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出版者:The Mathematical Association of America

作者:John Oprea

出品人:

页数:510

译者:

出版时间:2007-7-10

价格:717.00元

装帧:Hardcover

isbn号码:9780883857489

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何7
• 专业参考书
• 微分几何
• 流形
• 拓扑学
• 几何学
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• 曲线曲面
• 黎曼几何
• 广义相对论
• 计算机图形学

拓扑学基础与流形几何导论 本书旨在为对现代几何学感兴趣的研究生和高年级本科生提供一个严谨而全面的入门导轨，重点聚焦于拓扑学的基础概念及其在微分几何中的应用。我们力求构建一个逻辑清晰、层层递进的知识体系，使读者不仅掌握必要的数学工具，更能理解这些工具背后的深刻几何直觉。 第一部分：基础拓扑学——空间的结构与连续性 本部分从最基本的集合论和拓扑空间定义出发，为后续的几何研究奠定坚实的分析基础。 第一章：拓扑空间的构造与基本概念 本章首先回顾必要的集合论预备知识，如开集、闭集、邻域、基（Basis）和紧致性（Compactness）的定义。我们引入拓扑空间的概念，并详细探讨各种重要的拓扑结构，例如离散拓扑、不可分拓扑以及欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准拓扑。 开集与闭集的性质：深入分析它们的交集、并集的运算规律，并引入闭包 ($ar{A}$) 和内部 ($ ext{Int}(A)$) 的概念及其在不同拓扑中的表现。 点集拓扑的度量：介绍度量空间（Metric Spaces）作为拓扑空间的一个重要子类。讨论完备性（Completeness）的概念，并通过巴拿赫不动点定理（Banach Fixed Point Theorem）展示其在分析中的应用。 连续函数：从集合论的角度定义连续映射，并探讨其在拓扑结构之间的保持性。 第二章：连续性的重要不变量 本章着重于那些在连续映射下保持不变的拓扑性质，这些性质是区分不同拓扑空间的关键。 连通性（Connectedness）：定义路径连通（Path-Connectedness）和连通性，证明在欧几里得空间中，两者是等价的。讨论最大连通子集——连通分支。 紧致性（Compactness）：这是拓扑学中最核心的概念之一。我们详细介绍 Heine-Borel 定理及其在 $mathbb{R}^n$ 上的推广。紧致性在线性泛函分析和常微分方程的解的存在性证明中扮演至关重要的角色。 分离公理（Separation Axioms）：系统介绍 $T_1, T_2$（Hausdorff 空间）、正则空间和规范空间的层次结构。所有流形都必须满足 Hausdorff 性质，本章将解释其几何意义。 第三章：同伦与同调——洞的计数 为了探测拓扑空间的“洞”和高维结构，本章引入代数拓扑的初步思想，这些思想是理解高维曲面性质的基础。 基本群（Fundamental Group）：定义路径、道路和基本群 $pi_1(X, x_0)$。通过圆形 $mathbb{S}^1$ 的例子，展示如何利用覆盖空间理论计算其非平凡的基本群。 更深入的拓扑不变量：简要介绍更高级的同调理论（如奇异同调），说明其如何系统地分类不同维度的“洞”，为读者过渡到流形上的张量分析做好准备。 --- 第二部分：光滑结构与切空间——从点到向量场 在建立了拓扑基础之后，本部分开始将几何概念引入，关注局部光滑的结构。 第四章：拓扑流形与光滑结构 本章正式引入拓扑流形的定义，即一个局部看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间。 图册与坐标系：详细解释图册（Atlas）和坐标变换（Transition Maps）的概念。强调局部坐标系选择的任意性，以及几何对象必须在坐标变换下保持一致性。 光滑结构（Differentiable Structure）：引入光滑流形的定义，要求坐标变换必须是光滑的（$C^infty$）。讨论 $C^k$ 结构与 $C^infty$ 结构的差异。 嵌入与浸没：介绍光滑映射（Smooth Maps）的概念，并初步探讨内蕴几何与外蕴几何的区别。 第五章：切空间与向量场 切空间是微分几何的基石，它允许我们在流形的每一点上进行线性代数运算。 切向量的定义：从曲线的切线角度直观引入，然后采用更严谨的微分算子（Derivation）的方法定义流形 $M$ 在点 $p$ 处的切空间 $T_pM$。 切丛（Tangent Bundle）：将所有切空间 $T_pM$ 作为一个整体，构造切丛 $TM$。解释 $TM$ 作为一个新的流形结构，其维度是 $2n$。 向量场：将向量场定义为作用在光滑函数上且满足特定线性法则的光滑截面。讨论向量场的局部性质和全局存在性（流）。 第六章：张量场与微分形式 本章将线性代数工具推广到流形的每一点，为构建度量和积分打下基础。 张量空间的构造：定义协变（对偶）张量空间 $T_p^M$（余切空间），以及更一般的张量空间 $T_p^kM otimes (T_p^M)^l$。 张量场：将张量推广到流形上的光滑场，重点讨论度量张量（Metric Tensor） $g$ 作为 $T_pM$ 上的一个正定对称二次型。 微分形式（Differential Forms）：定义 $k$-形式 $omega in Lambda^k(T_p^M)$。重点关注 1-形式（余向量场）和 2-形式。 --- 第三部分：微分运算与积分——流形上的分析 本部分将微分几何与分析学紧密结合，引入至关重要的微分算子。 第七章：外微分与微分算子的联系 本章的核心是外微分算子（Exterior Derivative） $d$，它是 Cartan 微分几何的粘合剂。 楔积（Wedge Product）：定义 $wedge$ 运算，并解释其在几何上对应于定向体积元。 外微分 $d$：从函数的梯度（$d f$ 是 1-形式）出发，归纳定义 $k$-形式的外微分 $domega$。 关键性质：证明 $d^2 = 0$ 的重要性，并解释其与拓扑学中群上同调关系的深远影响。 德拉姆上同调（de Rham Cohomology）：简要介绍由外微分定义的 $H^k_{ ext{dR}}(M)$ 及其作为拓扑不变量的意义。 第八章：积分、流与李导数 本章将分析工具应用于流形，特别是向量场相关的概念。 流形上的积分：定义向量场沿着曲线的积分（线积分）和 $n$-形式在 $n$-流形上的体积积分。 李导数（Lie Derivative）：定义李导数 $mathcal{L}_X$ 如何衡量一个向量场 $X$ 对另一个几何对象（如度量张量、微分形式）的“拖拽”效应。这是研究对称性和保持量的核心工具。 第九章：黎曼几何的初步展望 虽然本书不深入探讨黎曼几何，但本章提供了必要的背景和概念，作为后续学习的桥梁。 联络（Connection）：引入平移的概念，讨论如何定义协变导数（Covariant Derivative） $ abla$ 来处理切向量场的导数。强调 $ abla$ 必须满足 Leibniz 准则。 挠率与曲率的初步介绍：简要定义 挠率（Torsion） 和 曲率张量（Curvature Tensor），说明它们衡量了切空间导数的非交换性以及联络对空间的“弯曲”程度。 结论 本书通过对拓扑空间、光滑流形、切空间、张量以及微分算子的系统性阐述，为读者提供了坚实的数学基础，使他们能够有效理解现代几何学中对空间结构和几何性质的描述方式。所涵盖的工具和概念，是深入研究代数几何、微分拓扑、广义相对论和数学物理的必要起点。

