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出版者:浙江大学出版社

作者:马腾

出品人:

页数:180

译者:

出版时间:2009-6

价格:14.00元

装帧:

isbn号码:9787308067621

丛书系列:

图书标签:

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探索未知疆域：解析几何与空间变换的奥秘 图书名称： 进阶几何学：从欧几里得到黎曼空间 图书简介： 本书旨在为具有扎实初等几何基础的学习者提供一个深入、系统的进阶几何学探索之旅。我们不再满足于平面上的直观结论，而是将目光投向更高维度、更复杂的空间结构，以及驱动现代物理学和工程学发展的数学工具。 第一部分：解析几何的精深化 本部分将解析几何提升至一个全新的深度。我们从经典的笛卡尔坐标系出发，但迅速引入齐次坐标系的概念，为理解三维空间中的刚体运动和透视投影奠定基础。详细阐述了二次曲线和二次曲面的通用方程，并着重分析了它们的几何性质——如何通过矩阵的特征值分解来识别和描绘椭圆、双曲线、抛物面以及椭圆抛物面。 深入探讨向量代数在几何中的应用。不仅限于点积和叉积，本书引入了外积（Grassmann代数中的楔积）在计算平面面积、空间体积以及理解方向上的优越性。对于曲线的描述，我们超越了简单的参数方程，引入曲率和挠率的概念，精确量化空间曲线的弯曲程度和扭转趋势，这对于轨道力学和机器人运动规划至关重要。 第二部分：微分几何的基石 这是本书的核心与难点所在，我们将从一维到高维空间进行严格的微分几何探讨。 2.1 曲线论（The Geometry of Curves）： 在欧几里得空间 $mathbb{R}^3$ 中，我们以弗雷内-塞尔塞（Frenet-Serret）标架为工具，系统推导了描述空间曲线运动的六个一阶微分方程。分析了等曲率曲线（如螺旋线）的性质，并探讨了在非欧几里得背景下，这些经典工具如何失效或需要修正。 2.2 表面论（The Geometry of Surfaces）： 表面是连接低维几何与高维几何的关键桥梁。我们引入第一、第二基本形式，它们是度量表面上距离和角度的内在工具。重点讲解主曲率、高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。通过高斯绝妙定理（Theorema Egregium），我们清晰地证明了高斯曲率是表面的内在不变量，不受其在三维空间中如何弯曲的影响，这是几何学思想的巨大飞跃。读者将理解为什么在球面（正曲率）和马鞍面（负曲率）上，欧几里得几何不再适用。 2.3 测地线（Geodesics）： 测地线是“弯曲空间中的直线”。我们利用变分法（但不深入变分法的理论细节）推导出测地线的欧拉-拉格朗日方程。通过具体的例子，如球面上两点间的最短路径（大圆弧），读者将直观理解测地线在弯曲流形上的物理意义——最小化路径的长度。 第三部分：流形与非欧几何的初步接触 本部分将几何学的视角从光滑的欧几里得空间扩展到抽象的流形（Manifolds）概念，这是理解广义相对论等现代物理学的必备语言。 3.1 流形的基本概念： 介绍拓扑空间到可微流形的过渡。理解图册（Atlas）和坐标变换的数学要求，明白为什么局部看起来像欧几里得空间（如地球表面局部看起来是平的），但整体结构却不同。 3.2 张量分析的几何视角： 张量是描述物理量和几何性质在坐标变换下保持不变性的数学对象。我们介绍协变和反变向量、张量场的概念。重点分析共变导数（Covariant Derivative），这是在弯曲空间中定义“切线方向”和“平行移动”的关键。它修正了传统偏导数在曲面上失效的问题。 3.3 黎曼几何的入口： 引入黎曼度量张量 $g_{ij}$，它是定义空间中距离和角度的基本对象。通过这个度量，我们可以计算所有曲率张量，包括更深层次的里奇张量（Ricci Tensor）和黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。本书将侧重于解释这些张量如何量化空间本身的“扭曲”程度，并展示黎曼几何如何成为描述引力场本质的框架。 本书特色与目标读者： 本书避免了过于冗长的代数运算，着重于几何直觉的培养与物理意义的阐释。每一个新概念的引入都伴随着丰富的几何实例和图示分析。 目标读者为：数学专业高年级本科生、研究生，以及对高等几何、微分几何有强烈兴趣的物理学、航空航天、计算机图形学（特别是三维重建和虚拟现实）领域的研究人员和工程师。读者应具备微积分、线性代数和基础的多元微积分知识。本书将是衔接欧氏几何与爱因斯坦几何的坚实桥梁。

