Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Commutative geometry from the noncommutative point of view 1
1.1 The Gelfand–Na˘ımark cofunctors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 The functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Hermitian metrics and spinc structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 The Dirac operator and the distance formula . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Spectral triples on the Riemann sphere 11
2.1 Line bundles and the spinor bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 The Dirac operator on the sphere S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Spinor harmonics and the spectrum of D/ . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Twisted spinor modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 A reducible spectral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Real spectral striples: the axiomatic foundation 21
3.1 The data set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Infinitesimals and dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 The first-order condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Smoothness of the algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Hochschild cycles and orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Finiteness of the K-cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Poincaré duality and K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 The real structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Geometries on the noncommutative torus 32
4.1 Algebras ofWeyl operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 The algebra of the noncommutative torus . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 The skeleton of the noncommutative torus . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 A family of spin geometries on the torus . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 The noncommutative integral 43
5.1 The Dixmier trace on infinitesimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Pseudodifferential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 TheWodzicki residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 The trace theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 Integrals and zeta residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Quantization and the tangent groupoid 53
6.1 Moyal quantizers and the Moyal deformation . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Smooth groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 The tangent groupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Moyal quantization as a continuity condition . . . . . . . . . . . . . . 60
6.5 The hexagon and the analytical index . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6 Quantization and the index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Equivalence of geometries 65
7.1 Unitary equivalence of spin geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Morita equivalence and connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3 Vector bundles over noncommutative tori . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4 Morita-equivalent toral geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.5 Gauge potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 Action functionals 75
8.1 Algebra automorphisms and the metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 The fermionic action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3 The spectral action principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.4 Spectral densities and asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Epilogue: new directions 85
9.1 Noncommutative field theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2 Isospectral deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Geometries with quantum group symmetry . . . . . . . . . . . . . . 90
9.4 Other developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
· · · · · · (收起)