An introduction to noncommutative geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026
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具体描述
Noncommutative geometry, inspired by quantum physics, describes singular spaces by their noncommutative coordinate algebras and metric structures by Dirac-like operators. Such metric geometries are described mathematically by Connes' theory of spectral triples. These lectures, delivered at an EMS Summer School on noncommutative geometry and its applications, provide an overview of spectral triples based on examples. This introduction is aimed at graduate students of both mathematics and theoretical physics. It deals with Dirac operators on spin manifolds, noncommutative tori, Moyal quantization and tangent groupoids, action functionals, and isospectral deformations. The structural framework is the concept of a noncommutative spin geometry; the conditions on spectral triples which determine this concept are developed in detail. The emphasis throughout is on gaining understanding by computing the details of specific examples. The book provides a middle ground between a comprehensive text and a narrowly focused research monograph. It is intended for self-study, enabling the reader to gain access to the essentials of noncommutative geometry. New features since the original course are an expanded bibliography and a survey of more recent examples and applications of spectral triples. A publication of the European Mathematical Society (EMS). Distributed within the Americas by the American Mathematical Society.
作者简介
目录信息
1 Commutative geometry from the noncommutative point of view 1
1.1 The Gelfand–Na˘ımark cofunctors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 The functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Hermitian metrics and spinc structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 The Dirac operator and the distance formula . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Spectral triples on the Riemann sphere 11
2.1 Line bundles and the spinor bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 The Dirac operator on the sphere S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Spinor harmonics and the spectrum of D/ . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Twisted spinor modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 A reducible spectral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Real spectral striples: the axiomatic foundation 21
3.1 The data set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Infinitesimals and dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 The first-order condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Smoothness of the algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Hochschild cycles and orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Finiteness of the K-cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Poincaré duality and K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 The real structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Geometries on the noncommutative torus 32
4.1 Algebras ofWeyl operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 The algebra of the noncommutative torus . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 The skeleton of the noncommutative torus . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 A family of spin geometries on the torus . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 The noncommutative integral 43
5.1 The Dixmier trace on infinitesimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Pseudodifferential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 TheWodzicki residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 The trace theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 Integrals and zeta residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Quantization and the tangent groupoid 53