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这本《Differential Geometry and its Applications》在概念的阐释上，给我留下了极其深刻的印象。它并没有停留在对基本概念的堆砌，而是深入挖掘了每个概念背后的直观几何意义，并用清晰易懂的语言将其转化为数学语言。例如，在讲解曲率时，它不只是给出了一个公式，而是通过想象一个物体在曲面上滚动，来解释法曲率和测地曲率的直观含义。这种“化繁为简”的讲解方式，极大地降低了理解门槛。书中大量运用了图示和几何直觉来辅助说明，这对于我这样偏重视觉学习的读者来说，简直是福音。我尤其欣赏作者在介绍张量分析时，并没有直接跳到抽象的张量运算，而是先从向量场、微分形式等较为具象的概念入手，逐步引导读者理解张量的本质，即它们是对几何对象进行“测量”或“转换”的一种工具。它成功地避免了许多其他教材中常见的，在初学者看来如同天书般的开场。通过生动的类比和精巧的几何构造，作者将那些看似遥不可及的概念，如流形、切空间、联络等，变得触手可及。每当遇到一个新概念，书中都会提供相应的几何场景，让我能够先在脑海中勾勒出它的样子，然后再去理解其严谨的数学定义。这种“先有形，后有神”的学习路径，不仅巩固了我对概念的理解，更激发了我进一步探索的兴趣。它让我看到，数学的严谨性和几何的直观性并非不可兼得，而是可以相辅相成的。

