An introduction to noncommutative geometry pdf epub mobi txt 電子書下載2026

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出版者:European Mathematical Society

作者:Joseph C. Várilly

出品人:

頁數:113

译者:

出版時間:2006-6-15

價格:332.20元

裝幀:

isbn號碼:9783037190241

叢書系列:EMS Series of Lectures in Mathematics

圖書標籤:

非交換幾何
代數
拓撲
數學
幾何學
K理論
譜理論
C*代數
算子代數
數學物理

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具體描述

Noncommutative geometry, inspired by quantum physics, describes singular spaces by their noncommutative coordinate algebras and metric structures by Dirac-like operators. Such metric geometries are described mathematically by Connes' theory of spectral triples. These lectures, delivered at an EMS Summer School on noncommutative geometry and its applications, provide an overview of spectral triples based on examples. This introduction is aimed at graduate students of both mathematics and theoretical physics. It deals with Dirac operators on spin manifolds, noncommutative tori, Moyal quantization and tangent groupoids, action functionals, and isospectral deformations. The structural framework is the concept of a noncommutative spin geometry; the conditions on spectral triples which determine this concept are developed in detail. The emphasis throughout is on gaining understanding by computing the details of specific examples. The book provides a middle ground between a comprehensive text and a narrowly focused research monograph. It is intended for self-study, enabling the reader to gain access to the essentials of noncommutative geometry. New features since the original course are an expanded bibliography and a survey of more recent examples and applications of spectral triples. A publication of the European Mathematical Society (EMS). Distributed within the Americas by the American Mathematical Society.

一本關於數學和物理領域交叉學科的入門讀物。本書探索瞭非交換幾何這一迷人的數學分支，它將傳統幾何學的概念推廣到瞭非交換代數的世界。與標準的幾何學研究我們熟悉的歐幾裏得空間或微分流形不同，非交換幾何學將點、綫、麵等幾何對象與非交換代數中的元素聯係起來。這意味著代數中的乘法不再滿足交換律，即 $ab$ 不一定等於 $ba$。這種看似抽象的推廣，卻能夠描述許多在經典幾何中難以觸及的數學和物理現象。本書的讀者對象是那些對現代數學和理論物理的尖端領域感興趣，並具備一定抽象代數和微分幾何基礎的研究生或高年級本科生。它旨在為讀者提供一個堅實的理論框架，使他們能夠理解非交換幾何學的基本思想、核心工具以及它在不同領域中的應用。核心內容與結構：本書將從非交換幾何學的基石——非交換代數齣發，逐步引入關鍵概念。非交換代數基礎：首先，我們會迴顧一些必要的代數概念，特彆是那些與非交換幾何相關的代數結構，例如 $C^$-代數和馮·諾依曼代數。我們將解釋這些代數的定義、性質以及它們如何在非交換幾何的框架中扮演“空間”的角色。非交換空間的構造：傳統的幾何學通過集閤論來定義空間，而非交換幾何學則通過代數結構來“構建”其對應的“非交換空間”。本書將詳細闡述如何從一個非交換代數齣發，構建齣一個與之關聯的“非交換幾何空間”。這通常涉及到對代數進行更精細的研究，例如其譜（spectrum）的概念。度量和連接：幾何學的核心在於度量和連接，它們允許我們測量距離、角度以及麯綫的性質。在非交換幾何中，這些概念被重新定義，以適應非交換代數的結構。我們會介紹非交換度量空間的思想，以及如何在非交換代數上定義類似微分流形中的聯絡（connection），從而能夠進行“微分”運算。同調與上同調：拓撲學和幾何學中，同調和上同調理論是研究空間拓撲性質的強大工具。本書將介紹非交換同調理論，如莫裏（Morita）等價和K-理論，它們為理解非交換空間的拓撲特徵提供瞭新的視角。K-理論在理解非交換空間的基本“拓撲不變量”方麵起著至關重要的作用。捲積算子和幾何算子：介紹非交換代數上的算子代數，以及與幾何相關的算子，例如狄拉剋算子（Dirac operator）的非交換推廣。這些算子在非交換黎曼幾何中扮演著核心角色，其性質反映瞭對應非交換空間的幾何特徵。模型與應用：除瞭理論框架的建立，本書還將深入探討一些具體的模型，展示非交換幾何學的實際應用。例如：非交換環麵（Noncommutative Tori）：這是一個經典的例子，展示瞭如何通過扭麯（twisting）標準的交換幾何來構建非交換空間，並探討其代數和拓撲性質。量子群（Quantum Groups）：作為一種更廣泛的非交換幾何結構，量子群在統計力學和量子信息論中有重要的應用。本書將介紹量子群的基本概念及其與非交換幾何的聯係。在物理學中的應用：非交換幾何在理論物理學中有廣泛的應用，特彆是在量子場論、弦理論和凝聚態物理中。本書將重點介紹非交換幾何在描述規範場論、幾何相位以及某些量子相變中的作用。例如，它為理解量子霍爾效應和某些高能物理模型提供瞭新的數學語言。學習價值：通過學習本書，讀者將：掌握前沿數學工具：獲得理解和運用非交換幾何學所需的核心數學工具和概念。拓展幾何學視野：認識到幾何學的邊界可以超越傳統的實數或復數集閤，擴展到更抽象的代數結構。理解數學與物理的深刻聯係：深入瞭解抽象數學概念如何在描述物理世界中發揮關鍵作用，以及理論物理的進展如何反過來推動數學的發展。為深入研究奠定基礎：為進一步探索非交換幾何學的特定分支、相關的代數幾何、拓撲量子場論或其他理論物理方嚮打下堅實的基礎。本書旨在通過清晰的闡釋和嚴謹的數學推導，引導讀者一步步走進非交換幾何的奇妙世界，感受其在抽象數學和現實物理之間的獨特魅力。

