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页数:284

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出版时间:2009-1

价格:25.30元

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isbn号码:9787040249040

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• 高等数学
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《高等数学》是一门涵盖广泛而深刻的数学分支，它为自然科学、工程技术、经济学乃至社会科学等众多领域提供了必不可少的理论基础和分析工具。本书旨在系统地梳理和阐述高等数学的核心概念、基本原理与重要方法，帮助读者建立起严谨的数学思维，提升分析问题和解决问题的能力。 全书的结构设计力求逻辑清晰、循序渐进。我们从基础的概念入手，逐步深入到更为抽象和复杂的理论。 第一部分：微积分的基础 在微积分的开端，我们首先聚焦于极限这一核心概念。通过对极限的深入剖析，我们将理解函数在特定点或趋向无穷时的行为。这为后续的连续性、导数和积分奠定了坚实的基础。我们将探讨各种类型的极限，包括点极限、无穷远极限，以及夹逼定理、单调有界定理等重要的极限性质和计算方法。 随后，我们进入导数的世界。导数是对函数变化率的精确衡量，它在描述物体运动、曲线斜率、经济学中的边际效应等方面有着广泛的应用。本书将详细介绍导数的定义，包括极限定义和导数的几何意义、物理意义。我们还将系统讲解求导的各种法则，如基本初等函数的导数、四则运算法则、复合函数求导法则（链式法则）、反函数求导法则以及隐函数求导法则。高阶导数的概念及其计算方法也将得到详尽阐述。通过对导数的深入学习，读者将掌握利用导数分析函数性质（单调性、凹凸性、极值）和绘制函数图像的方法。 定积分是微积分的另一基石。它被用来计算曲线下面积、体积、功等累积量。本书将介绍定积分的概念，包括黎曼和的定义及其极限，并阐述定积分的几何意义。我们将深入探讨微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），这是连接微分和积分的关键桥梁。同时，我们还会介绍定积分的各种计算技巧，如换元积分法、分部积分法，以及特殊函数（如三角函数、指数函数、对数函数）的积分。对瑕积分（无穷区间或积分区间内含有奇点的积分）的讨论，将拓展读者对积分概念的理解。 第二部分：多变量微积分 随着对单变量函数的深入理解，我们将视角转向多变量函数。多变量函数及其微积分在描述和分析现实世界中更为复杂的系统时显得尤为重要。 本书将首先介绍多元函数的极限与连续性。我们将定义多元函数的极限，并探讨其与单变量函数极限的区别与联系。连续性概念在多变量函数中的表现，特别是沿不同路径趋近时的一致性，将得到详细分析。 多元函数的偏导数与全微分是多变量微积分的核心内容。偏导数衡量了函数在某一个自变量变化时，其他自变量保持不变时的变化率。全微分则是在多个自变量共同变化时，函数总体变化量的线性近似。我们将详细讲解偏导数的计算方法，包括混合偏导数，并介绍 Clairaut 定理（二阶混合偏导数相等条件）。全微分的定义、性质及其应用，如线性近似和误差估计，都将得到充分阐述。 方向导数与梯度是进一步探索多元函数在空间中变化规律的重要工具。方向导数描述了函数在特定方向上的变化率，而梯度则是一个向量，它指向函数增长最快的方向，其大小表示该方向上的最大变化率。这些概念在优化问题、物理场分析等方面具有广泛的应用。 多元函数的极值问题是多变量微积分的重要应用方向。我们将学习如何利用一阶偏导数判断驻点，并运用二阶偏导数（Hessian矩阵）来判断多元函数的极大值、极小值和极小值。无条件极值和条件极值（利用拉格朗日乘数法）的求解方法都将得到详尽介绍。 重积分，包括二重积分和三重积分，是多变量微积分的另一个重要分支。它被用于计算体积、质量、重心等。本书将介绍重积分的概念、几何意义和计算方法。我们将重点讲解坐标变换在计算重积分中的作用，特别是极坐标（二维）和柱坐标、球坐标（三维）下的重积分计算。 曲线积分与曲面积分是更高级的积分形式，用于计算沿着曲线的线积分和在曲面上的面积分。它们在物理学中的功的计算、向量场的旋度和散度分析中扮演着关键角色。我们将详细介绍第一类和第二类曲线积分，以及第一类和第二类曲面积分，并介绍格林公式、高斯公式（散度定理）和斯托克斯公式等重要的积分定理，这些定理将积分问题转化为更为简便的计算形式。 第三部分：序列、级数与微分方程 在掌握了微积分的基础后，我们还将触及序列与级数。序列是按顺序排列的一系列数，而级数是将无穷多个数相加。理解序列和级数的收敛性是分析复杂函数和问题的基础。我们将介绍序列的收敛性判别，以及各种类型的级数，如几何级数、p-级数、幂级数和泰勒级数。泰勒级数尤为重要，它将函数展开成无穷多项式，为函数近似和研究函数性质提供了强大的工具。 最后，本书将简要介绍微分方程。微分方程是含有未知函数及其导数的方程，它们是描述自然界和工程领域中各种动态过程的数学语言。我们将介绍微分方程的基本概念、分类，以及一些基本类型微分方程（如可分离变量方程、线性一阶微分方程、二阶常系数线性微分方程）的求解方法。 总而言之，《高等数学》是一门内容丰富、应用广泛的学科。本书力求以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，引导读者一步步掌握高等数学的核心理论与方法，为读者未来在各个领域的学习和研究打下坚实的基础。