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这本书的图文结合堪称典范。每当作者引入一个抽象的几何概念，例如曲面上的切空间、法向量，或者流形上的切向量场，书中几乎都会配有高质量的插图。这些插图并非简单的示意图，而是经过精心设计，能够精准地捕捉到数学对象的几何特征。我尤其喜欢书中关于曲面参数化和曲率计算的插图，它们能够直观地展示出曲面在不同区域的弯曲程度，以及法向量的方向变化。这些视觉化的辅助，大大增强了我对抽象概念的理解。当我遇到难以想象的高维空间时，书中提供的降维可视化技巧，也给了我极大的帮助。它让我能够从一个相对熟悉的二维或三维视角，去理解高维空间的几何性质。而且，这些插图的排版也非常合理，它们与文字内容紧密配合，不会让读者在阅读时感到割裂。每当看到一幅精美的几何图，我都会情不自禁地停下来，仔细品味图中的细节，并将其与文字中的数学语言进行对照。这种“视听结合”的学习方式，不仅提升了学习效率，更让整个学习过程充满乐趣。它让我感受到，数学的美，不仅仅在于逻辑的严谨，也在于几何的直观。

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这本书在内容编排上，展现出一种高度的逻辑性和系统性。它从最基础的欧氏几何概念出发，逐步过渡到微分几何的核心——流形。这种循序渐进的教学方法，避免了许多教材中可能出现的“信息过载”问题。书中在介绍每个新概念时，都会明确其与之前知识点的联系，以及它在整个学科体系中的位置。例如，在讲解向量场时，它会强调向量场是定义在流形上的“切向量的集合”，从而将流形的抽象概念与向量场这种相对具象的概念联系起来。更重要的是，本书的每一章都以一个引人入胜的“引言”开始，通常会介绍本章将要探讨的数学对象及其在现实世界中的一些有趣应用，这无疑为读者打开了思路，激发了学习的兴趣。然后，在主体部分，作者会以严谨的数学语言逐步构建理论框架，并在穿插各种几何直观解释和例子。到了章节末尾，则会有一个“总结”部分，回顾本章的要点，并常常会提示这些概念将如何在后续章节中得到进一步发展。这种“总-分-总”的结构，让我能够清晰地把握每一章的学习目标，并且对整个微分几何的知识脉络有一个整体的认识。它就像一张精密绘制的地图，让我能够清晰地看到前行的方向，并了解沿途的风景。

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这本书在课程体系设计方面，给我带来了深刻的启示。虽然我并非将其作为一门完整的课程来学习，但在阅读的过程中，我能够清晰地感受到作者在构建知识体系时所付出的努力。它就像是一个精心搭建的摩天大楼，每一层都承载着重要的信息，并且与上下层之间有着紧密的联系。从最基础的欧氏几何空间，到微分流形，再到黎曼几何，每一个概念的引入都是顺理成章，并且层层递进。书中在介绍一些高级概念时，常常会回顾之前章节的内容，以帮助读者建立起知识的连贯性。例如，在讲解张量分析时，作者会多次引用之前介绍的向量场和微分形式的概念，让读者明白张量是如何将这些概念进行统一和推广的。这种“前后呼应”的教学设计，让我能够始终保持对整体知识结构的清晰认识，而不会迷失在细节之中。更让我惊叹的是，这本书的最后一部分，还专门探讨了微分几何在现代物理学中的一些“前沿应用”，比如量子场论和弦理论。这让我看到了微分几何作为一门基础学科，是如何支撑起更复杂的理论体系的，也为我未来的学习和研究方向提供了一些启示。它让我明白了，学习一门学科，不仅仅是掌握其知识点，更是要理解其知识体系的构建逻辑和发展脉络。

