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出版者:Springer

作者:Sheldon Axler

出品人:

页数:274

译者:

出版时间:2001-01-25

价格:USD 69.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387952185

丛书系列:

图书标签:

• pde
• 复变函数
• 调和函数
• 偏微分方程
• 复分析
• 数学分析
• 潜在理论
• 边界值问题
• 函数论
• 数学
• 高等数学

经典物理学中的张量分析与微分几何 导言：探索物理世界的数学语言 本书旨在为物理学、工程学以及数学专业的研究生和高年级本科生提供一个全面且深入的张量分析与微分几何的入门指南。在现代物理学的宏大叙事中，从牛顿力学的经典阐述到爱因斯坦的广义相对论的革命性框架，再到描述材料力学特性的连续介质力学，数学工具的精妙运用是理解和构建这些理论的基石。张量分析和微分几何正是描述时空、物质分布及其相互作用的最佳语言。 本书的独特之处在于，它不仅仅局限于纯粹的数学推导，而是紧密地结合了物理学的实际应用场景，力求在概念清晰与应用导向之间找到完美的平衡点。我们相信，只有当抽象的数学结构与具体的物理现象紧密联系时，才能真正掌握其精髓。 第一部分：欧几里得空间中的张量基础 本部分聚焦于传统的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的张量代数和分析，为进入更复杂的流形理论打下坚实的基础。 第1章：坐标系变换与张量的定义 我们从对物理定律的协变性要求出发，引入坐标变换的概念。详细阐述了如何从标量、矢量（一阶张量）推广到任意高阶张量。重点讨论了上指标（协变）和下指标（反变）的物理意义及其在指标提升和降低中的作用。 1.1 坐标变换的类型： 直角坐标系、柱坐标系、球坐标系，以及更一般的坐标系对物理量的表示形式的影响。 1.2 张量的严格定义： 基于多重线性映射的定义，确保了张量与所选坐标系的独立性。 1.3 基本运算： 张量积、缩并（Contractio）、对称化与反对称化。这些操作在描述材料的应力状态和电磁场等方面至关重要。 第2章：指标演算与微分算子 本章将指标运算应用于矢量微积分的推广，引入了微分几何中的基本工具。 2.1 黎曼克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）： 虽然在欧几里得空间中可以采用笛卡尔坐标系简化问题，但为了后续过渡到弯曲空间，我们在此引入该符号，并讨论其在一般坐标系下的定义及其非张量性。 2.2 协变导数（Covariant Derivative）： 这是将导数推广到非笛卡尔坐标系或弯曲空间的核心概念。详细推导了矢量和张量的协变导数公式，并阐述了其保证物理定律形式不变性的重要性。 2.3 应用： 散度、旋度和拉普拉斯算子的张量形式。特别关注在流体力学中描述物质守恒定律的表达方式。 第3章：二次型与度规张量 度规张量是衡量空间中距离和角度的基础工具，也是连接几何与物理的桥梁。 3.1 度规张量的引入： 在欧几里得空间中，我们以欧几里得度规 $g_{mu u} = delta_{mu u}$ 开始，但随后推广到更一般的黎曼度规。 3.2 度规张量的逆和行列式： 讨论 $det(g)$ 的物理意义，以及如何使用其伴随矩阵计算反变度规 $g^{mu u}$。 3.3 长度、面积与体积的张量表示： 利用 Levi-Civita 符号和度规张量，展示如何计算曲线长度、曲面面积元素以及在三维空间中的体积元素 $dV = sqrt{|g|} d^3x$。 第二部分：流形上的微分几何基础 本部分将前一部分的分析工具提升到更抽象、更具几何意义的微分流形框架下，这是理解广义相对论和拓扑物理学的必要前提。 第4章：流形的拓扑与微分结构 我们从拓扑空间的连续性概念出发，构建可微分的结构。 