Introduction to Quadratic Forms Over Fields pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Lam, T. Y.

出品人:

页数:550

译者:

出版时间:2004-12

价格:1428.00元

装帧:

isbn号码:9780821810958

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 二次型
• Quadratic Forms
• Field Theory
• Algebra
• Number Theory
• Algebraic Geometry
• Matrices
• Linear Algebra
• Bilinear Forms
• Classification
• Invariants

《二次型领域概览》 本书旨在为读者提供一个关于二次型在代数领域中应用的全面介绍。我们将深入探讨二次型的定义、基本性质，以及它们在不同数学分支中的重要作用。全书结构清晰，逻辑严谨，力求使读者对这一核心代数概念有一个深刻的理解。 第一部分：二次型的基础理论 我们将从二次型的基本定义出发，阐述如何将二次型表示为矩阵的形式，并讨论矩阵的对称性在此概念中的关键作用。随后，我们将引入二次型的等价概念，以及如何通过合同变换将二次型化为标准形。这一过程将是理解后续章节的基础。我们会详细讲解如何利用行变换和列变换来实现这一目标，并介绍判别二次型是否可逆或退化的方法。 第二部分：二次型与域的关系 本书的核心内容之一便是探究二次型与域（Field）之间的紧密联系。我们将首先回顾域的基本概念，包括加法、乘法、逆元等性质，以及一些重要的域，如实数域、复数域、有理数域和有限域。在此基础上，我们将重点分析二次型在不同域上的行为差异。例如，在实数域上，我们熟悉惯性律（Sylvester's Law of Inertia）将二次型唯一地确定为其正负惯性指数。我们将深入探讨这个定理，并证明其在实数域上的普遍适用性。 接着，我们将把视角转向更一般的域，例如函数域或代数数域。在这些非阿基米德（non-Archimedean）或特征非零（non-zero characteristic）的域上，二次型的性质会发生显著的变化。我们将介绍一些处理这类域上二次型的方法，例如通过域的扩张来简化问题，或者利用域的局部性质来分析二次型。 第三部分：二次型的分类与不变量 在理解了二次型的基本表示和与域的关系后，我们将专注于二次型的分类问题。我们将介绍一些重要的不变量，这些不变量能够在二次型进行等价变换时保持不变。例如，二次型的秩（rank）就是一个基本的不变量。我们还将介绍判别二次型等价性的更强判据，例如在某些域上，判别二次型是否等价可能需要考虑更多的代数信息。 本书将特别关注二次型的“类”（classes）。我们将展示如何将所有（在给定域上的）二次型划分为有限或无限个等价类，并讨论如何表征这些类。这将涉及到一些更高级的代数工具，例如域的平方元（squares）以及域的平方剰余（quadratic residues）。 第四部分：二次型在代数几何与数论中的应用 二次型的研究并非仅仅停留在抽象的代数层面，它们在代数几何和数论等重要领域有着广泛而深刻的应用。 在代数几何方面，二次型可以用来描述代数簇（algebraic varieties）的几何性质。例如，二次曲面（quadric surfaces）就是由二次型定义的。我们将探讨如何利用二次型的理论来分析这些几何对象的结构、维数以及它们之间的关系。 在数论方面，二次型扮演着至关重要的角色。例如，费马定理（Fermat's theorem on sums of two squares）就是关于整数是否能表示为两个平方数之和的定理，这本质上是一个二次型问题。我们将展示如何利用域论和二次型理论来解决一些经典的数论问题，例如平方和问题、丢番图方程（Diophantine equations）等。此外，我们还将介绍二次互反律（quadratic reciprocity）以及它与二次型之间的联系。 第五部分：进阶主题与研究方向 在本书的最后部分，我们将简要介绍一些与二次型相关的进阶主题，为希望进一步深入研究的读者指明方向。这可能包括： 高维二次型与 Clifford 代数： 探讨更高维空间中的二次型，以及它们与 Clifford 代数之间的深刻联系。 二次型的几何解释： 关注二次型在几何中的具体表现，例如二次型所定义的二次曲面在射影几何或仿射几何中的性质。 二次型与表示论： 探讨二次型在表示论中的作用，例如如何利用二次型来研究群或代数的表示。 二次型在计算机科学中的应用： 简要提及二次型在某些特定算法或编码理论中的潜在应用。 本书的目标是提供一个坚实的基础，帮助读者理解二次型在代数领域的丰富性和重要性，并为他们进一步探索更高级的数学概念奠定良好的基础。我们相信，通过对二次型理论的学习，读者将能够更好地理解和解决许多当代数学研究中的重要问题。

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Quadratic forms are homogeneous functions of degree two in n variables. Specifically, they are functions of the form Σaijxixj. They can be put in correspondence with symmetric n-by-n matrices and, when the characteristic of the field is not equal to two, w...