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这本书在内容深度上，给我带来了意想不到的惊喜。我原以为它会是一本偏重基础概念的入门书籍，但随着阅读的深入，我发现它远不止于此。书中对许多高级主题的探讨，都达到了相当的深度，并且与前沿的研究领域紧密相连。例如，在讲解微分流形时，作者并没有止步于其拓扑性质，而是深入探讨了黎曼流形的度量张量、曲率张量等核心概念，并详细阐述了它们在广义相对论中的重要作用。当我看到书中关于“联络”和“协变导数”的讲解时，我才真正领略到微分几何的强大之处，它能够统一描述向量场在弯曲空间中的“平行移动”以及曲面上的“测地线”。书中还涉及了一些更高级的主题，如微分同胚、微分形式的霍奇理论等，这些内容虽然具有一定的挑战性，但作者都通过精巧的例子和清晰的推导，将其呈现出来，让我能够窥探到数学研究的最新进展。它不仅仅是一本教材，更像是一扇通往数学前沿的窗口，让我看到了微分几何的广阔天地，以及它在现代科学研究中的关键作用。我开始意识到，我所学的知识，不仅仅是为了应付考试，更是为了理解更深层次的科学奥秘。

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这本书给我最大的启发在于，它清晰地展示了微分几何与物理学之间密不可分的联系。我一直对理论物理的方程感到好奇，但往往苦于其背后的数学工具过于晦涩。而《Differential Geometry and its Applications》恰恰填补了这一空白。书中用大量的篇幅介绍了微分几何在广义相对论、经典力学以及电磁学等领域的应用。比如，在讲解黎曼几何时，作者并没有回避爱因斯坦的场方程，而是通过构建一个抽象的四维时空模型，来解释引力是如何被描述为时空的弯曲。这种将抽象数学转化为物理现象的讲解方式，让我茅塞顿开。我终于明白了，为什么在物理学中，那些复杂的几何概念如此重要。它不再是纯粹的数学游戏，而是理解宇宙运行规律的基石。书中还列举了许多具体的物理问题，例如，如何用微分几何来描述一个带电粒子在弯曲时空中运动的轨迹，或者如何用微分形式来统一描述电场和磁场。这些实际的应用案例，极大地增强了我学习微分几何的动力。我不再觉得它是一门独立的学科，而是理解我们所处宇宙的一种强大而优美的语言。它让我看到了数学的生命力，以及它如何与现实世界如此紧密地交织在一起，并且互相启发。

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《Differential Geometry and its Applications》在构建读者信心方面，可谓功不可没。我一直对抽象数学概念有些畏惧，尤其是那些涉及高维空间和复杂代数的。但是，这本书的开篇并非直接抛出严谨的定义和繁琐的证明，而是通过一些非常直观的例子，比如对地球表面的描述，对弯曲管道的分析，来引导读者理解“弯曲”这一核心概念。然后，逐步引入向量、切空间等基础概念，并配以大量的几何解释。让我感到特别安心的是，作者在介绍一些稍显复杂的定理时，总会先给出这个定理的“几何直觉”或者“物理意义”，然后再给出严谨的数学表述。这种“先讲故事，后讲原理”的方式，让我能够更好地理解定理的内涵，而不是仅仅将其视为一堆符号。在遇到一些具有挑战性的证明时，作者也会提供详细的推理过程，甚至会给出一些“提示”，鼓励读者独立思考。我曾在一个证明上卡壳了好久，但在看到作者的提示后，我尝试了新的思路，最终成功地完成了证明。这种一点一滴积累起来的成功体验，极大地增强了我学习微分几何的信心。它让我相信，即使是那些看似高深的数学概念，只要方法得当，也并非不可逾越。