4.1 拓扑空间回顾： 邻域、开集、闭集的基本概念。 4.2 流形的定义： 局部坐标系、图（Chart）、开复盖（Atlas）的概念。重点讨论了 2-流形（曲面）和 4-流形（时空）的具体实例。 4.3 可微性与光滑函数： 在图之间的坐标变换必须是光滑的，这是定义流形上微分计算的前提。 第5章：切空间与切丛 理解张量必须先理解其作用的空间——切空间。 5.1 切向量的定义： 基于曲线沿着流形的切向方向，定义切向量为方向导数的线性算子。 5.2 切空间（Tangent Space）： 在流形上每一点 $p$ 都有一个与之关联的切空间 $T_p M$，它是一个向量空间。我们展示了如何通过局部坐标系来构造该空间的一组基 ${ frac{partial}{partial x^mu} }$. 5.3 余切空间与 1-形式： 定义了共轭空间——余切空间 $T_p^ M$，其中 1-形式（协变矢量）是作用于切向量的线性泛函。 第6章：张量场与向量场 将前一部分的张量概念推广到流形上的“场”的概念，即每个流形点上都有一个相应的张量或向量。 6.1 向量场与 1-形式场： 向量场 $X$ 和 1-形式场 $omega$ 是光滑的函数，将流形上的点映射到相应的切空间或余切空间。 6.2 流形上的张量场： 定义 $(k, l)$ 型张量场 $T$ 的转换律，确保其在不同图之间的粘合是一致的。 6.3 李括号（Lie Bracket）： 引入向量场之间的交换子（李括号），这是研究流形上的对称性和保积流的关键工具。 第三部分：曲率与微分形式 本部分深入研究描述流形内在几何性质的核心概念：曲率，并引入微分形式这一强大的积分工具。 第7章：联络与测地线 联络是微分几何中“平行移动”的概念，它允许我们在流形上比较不同点的切向量。 7.1 联络的定义与性质： 定义 Levi-Civita 联络（基于度规和正交性要求），并推导出其分量与克里斯托费尔符号的关系。 7.2 测地线方程： 测地线是流形上“最短路径”（或更准确地说是“最直路径”）。详细推导了测地线方程 $frac{d^2 x^mu}{d au^2} + Gamma^mu_{alphaeta} frac{dx^alpha}{d au} frac{dx^eta}{d au} = 0$，并讨论了其在经典力学和相对论中的对应物。 第8章：黎曼曲率张量 曲率是衡量流形弯曲程度的内在量度。 8.1 曲率的几何意义： 通过考察一个闭合回路上的平行移动的向量旋转来直观理解曲率。 8.2 黎曼曲率张量 $R^ ho_{sigmamu u}$： 严格定义曲率张量作为两个协变导数的非对易性：$R(X, Y)Z = abla_X abla_Y Z - abla_Y abla_X Z - abla_{[X, Y]} Z$。 8.3 截面曲率与里奇张量： 定义截面曲率（描述二维子流形的曲率），以及里奇张量（Ricci Tensor $R_{mu u}$），后者在爱因斯坦场方程中占据核心地位。 第9章：微分形式与德拉姆上同调（Hodge Theory 简介） 本章转向更高维度的几何和拓扑结构，引入微分形式作为积分的自然对象。 9.1 $k$-形式： 定义反对称的 $k$ 阶协变张量场，作为 $k$ 个向量的反对称多重线性函数。 9.2 外导数 $d$： 定义外导数运算，它是 $ abla_mu$ 在特定形式上的推广，满足 $d^2 = 0$ 的重要性质。 9.3 霍奇分解与德拉姆定理： 简要介绍如何利用外导数将微分形式分解（霍奇分解），并最终引出德拉姆定理，连接了微分流形上的积分（拓扑不变量）与光滑函数的微分结构。 结论 通过这三大部分的系统学习，读者将不仅掌握处理复杂几何问题的代数和分析工具，更能理解这些工具如何在广义相对论（时空几何）、电动力学（麦克斯韦方程的微分形式）以及固体力学（应变张量的变化）等前沿物理领域中发挥不可替代的作用。本书致力于培养读者对物理世界中内在对称性和几何结构的美学理解。