6.1 Moyal quantizers and the Moyal deformation . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Smooth groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 The tangent groupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Moyal quantization as a continuity condition . . . . . . . . . . . . . . 60
6.5 The hexagon and the analytical index . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6 Quantization and the index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Equivalence of geometries 65
7.1 Unitary equivalence of spin geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Morita equivalence and connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3 Vector bundles over noncommutative tori . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4 Morita-equivalent toral geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.5 Gauge potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 Action functionals 75
8.1 Algebra automorphisms and the metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 The fermionic action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3 The spectral action principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.4 Spectral densities and asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Epilogue: new directions 85
9.1 Noncommutative field theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2 Isospectral deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Geometries with quantum group symmetry . . . . . . . . . . . . . . 90
9.4 Other developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
· · · · · · (收起)
读后感
评分
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用户评价
这本书的封面设计确实很有吸引力，简洁中透露着一种深邃感，那种几何图形的交织与抽象线条的运用，让人一眼就能感受到它非同寻常的数学深度。装帧质量也相当不错，拿在手里很有分量，纸张的质感和印刷的清晰度都体现了出版方对内容的尊重。当然，作为一本理论性很强的著作，内容才是王道。我翻阅了前几章的绪论部分，作者对于“非交换”这个核心概念的引入非常巧妙，没有一上来就陷入复杂的代数结构，而是通过一些直观的类比和历史背景的铺陈，为读者构建了一个认识新领域的思维框架。特别是关于空间概念如何从传统微分几何的“点”和“流形”扩展到更加普适的代数对象这一论述，读起来有一种豁然开朗的感觉。作者的写作风格是那种严谨而不失温度的，既有数学家对精确性的执着，又像是经验丰富的导师在循循善诱，让人愿意跟随他深入探索那些看似晦涩的数学前沿。我个人非常欣赏这种平衡，它极大地降低了初学者面对新领域时的畏惧感，使得探索的过程变得更加平顺和富有成效。总而言之，从物理层面的触感体验到概念构建的逻辑起点，这本书都展现出了极高的水准，让人期待接下来的深入阅读体验。
评分坦率地说，这本书的难度曲线相当陡峭，但这种陡峭并非源于刻意的卖弄或晦涩的术语堆砌，而是源于它所触及的数学前沿本身的复杂性。我尝试着去理解其中关于非交换代数与拓扑学之间联系的章节，发现作者在构建证明链条时，几乎没有留下任何“软着陆”的余地，每一个定理的推导都建立在扎实的群论和环论基础之上。这迫使我不得不频繁地查阅附录中关于某些特定代数结构定义的资料，才能勉强跟上作者的思维跳跃。然而，尽管过程充满挑战，一旦成功理解了某个关键性的结构，那种“掌握了宇宙某种新运作规律”的成就感是无可替代的。这本书更像是一部武功秘籍，它不会手把手教你如何运用招式，而是直接把最高深的内功心法呈现给你，要求学习者具备极强的自驱力和批判性阅读能力。对于那些已经对经典几何学有深刻理解，并渴望将工具箱升级到更高维度的研究者来说，这本书无疑是一座宝藏。它不像某些入门读物那样为了迎合大众而牺牲了深度，它忠实地反映了该领域当前研究的广度和深度。
评分这本书的结构安排展现出一种精妙的层次感，这在处理跨学科或高度抽象的数学主题时尤为重要。我注意到，作者非常重视对不同数学分支之间“桥梁”的搭建。比如，在讨论如何利用非交换C*-代数来重构空间信息时，他花费了大量篇幅来回溯泛函分析中的关键概念，确保读者能够理解这种“几何化”过程背后的分析基础。这种细致的铺陈，使得读者即使对某些子领域不是专家，也能通过上下文获得足够的支撑。此外，书中引用的参考文献列表也极其详尽和权威，几乎囊括了该领域所有里程碑式的论文和著作，这为想要进行更深层次拓展的读者提供了清晰的指引。我个人特别喜欢书中穿插的一些“历史洞察”小节，这些部分往往能揭示某个概念是如何在历史长河中演化、被质疑和最终确立的，这不仅丰富了知识内容，也让冰冷的数学公式带上了一层人文色彩。这种多维度的叙事策略，使得长篇阅读的疲劳感被大大冲淡，读起来是一种知识的享受而非单纯的苦役。
评分这本书的排版和符号系统也值得称赞，这对于阅读高度抽象的数学著作至关重要。作者采用了非常一致和现代的数学排版标准，公式对齐清晰，符号定义明确，几乎没有出现因排版混乱导致的阅读中断。在处理复杂的张量、代数运算和空间变换时，作者总是能恰当地使用不同的字体或下标来区分不同的结构层次，这极大地减轻了大脑在解析复杂表达式时所承受的认知负荷。此外，章节之间的过渡处理得非常流畅自然，很少出现那种突然将读者抛入未知领域的突兀感。虽然内容本身是前沿的，但呈现方式却是极其友好的，这背后无疑是作者和编辑团队在细节上的反复打磨。阅读体验的舒适度，对于一本需要反复研读的学术专著来说，是衡量其质量的重要软指标。在这方面，这本书的表现是超乎预期的，它成功地将晦涩的知识包装在了易于消化的载体中，使得读者能够更专注于理解数学思想的精髓，而不是纠结于符号的辨识。
评分从一个应用数学或者理论物理背景的读者的角度来看，这本书的价值在于它提供了一个理解现代物理学某些深层结构的新视角。虽然书中内容本身是纯粹的代数和拓扑框架，但其在概念上的普适性，使得读者能够轻易地将其映射到量子场论、弦理论甚至是信息论的某些非经典模型中。书中关于“非交换流形”的构造性讨论，尤其是如何处理这些空间上的微分算子和度量，给出了一个非常清晰的数学蓝图。我尤其关注了作者在引入非交换黎曼几何时的论证方式，他并没有回避理论上的困难，反而将这些困难视为新几何特性的体现。这与传统微分几何的“光滑性”要求形成了鲜明的对比，揭示了在更广阔的数学空间中，我们对“局部性”和“度量”的理解必须做出怎样的深刻调整。这本书的论述风格更偏向于一种“构造性证明”，即通过清晰的步骤构建出新的数学实体，这种风格对于需要将理论转化为模型的实践者来说，具有极高的指导意义。它不仅仅是知识的陈述，更是一种思考方式的示范。
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