作者簡介

目錄資訊

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Commutative geometry from the noncommutative point of view 1
1.1 The Gelfand–Na˘ımark cofunctors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 The functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Hermitian metrics and spinc structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 The Dirac operator and the distance formula . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Spectral triples on the Riemann sphere 11
2.1 Line bundles and the spinor bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 The Dirac operator on the sphere S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Spinor harmonics and the spectrum of D/ . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Twisted spinor modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 A reducible spectral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Real spectral striples: the axiomatic foundation 21
3.1 The data set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Infinitesimals and dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 The first-order condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Smoothness of the algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Hochschild cycles and orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Finiteness of the K-cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Poincaré duality and K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 The real structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Geometries on the noncommutative torus 32
4.1 Algebras ofWeyl operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 The algebra of the noncommutative torus . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 The skeleton of the noncommutative torus . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 A family of spin geometries on the torus . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 The noncommutative integral 43
5.1 The Dixmier trace on infinitesimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Pseudodifferential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 TheWodzicki residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 The trace theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 Integrals and zeta residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Quantization and the tangent groupoid 53
6.1 Moyal quantizers and the Moyal deformation . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Smooth groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 The tangent groupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Moyal quantization as a continuity condition . . . . . . . . . . . . . . 60
6.5 The hexagon and the analytical index . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6 Quantization and the index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Equivalence of geometries 65
7.1 Unitary equivalence of spin geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Morita equivalence and connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3 Vector bundles over noncommutative tori . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4 Morita-equivalent toral geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.5 Gauge potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 Action functionals 75
8.1 Algebra automorphisms and the metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 The fermionic action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3 The spectral action principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.4 Spectral densities and asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Epilogue: new directions 85
9.1 Noncommutative field theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2 Isospectral deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Geometries with quantum group symmetry . . . . . . . . . . . . . . 90
9.4 Other developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
· · · · · · (收起)

讀後感

评分☆☆☆☆☆

這本書的排版和符號係統也值得稱贊，這對於閱讀高度抽象的數學著作至關重要。作者采用瞭非常一緻和現代的數學排版標準，公式對齊清晰，符號定義明確，幾乎沒有齣現因排版混亂導緻的閱讀中斷。在處理復雜的張量、代數運算和空間變換時，作者總是能恰當地使用不同的字體或下標來區分不同的結構層次，這極大地減輕瞭大腦在解析復雜錶達式時所承受的認知負荷。此外，章節之間的過渡處理得非常流暢自然，很少齣現那種突然將讀者拋入未知領域的突兀感。雖然內容本身是前沿的，但呈現方式卻是極其友好的，這背後無疑是作者和編輯團隊在細節上的反復打磨。閱讀體驗的舒適度，對於一本需要反復研讀的學術專著來說，是衡量其質量的重要軟指標。在這方麵，這本書的錶現是超乎預期的，它成功地將晦澀的知識包裝在瞭易於消化的載體中，使得讀者能夠更專注於理解數學思想的精髓，而不是糾結於符號的辨識。

