Bergman Spaces (Mathematical Surveys and Monographs) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Peter Duren

出品人:

页数:318

译者:

出版时间:2004-03-01

价格:USD 83.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821808108

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 复分析
• 函数空间
• Bergman空间
• 逼近论
• 正交多项式
• 积分表示
• 特殊函数
• 数学调查
• 单篇专著

好的，这是一本名为《Bergman Spaces (Mathematical Surveys and Monographs)》的图书的详细简介，内容完全围绕该主题展开，不包含任何其他信息。 --- 《Bergman Spaces (Mathematical Surveys and Monographs)》图书简介 主题概述 本书聚焦于复分析、调和分析和函数空间理论交叉领域的一个核心对象——伯格曼空间（Bergman Spaces）。伯格曼空间是微分几何、几何函数论以及算子理论等多个数学分支的基石。本书旨在提供一个全面、深入且严谨的视角，介绍伯格曼空间的定义、性质、结构，以及它们在现代数学研究中的应用。该书面向具有扎实复分析基础的研究人员、高级研究生以及对复变函数空间感兴趣的数学家。 核心内容与结构 本书的叙述结构清晰，从基础概念的引入逐步深入到前沿的研究课题，共分为若干主要部分： 第一部分：基础与定义 本部分奠定了理解伯格曼空间的理论基础。 1. 伯格曼核（Bergman Kernel）的引入：详细阐述了伯格曼核的定义，特别是在有界域上的情况。讨论了其与柯西核（Cauchy Kernel）和泊松核（Poisson Kernel）的关系，并介绍了如何通过积分表示来构造伯格曼空间。 2. 伯格曼空间的定义与拓扑结构：精确定义了各种类型的伯格曼空间，如 $L^p(Omega, dV)$ 中的可微函数子空间。重点讨论了这些空间上的拓扑结构，包括强收敛、弱收敛以及它们在不同几何设置下的完备性。 3. 泊松积分与伯格曼投影：深入探讨了伯格曼投影算子。分析了该算子在线性算子理论中的地位，以及它如何将一个函数空间映射到其子空间，并讨论了投影算子在凸域和非凸域上的性质差异。 第二部分：几何对伯格曼空间的影响 伯格曼空间的性质与定义域（$Omega$）的几何形状息息相关。本部分着重分析了域的几何特征如何塑造伯格曼空间的分析性质。 1. 强伪凸域（Strongly Pseudoconvex Domains）：这是对伯格曼空间研究最为深入的领域之一。书中详尽分析了在强伪凸域上，伯格曼核的渐近行为、光滑性以及边界正则性。引入了“$ ho$-函数的概念”及其在描述边界几何特性上的关键作用。 2. 光滑边界与非光滑边界：对比了伯格曼空间在光滑边界域和具有尖点（cusps）或凹陷（re-entrant corners）的非光滑域上的表现。探讨了边界正则性如何影响函数在边界上的可延拓性。 3. 典型域（Canonical Domains）：分析了单位球、多重圆盘等特殊几何结构下的伯格曼空间。在这些理想情况下，伯格曼核的显式计算和性质分析相对容易，为理解一般情况提供了重要的模型。 第三部分：算子理论与函数空间 本部分将伯格曼空间置于算子理论的框架内，研究算子在这些空间上的行为。 1. 乘法算子（Multiplication Operators）：深入研究了由函数 $f$ 乘以自变量 $z$ 构成的乘法算子 $M_f$ 在伯格曼空间上的界和紧性。讨论了这些算子的谱性质，以及与平移不变子空间理论的联系。 2. Toeplitz 算子与嵌入：分析了 Toeplitz 算子在伯格曼空间上的性质，特别是其范数估计和紧性。探讨了伯格曼空间与其他重要函数空间（如希尔伯特空间 $H^2$ 或 Hardy 空间）之间的映射和嵌入关系。 3. 算子的分式阶导数与积分：讨论了伯格曼空间上微分和积分算子的性质，包括它们的有界性和紧性，这些在几何函数论中具有重要意义。 第四部分：边界行为与近似 函数的边界性质是伯格曼空间理论中的一个核心挑战。 1. 逼近问题：研究了多项式在伯格曼空间中的密度问题，即在何种条件下，多项式空间能稠密地逼近整个伯格曼空间。这与域的凸性紧密相关。 2. 边界值的可延拓性：分析了伯格曼空间中的函数能否通过连续或可测的边界值来定义。讨论了著名的“主对角线问题”（main diagonal problem）及其在不同域上的解法。 3. 加权伯格曼空间（Weighted Bergman Spaces）：介绍了在伯格曼测度上叠加权重函数后形成的加权空间。分析了不同权重函数对空间结构和算子性质的影响，特别是如何利用权重来控制函数的边界行为。 第五部分：现代应用与开放问题 本书的最后部分将理论与当前的研究热点相结合。 1. 复几何中的应用：阐述了伯格曼度量（Bergman Metric）在度量几何和复几何中的角色，特别是它如何作为一种自然的度量来衡量区域的“非凸性”。 2. 算子代数与 Toeplitz 算子：探讨了在伯格曼空间上定义的 Toeplitz 算子所构成的代数结构，以及这些结构在调和分析中的应用。 3. 未解决的问题：总结了当前伯格曼空间研究中的几个重要开放问题，例如在非光滑域上关于紧性、收敛性和算子范数的精确估计等，为未来研究指明方向。 学术贡献 本书的价值在于其深度和广度。它不仅系统性地回顾了伯格曼空间自上世纪初发展以来的经典结果，还整合了近二十年来在偏微分方程、微分几何和函数空间理论前沿取得的重要进展。通过严谨的数学论证和丰富的实例，本书为读者提供了一套完整的工具箱，以应对涉及复杂域上复变函数分析的挑战。其详尽的引文和对历史背景的梳理，使其成为该领域不可或缺的参考著作。

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