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我抱着一种朝圣者的心情阅读这本书，它确实具有一种“经典”的气质，那种不随时间流逝而褪色的严谨性。全书的论述洋溢着一种对数学纯粹性的极致追求，几乎没有“水分”。对于那些希望了解二次型理论如何与代数拓扑中的同调理论巧妙结合的读者而言，书中关于二次上同调环（Quadratic Cohomology Rings）的部分，虽然篇幅不长，但其结论的深刻性足以引发长时间的沉思。作者巧妙地将二次型的判别式（Discriminant）提升到域的扩张理论的高度来考察，这提供了一种全新的视角来理解为什么某些形式是可表示的而另一些则不行。尽管本书的语言风格偏向于教科书式的正式，但其内在的数学美感是毋庸置疑的。它不是一本用来打发时间的休闲读物，而是一份需要投入大量精力的学术资源。总而言之，这是一部深邃、全面且极具权威性的著作，它为理解域上二次型提供了一个坚实、无懈可击的代数基础，其贡献在于为该领域的研究者提供了最前沿的分析工具和最坚固的理论基石。

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我花了数周时间试图理解书中的核心论点，尤其是在处理二次型在 $p$-adic 数域 $mathbb{Q}_p$ 上的分类问题时。这本书的叙述风格极度凝练，仿佛每一个句子都承载了数页的背景信息。它对 Clifford 代数（Clifford Algebras）的引入和运用非常成熟，将其作为连接几何直观与代数结构的关键桥梁。书中大量使用了矩阵的合同关系（Congruence relations）和正交群的结构分析，这些部分读起来像是一场精密的外科手术，需要读者精确把握每一个操作的意义。我尤其欣赏作者在处理非奇异二次型（Non-degenerate quadratic forms）的分类定理时的详尽讨论，那涉及到对数域（Logarithmic Fields）和指数域（Exponential Fields）特性的依赖，这是我在其他更偏向于经典几何的教材中鲜少见到的视角。然而，对于那些期待看到大量具体数值例子或图形辅助的读者来说，这本书可能会令人失望。它几乎完全专注于纯粹的代数结构，几何直观更多地需要读者自行构建或从先前的知识中提取。它要求读者不仅要“会算”，更要“会想”，将二次型的概念提升到抽象的代数对象层面进行操作，无疑对读者的抽象思维能力是极大的考验。

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这本定价不菲的著作，甫一入手便给人一种厚重而古朴之感，装帧设计沉稳内敛，纸张质感上佳，很符合其所探讨主题的数学深度。我带着对高等代数中二次型概念的模糊记忆和对数论中丢番图方程的些许好奇翻开了它。坦白说，初读之下，扑面而来的是一连串对域（Fields）结构严谨而抽象的定义，仿佛置身于一个逻辑缜密的迷宫。作者似乎完全没有“平易近人”的意图，开篇即直奔主题，围绕着二次型在不同代数结构下的行为展开激烈的讨论。书中对二次型在有限域（Finite Fields）上的可表示性问题，以及与符号双曲面（Hyperboloid of one sheet）几何类比的阐述，着实令人拍案叫绝。尤其是关于 Witt 环和 Hasse 原理在不同域上的推广，那些精妙的构造和证明过程，展现了作者深厚的数论功底和对范畴论的深刻理解。尽管阅读过程需要极高的专注度和扎实的预备知识——没有扎实的线性代数和抽象代数背景，很可能寸步难行——但每当攻克一节证明，那种豁然开朗的智力满足感是其他科普读物无法比拟的。此书更像是一份给专业研究者准备的“工具箱”，而非面向初学者的“入门指南”，但其严谨性和深度无疑使其成为该领域内不可或缺的参考书。

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老实说，这本书的阅读体验是极具挑战性的，但同时也充满了学术上的“陷阱”和“惊喜”。它并不是一本可以轻松翻阅的书，更像是一份需要被反复研读、批注和思考的文献。我注意到作者在引用和参考文献方面极为审慎，几乎所有重要的结论都可追溯到更早期的经典工作，但作者的贡献在于构建了一个统一的框架来审视这些分散的理论。书中关于二次型和代数K理论（Algebraic K-theory）之间微妙联系的探讨，是我认为全书最精彩的部分之一。它揭示了看似无关的两个数学分支之间存在的深层同构关系。这种跨领域的洞察力，使得本书不仅仅是二次型理论的总结，更像是一部连接数论、代数几何和表示论的“暗码本”。唯一让我感到困惑的是，某些关于域扩张和伽罗瓦上同调（Galois Cohomology）的章节，其难度陡增，甚至连一些知名的专业人士也认为其论述过于晦涩，需要参考更专业的K-理论教材才能完全消化其精髓。这本书无疑为该领域树立了新的严谨性标杆，但其“高墙”般的入门门槛也限制了其在更广泛的数学群体中的普及。

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这本书的结构布局非常清晰，从最基础的二次型定义开始，逐步引入了兰姆达（Lambda）函数、二次型的不变量（Invariants）和 Witt 群的构造，然后系统地探讨了在不同类型的域上的可表示性问题——从实数域的平凡到有限域的复杂性，再到函数域（Function Fields）的特殊性质。作者对局部-整体原理（Local-Global Principle）在二次型理论中的应用展现了极高的驾驭能力。书中对 Clifford 代数的结构定理的证明部分，采用了非常现代且简洁的方法，避免了过多依赖于复杂的矩阵运算，而是更多地依赖于双线性形式的性质。我特别留意了关于“收缩性二次型”（Definite Quadratic Forms）在有序域上的性质，作者通过引入一个排序的代数结构来刻画这些形式，这种处理方式极具洞察力。这本书的价值在于其对“为什么”的深刻解答，而非仅仅罗列“是什么”。它强迫读者思考二次型背后的基本代数原理，而不是简单地背诵分类定理。对于那些计划深入研究代数几何中二次簇（Quadric Surfaces）或代数拓扑中布尔代数的人来说，这本书提供的基础框架是无价之宝。

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很标准的教材，不过有些地方写的容易看不出思路，Pete Clark有份这个内容的online notes还蛮好的

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