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我通常对市面上那些号称“奥赛巅峰”的书籍持保留态度，因为很多不过是把历年真题堆砌起来，缺乏内在的教学体系。然而，这本书的独到之处在于它对“思维转换”的重视。它不是教你如何套用公式，而是强迫你跳出舒适区，用一种全新的、更具创造性的视角去看待问题。比如，在讲解数论的高级技巧时，作者引入了一些跨学科的视角，比如信息论中的某些概念如何反过来启示我们对同余关系的理解，这种融会贯通的处理方式，极大地拓宽了我的思路边界。我花了整整一个下午，沉浸在其中关于“构造性证明”的那一节，它不仅展示了证明的步骤，更像是在记录一位大师的创作过程，充满了实验、试错和最终的灵光乍现。这种叙事风格，使得原本枯燥的数学推理过程变得富有张力和人情味，让人感觉自己不是在被动接受知识，而是在主动参与一场智力探险。

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这本新书，我拿到手的时候，就被它沉稳的书脊设计和封面那种低调的奢华感吸引了。初翻几页，首先映入眼帘的是排版——简直是教科书级别的典范。字体大小、行间距，都拿捏得恰到好处，阅读起来丝毫没有压迫感，即便是面对那些看起来就让人头疼的复杂公式，也能保持一种相对平和的心态去审视它们。作者在章节的组织上展现了极高的逻辑性，从基础概念的引入，到中级技巧的打磨，再到高阶思维模式的构建，每一步都像是精心铺设的阶梯，稳健地引人向上。我尤其欣赏它在概念阐述时的那种“抽丝剥茧”的耐心，很多我过去理解得模棱两可的地方，经过作者的细致剖析后，顿时豁然开朗。特别是关于几何证明的那些章节，它没有仅仅停留在给出标准流程，而是深入探讨了“为什么这样证明是最高效的”，这种对数学思想的深度挖掘，远超出了普通应试辅导材料的范畴，更像是一次深入的哲学思辨，让人在解题之余，也能体会到数学之美。

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说实话，这本书的难度曲线设置得非常陡峭，但又不是那种不近人情的“劝退”曲线。在前三分之一的内容中，作者确实花了大篇幅来巩固那些被很多教程轻视的基础概念，比如集合论在分析问题中的精确应用，或者拓扑学直觉在空间想象中的辅助作用。但越往后走，挑战性就直线上升。我个人感觉，它更像是为那些已经具备扎实基础，渴望冲击顶尖竞赛（比如国际赛层面）的选手准备的“特种训练营”。书中的例题设计精妙绝伦，往往一个看似简单的条件隐藏着一个需要多重技巧叠加才能攻克的陷阱。每次解开一道题，那种成就感是空前的，因为它检验的不仅仅是知识的记忆量，更是对问题本质的洞察力。尤其是它对“反证法”在处理存在性问题时的深化讨论，简直是教科书级别的示范，教会了我如何在看似无解的困境中寻找突破口。

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与其他强调“速成”和“技巧大全”的辅导书相比，这本书散发出一种沉静的、强调长期积累的学者气质。它没有给出任何“速赢秘籍”，相反，它反复强调的是对数学语言的敬畏和对逻辑严谨性的苛求。阅读过程中，我发现自己开始留意那些平时容易忽略的细节，比如对“存在”和“任意”的精确界定，对数学符号使用的规范性。这种潜移默化的影响，已经超越了单纯提高解题分数本身，而是在重塑我的思维习惯。它就像一位严厉但公正的导师，时刻提醒我，真正的数学能力，建立在坚实、无可挑剔的逻辑基石之上。对于那些习惯于依赖“套路”的读者，这本书初读时可能会感到吃力甚至有些沮丧，因为它要求你真正地“思考”，而不是“模仿”。但坚持下来，你会发现，你对整个数学学科的理解深度，已经提升到了一个新的维度。

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这本书的装帧和纸张质量也值得一提，这对于一本需要反复翻阅和演算的参考书来说至关重要。内页的纸张厚实，不易洇墨，即使用钢笔进行大量的批注和演算，也不会影响下一页的阅读体验。这种对物理媒介的尊重，也侧面反映了作者对知识传递的严肃态度。更让我惊喜的是，书中附带的“拓展阅读”建议部分，它引导读者去探索数学史上的那些关键时刻和伟大人物的思想脉络，这使得学习过程不再是孤立的刷题，而是融入了更广阔的人类知识图谱之中。我根据书中的建议去查阅了几篇相关的历史文献，发现它们与书中的某些证明思路形成了绝妙的呼应。这本书的价值，在于它不仅仅是一本解题手册，更像是一张通往更深层次数学世界的导览图，引导着有志于此的探索者，去发现那些尚未被完全标注的领域。

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