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不得不说，这本书的习题设计是其教学体系中非常精彩的一部分。它并没有采取“题海战术”，而是精心地设计了一系列由浅入深、层层递进的练习题。我刚开始翻看时，有些题目看起来确实颇具挑战性，但当我回过头去，结合书中讲解的理论，再重新审视这些题目时，就会发现它们都是对关键概念的巧妙运用和巩固。其中，有一些题目甚至带着一丝“侦探解谜”的趣味，需要我运用逻辑推理和几何直觉来寻找答案。让我特别赞赏的是，书中为许多题目提供了详细的解答思路，甚至是一些关键步骤的提示。这大大减少了我在遇到难题时可能产生的挫败感，让我能够更加积极地去尝试和思考。我曾花费数小时去攻克一道关于测地线的题目，在多次尝试失败后，我回顾了书中关于测地线性质的论述，并结合提示，最终豁然开朗。这种“卡壳”后获得突破的体验，是学习过程中最令人愉悦的时刻之一。它让我不仅仅是机械地记忆公式，而是真正地理解了这些公式的含义和它们的应用。这本书的习题，就像是一位循循善诱的良师，它不直接给出答案，而是引导我一步步地接近真相，在这个过程中，我的解题能力和对概念的掌握得到了极大的提升。

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这本书的封面设计有一种低调的优雅，深邃的蓝色背景搭配着烫金的标题，立刻吸引了我。当我第一次翻开它时，一股纸张特有的淡淡香气扑鼻而来，这种怀旧的触感总能让我沉浸在阅读的乐趣中。我一直对数学中那些抽象而又充满几何美感的概念着迷，而《Differential Geometry and its Applications》恰好填补了我在这方面的知识空白。这本书的开篇并没有直接抛出复杂的公式，而是从历史渊源讲起，娓娓道来微分几何是如何在几个世纪的时间里，由古希腊的欧几里得几何逐步演变，再到高斯、黎曼等伟大数学家们的开创性工作。它让我明白，我们今天看到的那些高维空间的曲线、曲面，并非凭空出现，而是人类智慧在探索宇宙形态过程中不断积累和升华的结晶。这种叙事方式非常人性化，让我能够在一个轻松的氛围中，逐渐领悟到微分几何的宏大图景，而不会一开始就被密集的符号和定理吓退。更让我惊喜的是，书中穿插了许多历史故事，讲述了那些伟大的数学家们在探索这些概念时遇到的困难、灵感迸发以及他们之间有趣的学术交流。这不仅仅是一本教科书，更像是一部数学史的缩影，让我感受到了数学研究的魅力和艰辛，也让我对那些为人类知识宝库做出贡献的先驱们充满了敬意。它让我意识到，学习数学不仅仅是记住公式和定理，更是理解数学思想的发展过程，以及它们如何与我们的现实世界建立联系。这本书的前几章，就像是为初学者铺设了一条平坦舒适的道路，让我能够安心地迈出探索微分几何的第一步，而不用担心脚下的荆棘。

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《Differential Geometry and its Applications》在语言风格上，做到了严谨与通俗的完美平衡。一方面，书中对数学概念的定义和定理的表述，遵循了数学的严谨性，每一个词语都经过了精确的考量，保证了逻辑的无懈可击。但另一方面，作者并没有因此而显得枯燥乏味。在解释那些晦涩的概念时，他常常会使用一些生动的比喻，或者从历史的角度来阐述概念的起源和演变。比如，在介绍曲率的时候，作者会形象地将其比作“弯曲的程度”，并用“弯弯的月亮”和“笔直的直线”来形成鲜明对比，这使得抽象的数学概念瞬间变得鲜活起来。书中还穿插了一些数学家的趣闻轶事，这些“调味剂”不仅让阅读过程更加轻松有趣，也让我感受到了数学家们作为普通人的另一面，从而拉近了与他们思想的距离。我尤其喜欢作者在处理一些复杂证明时，会先给出证明的“大体思路”，再逐步细化，这大大减轻了我阅读长篇证明时的心理压力。它让我明白，数学的严谨并不等于晦涩，而是可以通过清晰的逻辑和生动的表达来传递。这种“润物细无声”的教学方式，让我能够不知不觉地被引导进入微分几何的世界，并对其产生浓厚的兴趣。

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Elegant and digestible, even under the worst circumstances.

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除了出错的地方以外还都挺好的，习题和定理结合的form很合我口味。我觉得可以多介绍介绍notation conventions。

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很基础，详尽。喜欢用字母表示出fundamental form的每个element，基于此算出各种相关内容，如geodesic的表示，有实际应用价值，每章最后都有code可以作图。跳了minimal surface,略读了黎曼几何部分。

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Elegant and digestible, even under the worst circumstances.

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Elegant and digestible, even under the worst circumstances.