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我是一名对数学建模和科学计算有着浓厚兴趣的工程师。在处理一些实际问题时，我经常会遇到需要求解偏微分方程的情况，而调和函数在其中出现的频率相当高。我希望《Harmonic Function Theory》这本书能够为我提供一套实用的工具和方法，让我能够更有效地分析和解决工程领域中的问题。我期待书中能够详细介绍如何利用调和函数的性质来简化方程的求解过程，以及如何通过数值方法来逼近调和函数的解。例如，在有限元分析、边界元方法等领域，调和函数扮演着重要的角色。我希望这本书能够解释这些方法背后的数学原理，并提供一些具体的算例，展示如何将理论应用于实际的工程问题，例如求解稳态温度分布、电场分布等。我希望这本书能够帮助我更好地理解和应用调和函数，从而提高我解决工程问题的能力。

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我是一位对数学史和数学思想发展史很感兴趣的读者。在阅读许多数学史的材料时，我经常会遇到“调和分析”和“调和函数”这样的词汇，但对其细节却知之甚少。《Harmonic Function Theory》这本书，从书名上看，似乎正是深入了解这一数学分支的绝佳机会。我非常好奇，调和函数这个概念是如何被发现和发展的？它在数学史上扮演了怎样的角色？又是哪些伟大的数学家为这个理论做出了贡献？我希望这本书不仅仅是一本技术性的教科书，更能包含一些历史的视角，讲述调和函数理论在不同时期所面临的挑战、所取得的突破，以及它如何与其他数学领域相互促进，共同发展。或许，书中会提到傅里叶级数和傅里叶变换的引入如何与调和函数紧密相连，以及这些工具如何深刻地改变了我们对信号、图像和方程的理解。我希望这本书能够让我对调和函数的历史脉络有一个清晰的认识，并体会到数学思想的演进过程。

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作为一名对偏微分方程领域充满兴趣的研究生，我一直在寻找能够加深我对各种方程理解的权威参考书。《Harmonic Function Theory》这个书名听起来就与我正在研究的课题息息相关，我推测它应该会深入探讨在许多物理现象中起着核心作用的拉普拉斯方程及其解。我期望这本书能够提供一套系统而严谨的理论框架，从调和函数的定义、基本性质，如平均值性质、最大值原理等，到更高级的主题，如希尔伯特变换、泊松方程、维纳方程等，甚至是与调和函数相关的边界值问题和某些特殊函数的性质。我希望这本书能够清晰地阐述这些概念背后的数学思想，并提供严密的证明，让我能够扎实地掌握这些工具。此外，我也期待书中能够包含一些经典的例子和应用，例如在热传导、电势理论、流体力学等领域中调和函数的应用，这将有助于我更好地理解理论的实际意义，并启发我将这些知识应用于我的研究工作中。

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我一直对数学中的某些抽象概念着迷，尤其是那些能够将看似不相关的领域联系起来的工具。当我偶然看到《Harmonic Function Theory》这本书时，我立刻被它的标题吸引住了。尽管我对调和函数理论本身并没有深入的了解，但我直觉地认为，这可能是一本能够揭示数学深层结构和优美之处的书籍。我想象着，这本书会像一把钥匙，打开通往数学世界新维度的大门，让我能够理解那些在物理学、工程学甚至其他科学分支中扮演关键角色的数学原理。我期待它能以一种引人入胜的方式，循序渐进地介绍调和函数的概念，从最基础的定义和性质开始，逐步深入到更复杂的理论和应用。我希望这本书能够帮助我理解，为什么调和函数如此重要，它们在解决实际问题中发挥着怎样的作用，以及它们与其他数学分支之间存在怎样的联系。当然，我更希望它能激发我的思考，让我能够独立地去探索和发现调和函数的美妙之处，而不仅仅是被动地接受书本上的知识。这本书的名字本身就充满了神秘感，让我不禁想要一探究竟。

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作为一个数学爱好者，我总是在寻找那些能够挑战我思维、拓展我认知边界的书籍。《Harmonic Function Theory》这个书名听起来就有一种深邃而优雅的感觉，让我联想到数学中那些纯粹而深刻的结构。我猜测这本书会以一种非常抽象的方式来探讨调和函数，可能涉及到更高级的泛函分析、微分几何以及复分析的概念。我期待这本书能够引领我进入一个更加广阔和精妙的数学世界，让我理解调和函数在现代数学研究中的重要地位，例如它们在黎曼曲面、复流形以及更高级的代数几何中的应用。我希望这本书能够以一种富有启发性的方式，让我领略到数学的抽象之美，理解那些看似遥远的概念如何能够揭示宇宙的奥秘。我期待它能够提供一些令人拍案叫绝的定理和证明，让我对数学的理解提升到新的高度，并激发我进一步探索更复杂的数学领域。

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