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多重积分和向量微积分的部分，是本书将高等数学知识与几何直观完美结合的典范。作者首先从二重积分和三重积分讲起，详细介绍了不同坐标系下的积分方法，如极坐标、柱坐标和球坐标。理解这些坐标系的转换以及雅可比行列式的意义，对于计算复杂的积分至关重要。书中通过计算曲顶柱体、旋转体体积等例子，将积分的应用场景展现得淋漓尽致，让我感受到了数学工具的强大力量。

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向量微积分部分，我花了很多时间理解格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。这些公式将不同类型的积分联系起来，揭示了向量场在不同维度上的内在规律。作者通过讲解这些公式在物理学中的应用，比如电磁学中的场量计算，让我看到了数学的抽象概念如何能够精确地描述和预测现实世界。他没有回避公式的复杂性，但通过清晰的逻辑推导和图示，帮助我们逐步掌握这些精妙的工具，让我对数学的敬畏之情油然而生。

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线性代数这部分内容，彻底颠覆了我之前对矩阵和向量的模糊认知。作者从向量空间的概念入手，详细讲解了向量的线性组合、线性无关、基以及维数等核心概念。然后，他自然地过渡到矩阵，并深入阐述了矩阵的运算、行列式、逆矩阵以及矩阵的秩等。我花了很多时间练习求解线性方程组，特别是通过高斯消元法和克拉默法则。书中的讲解非常注重数学的直观理解，例如，将矩阵的乘法与线性变换联系起来，让我明白了矩阵不仅仅是数字的排列，更是空间变换的载体。

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级数部分是很多人学习高等数学的难点，但在这本书里，我却发现了一种别样的乐趣。作者用非常有条理的方式介绍了数列的收敛与发散，然后过渡到无穷级数。他不仅讲解了收敛性的判别方法，如比值判别法、根值判别法等，更重要的是，他还解释了级数在近似计算和函数展开方面的强大作用。泰勒级数和麦克劳林级数的部分，我反复阅读了数遍，因为它们揭示了如何用简单的多项式来逼近复杂的函数，这种能力在物理学、工程学等众多领域都有着极其重要的应用。作者还提供了很多与级数相关的历史故事和应用案例，让学习过程不再枯燥。