评分☆☆☆☆☆

從一個應用數學或者理論物理背景的讀者的角度來看，這本書的價值在於它提供瞭一個理解現代物理學某些深層結構的新視角。雖然書中內容本身是純粹的代數和拓撲框架，但其在概念上的普適性，使得讀者能夠輕易地將其映射到量子場論、弦理論甚至是信息論的某些非經典模型中。書中關於“非交換流形”的構造性討論，尤其是如何處理這些空間上的微分算子和度量，給齣瞭一個非常清晰的數學藍圖。我尤其關注瞭作者在引入非交換黎曼幾何時的論證方式，他並沒有迴避理論上的睏難，反而將這些睏難視為新幾何特性的體現。這與傳統微分幾何的“光滑性”要求形成瞭鮮明的對比，揭示瞭在更廣闊的數學空間中，我們對“局部性”和“度量”的理解必須做齣怎樣的深刻調整。這本書的論述風格更偏嚮於一種“構造性證明”，即通過清晰的步驟構建齣新的數學實體，這種風格對於需要將理論轉化為模型的實踐者來說，具有極高的指導意義。它不僅僅是知識的陳述，更是一種思考方式的示範。

评分☆☆☆☆☆

坦率地說，這本書的難度麯綫相當陡峭，但這種陡峭並非源於刻意的賣弄或晦澀的術語堆砌，而是源於它所觸及的數學前沿本身的復雜性。我嘗試著去理解其中關於非交換代數與拓撲學之間聯係的章節，發現作者在構建證明鏈條時，幾乎沒有留下任何“軟著陸”的餘地，每一個定理的推導都建立在紮實的群論和環論基礎之上。這迫使我不得不頻繁地查閱附錄中關於某些特定代數結構定義的資料，纔能勉強跟上作者的思維跳躍。然而，盡管過程充滿挑戰，一旦成功理解瞭某個關鍵性的結構，那種“掌握瞭宇宙某種新運作規律”的成就感是無可替代的。這本書更像是一部武功秘籍，它不會手把手教你如何運用招式，而是直接把最高深的內功心法呈現給你，要求學習者具備極強的自驅力和批判性閱讀能力。對於那些已經對經典幾何學有深刻理解，並渴望將工具箱升級到更高維度的研究者來說，這本書無疑是一座寶藏。它不像某些入門讀物那樣為瞭迎閤大眾而犧牲瞭深度，它忠實地反映瞭該領域當前研究的廣度和深度。

评分☆☆☆☆☆

這本書的結構安排展現齣一種精妙的層次感，這在處理跨學科或高度抽象的數學主題時尤為重要。我注意到，作者非常重視對不同數學分支之間“橋梁”的搭建。比如，在討論如何利用非交換C*-代數來重構空間信息時，他花費瞭大量篇幅來迴溯泛函分析中的關鍵概念，確保讀者能夠理解這種“幾何化”過程背後的分析基礎。這種細緻的鋪陳，使得讀者即使對某些子領域不是專傢，也能通過上下文獲得足夠的支撐。此外，書中引用的參考文獻列錶也極其詳盡和權威，幾乎囊括瞭該領域所有裏程碑式的論文和著作，這為想要進行更深層次拓展的讀者提供瞭清晰的指引。我個人特彆喜歡書中穿插的一些“曆史洞察”小節，這些部分往往能揭示某個概念是如何在曆史長河中演化、被質疑和最終確立的，這不僅豐富瞭知識內容，也讓冰冷的數學公式帶上瞭一層人文色彩。這種多維度的敘事策略，使得長篇閱讀的疲勞感被大大衝淡，讀起來是一種知識的享受而非單純的苦役。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計確實很有吸引力，簡潔中透露著一種深邃感，那種幾何圖形的交織與抽象綫條的運用，讓人一眼就能感受到它非同尋常的數學深度。裝幀質量也相當不錯，拿在手裏很有分量，紙張的質感和印刷的清晰度都體現瞭齣版方對內容的尊重。當然，作為一本理論性很強的著作，內容纔是王道。我翻閱瞭前幾章的緒論部分，作者對於“非交換”這個核心概念的引入非常巧妙，沒有一上來就陷入復雜的代數結構，而是通過一些直觀的類比和曆史背景的鋪陳，為讀者構建瞭一個認識新領域的思維框架。特彆是關於空間概念如何從傳統微分幾何的“點”和“流形”擴展到更加普適的代數對象這一論述，讀起來有一種豁然開朗的感覺。作者的寫作風格是那種嚴謹而不失溫度的，既有數學傢對精確性的執著，又像是經驗豐富的導師在循循善誘，讓人願意跟隨他深入探索那些看似晦澀的數學前沿。我個人非常欣賞這種平衡，它極大地降低瞭初學者麵對新領域時的畏懼感，使得探索的過程變得更加平順和富有成效。總而言之，從物理層麵的觸感體驗到概念構建的邏輯起點，這本書都展現齣瞭極高的水準，讓人期待接下來的深入閱讀體驗。

評分☆☆☆☆☆