细讨论张量的运算，包括张量的加法、数乘、张量积、缩并等。本书将强调张量不依赖于特定坐标系的选取，其内在的几何意义。 黎曼几何初步： 在建立了流形和张量的基础后，本书将初步涉足黎曼几何。我们将介绍黎曼度量张量，它赋予流形上的每一点以距离和角度的概念。通过黎曼度量，我们可以定义测地线（最短路径）、曲率张量（描述流形的弯曲程度）等。虽然本书不会深入到复杂的黎曼流形的深度理论，但它将为读者打开通往这一精彩领域的大门。 本书特色： 循序渐进： 本书从基础的拓扑概念开始，逐步引入微分流形和张量分析，确保读者能够一步步地掌握复杂的概念。 强调几何直观： 在理论推导的同时，本书注重培养读者的几何直观，通过例子和类比来帮助理解抽象的数学概念。 数学严谨性： 本书在保证几何直观的同时，也保持了数学上的严谨性，对关键概念进行清晰的定义和严格的证明。 联系应用： 虽然本书侧重于数学基础，但我们会适时指出微分流形和张量分析在物理学（如广义相对论）、计算机图形学、数据科学等领域的潜在应用，激发读者的学习兴趣。 适用读者： 本书适合对现代几何学和数学物理感兴趣的本科生（高年级）、研究生以及科研人员。读者应具备一定的微积分、线性代数和基础拓扑学知识。本书旨在为读者提供一个坚实的起点，使其能够进一步深入学习微分几何、代数几何、微分方程、理论物理等更高级的学科。

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我最近在整理我的数学笔记，发现这本《流形上的微积分》简直是我的救星。它不像一些同行教材那样，动辄就将读者扔进高维的抽象空间里，而是通过非常细致的步骤，把微分几何的语言和传统的微积分、线性代数紧密地结合起来。特别是它对“外微分”概念的引入，简直是化繁为简的典范。作者没有急于给出复杂的定义，而是先从曲线积分、面积分和体积分在不同维度上的推广入手，让读者自然而然地体会到为什么要引入微分形式这个工具。书中对“德拉姆上同调”的初步介绍，虽然篇幅不长，但足以勾勒出其基本思想框架，这一点对于我理解拓扑不变量的概念帮助极大。我特别喜欢书中穿插的一些历史背景和物理应用的小插曲，这让原本枯燥的公式推导过程变得有趣起来，让人感觉自己不是在学习一门孤立的数学分支，而是在追溯人类几何思想的演变历程。对于自学者来说，这本书的循序渐进式的讲解，无疑是最佳的“领航员”。

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作为一名偏向应用数学的研究生，我过去一直对纯粹的微分几何心存畏惧，总觉得它离实际应用太遥远。然而，这本《度量、联络与弯曲：应用几何概论》彻底改变了我的看法。这本书的视角非常独特，它似乎是专门为那些希望将几何语言应用于广义相对论、微分拓扑或者计算机图形学的人士量身定做的。书中对“测地线”的讨论，清晰地展示了它如何从简单的两点间最短路径推广到时空中的自由落体运动，这种联系的建立非常自然和令人信服。我特别欣赏书中对“曲率张量”的分解与几何解释，作者用非常直观的方式展示了里奇张量和里奇标量是如何捕捉到空间局部几何特性的。相比于很多侧重于抽象构造的教材，这本书的例题和案例分析更偏向于实际计算和物理图像的构建，这对于我这样的应用型学习者来说，是极大的加分项。它成功地架起了一座桥梁，让抽象的微分几何走入了具体的物理世界。

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我必须承认，我最初是被这本书《拓扑的足迹：从欧氏空间到光滑流形》那简洁优雅的封面吸引的，但真正让我爱不释手的是它对“连续性”这一核心概念的坚韧不拔的追踪。这本书的结构非常线性，但这种线性并非僵硬，而是如同攀登一座山峰，每一步都踏实而稳固。作者从我们最熟悉的欧几里得空间开始，小心翼翼地引入拓扑空间的开集、闭集、紧致性，然后才开始过渡到光滑结构。这种“先熟悉，再推广”的策略，极大地降低了初学者面对流形概念时的心理门槛。书中对“嵌入定理”和“浸没定理”的讨论虽然略显技术性，但作者通过对这些定理在低维空间（如球面、环面）上的具体应用示范，使得理论的价值得以凸显。它教会我的不仅仅是流形的构造，更是一种严谨的数学思维：如何在最少的假设下，建立最强大的理论框架。这本书的价值在于，它不仅教会了你工具，更培养了你对几何结构之美的敬畏之心。

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坦白讲，我对几何学的热情，很大程度上是被这本《几何结构的内在视角》点燃的。这本书的叙事风格极其个人化，与其说它是一本教科书，不如说是一位经验丰富的几何学家在与你进行一场深入的、充满激情的对话。它没有采用传统教材那种“定理-证明-例子”的刻板结构，而是更侧重于“问题导向”。它会先抛出一个困扰了数学家长久的问题——比如“如何定义一个光滑空间上的切线？”——然后引导读者一步步构建出满足这个要求的数学结构。这种“发现式”的学习过程，极大地激发了读者的探索欲。书中对“联络”的讨论，尤其深入人心，它没有停留在纯粹的代数操作层面，而是深入探讨了联络在描述空间弯曲性中的物理和几何意义。虽然它的数学深度要求读者具备一定的基础，但其思想的穿透力是无与伦比的。读完之后，你会感觉自己看待世界上的曲线和曲面时，眼神都变得不一样了，充满了对内在对称性和结构的敏感度。

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这本《可微几何入门》确实是一本扎实可靠的教材，对于想要系统学习微分几何的读者来说，它提供了一个非常清晰的框架。书中对流形、切丛、向量场和李群这些核心概念的阐述，详略得当，既保证了数学上的严谨性，又兼顾了初学者的理解。我尤其欣赏作者在引入新概念时，总是能结合直观的几何图像来辅助说明，比如在讲解黎曼度量的定义时，通过在曲面上“测量距离”的例子，让抽象的数学语言变得生动起来。书中的例题设计也非常巧妙，它们不仅仅是习题，更是对理论知识的深化和拓展，很多看似简单的例子，背后都蕴含着深刻的几何直觉。对于想深入研究拓扑学或理论物理的读者来说，这本书打下的基础非常坚实，可以作为后续深入学习的跳板。唯一稍微觉得有些遗憾的是，对于一些更高级的拓扑学的背景知识，如果能有更详尽的铺垫，对于完全没有接触过拓扑的读者可能会更友好一些，但瑕不掩瑜，总体而言，这是一本值得反复研读的经典之作。

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