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拿到这本《高等数学》已经有一段时间了，我几乎把它当成了生活中的一部分，每天都会翻阅，有时候是在深夜，灵感迸发，想要去验证一些数学猜想；有时候是在清晨，伴着一杯咖啡，享受那些严谨逻辑构建的知识体系。这本书的厚度本身就足够令人肃然起敬，而当我真正沉浸其中，才发现它所蕴含的世界是多么的广阔而深邃。从最基础的极限概念开始，我就被作者的叙述方式所吸引。他没有一开始就抛出令人望而生畏的符号和公式，而是循序渐进，用生动形象的比喻和生活化的例子来引导我们理解那些抽象的概念。比如，当解释极限时，他用追逐的游戏来类比，一个不断靠近目标但永远无法真正触及的点，这种描绘方式让我瞬间抓住了核心要义，而不是被那些 ε-δ 语言所困扰。

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函数部分的处理也让我印象深刻。作者不仅仅是列举了常见的函数类型，更深入地探讨了函数的性质，比如单调性、奇偶性、周期性以及函数的图像变换。我花了很长时间去理解和练习函数图像的绘制，因为作者强调了“数形结合”的重要性。通过图像，许多抽象的数学关系变得直观易懂。比如，当理解函数的极值点时，只需要观察图像的“山峰”和“山谷”，就可以轻松找到，这比单纯的计算要有效得多。此外，他还引入了多元函数，虽然一开始有些吃力，但作者依然保持着一贯的清晰和耐心，用三维空间的概念来辅助理解，让我逐渐克服了对高维空间的恐惧。

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这本书在微积分的部分尤其精彩。导数的概念被拆解得无比清晰，从瞬时变化率到切线斜率，再到各种实际应用，比如速度、加速度、边际效应等等，都进行了详尽的阐述。我尤其喜欢作者在讲解积分时所采用的“分割再求和”的思想，那种将复杂问题分解成无数个微小部分，然后再将这些部分累加起来得到整体的方法，不仅是数学上的精妙，更是一种解决问题的人生哲学。书中的例题设计得非常巧妙，既有基础的计算练习，也有需要综合运用多种知识点才能解决的应用题，而且每一个例题都配有详尽的解题步骤和思路分析，让我能够清晰地理解每一步的逻辑依据，而不是死记硬背。

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微分方程是这本书中我投入最多精力研究的部分。作者将微分方程的类型进行了详细的分类，并针对不同类型的方程给出了系统性的解法。从最简单的齐次方程、可分离变量方程，到更复杂的线性微分方程、高阶微分方程，作者都提供了清晰的推导过程和大量的练习题。我尤其喜欢作者在讲解二阶线性常系数微分方程时，对特征方程和通解的形成过程的细致分析，这种严谨的逻辑链条让我能理解为什么这样求解是有效的。书中还介绍了一些特殊的微分方程，比如贝塞尔方程和勒让德方程，虽然这些方程的求解过程更为复杂，但作者依然努力用最易懂的方式呈现，让我体会到了数学的深度和广度。

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我特别欣赏作者在讲解特征值和特征向量时所采用的方法。他解释了特征值和特征向量是如何刻画线性变换的“不变方向”，以及它们在各种实际问题中的应用，例如主成分分析。理解了这个概念，我才真正领略到线性代数在数据分析、图论、量子力学等领域的强大威力。书中还引入了矩阵的对角化，这是一种将复杂矩阵化繁为简的重要手段，它在很多计算过程中都能大大提高效率。作者对每一步推导都力求严谨，对每个概念都力求清晰，让我受益匪浅。

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总而言之，这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位耐心而博学的导师。它以严谨又不失灵动的笔触，带领我穿越了数学的海洋。我不仅仅学会了计算和求解，更重要的是，我学会了如何用数学的思维去分析问题、解决问题。那些曾经令我感到枯燥乏味的公式和定理，在这位导师的引导下，都焕发出了勃勃生机，让我体验到了探索未知、征服困难的乐趣。这本书在我心中留下了深刻的印记，它将陪伴我继续在数学的道路上探索前行。

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