离散数学概念题解与自测 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:151

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出版时间:2009-1

价格:18.00元

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isbn号码:9787564017927

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《数学的基石：逻辑、集合与结构的奥秘》 本书旨在深入剖析数学中最基础、最核心的几个概念，揭示隐藏在数字和符号背后的逻辑推理、结构关系以及抽象思维的魅力。我们将带领读者踏上一段探索数学语言和思维方式的旅程，理解它们如何成为构建更复杂数学理论的基石。 第一篇：逻辑的力量——理性思维的基石 本篇将从逻辑学的基本原理出发，系统阐述命题逻辑和谓词逻辑。读者将学习如何识别、构建和评估论证，理解真值表、推理规则以及证明的严谨性。 命题逻辑： 我们将深入探讨命题、联结词（如“与”、“或”、“非”、“蕴含”、“等价”）、真值以及如何使用真值表来分析复合命题的真假。同时，我们将学习和掌握基本的推理规则，如肯定前件、否定后件、假言三段论等，并理解这些规则在数学证明中的应用。 谓词逻辑： 进一步，我们将引入量词（全称量词“∀”和存在量词“∃”），并探讨谓词及其辖域。通过理解量词的含义和用法，我们将能够更精确地表达复杂的数学概念，并进行更深入的推理。本节还将涉及谓词逻辑中的推理和证明技巧。 证明的方法与技巧： 逻辑推理的最终目的是为了证明。本篇将系统介绍几种常见的数学证明方法，包括直接证明、反证法、数学归纳法、构造性证明等。我们将通过具体的例子，演示如何将逻辑规则应用于实际问题的解决和数学定理的证明，培养读者严谨的数学思维习惯。 第二篇：集合的宇宙——构建数学世界的积木 集合论是现代数学的语言，本篇将从集合的基本概念入手，逐步深入到集合运算、关系和函数，为读者构建一个理解数学对象的框架。 集合的基本概念： 我们将清晰地定义什么是集合，介绍集合的表示方法（列举法、描述法），以及集合间的各种关系，如相等、子集、真子集、空集和全集。 集合运算： 读者将熟悉集合的并集、交集、差集和补集等基本运算，并理解它们在实际问题中的应用。我们将探讨这些运算的性质，例如交换律、结合律、分配律等，并提供相应的证明。 笛卡尔积与幂集： 本节将介绍笛卡尔积的概念，它如何将两个集合的元素组合成有序对，以及幂集的概念，即一个集合所有子集的集合。这些概念在建立更复杂的数学结构时至关重要。 关系与函数： 我们将深入研究集合间的关系，特别是二元关系，并介绍关系的性质，如自反性、对称性、反对称性、传递性。在此基础上，我们将定义函数，理解函数的概念、定义域、值域，以及函数的单射、满射和双射等特性。函数的概念是连接代数、分析等诸多数学分支的桥梁。 第三篇：结构的魅力——抽象数学的骨架 本篇将聚焦于数学中的各种结构，从基本的代数结构到图论中的连接关系，展示数学如何通过抽象来概括和研究不同现象的共性。 代数结构： 我们将介绍群、环、域等重要的代数结构。读者将理解什么是代数运算、运算的性质（封闭性、结合律、单位元、逆元），以及这些结构如何在数学和计算机科学中发挥重要作用。例如，群论在密码学和对称性研究中有广泛应用，环和域是线性代数和数论的基础。 图论基础： 图论是研究对象之间关系的有力工具。本篇将介绍图的基本概念，如顶点、边、度、连通性等。我们将探讨不同类型的图（有向图、无向图、加权图），并介绍一些基本的图算法和应用，如最短路径、最小生成树等，这些在网络分析、算法设计中不可或缺。 树形结构： 作为图论的一个特例，树在计算机科学中扮演着极其重要的角色。我们将介绍树的基本定义、性质，以及二叉树、遍历等概念。树的应用范围广泛，包括数据存储、搜索算法、表达式解析等。 其他重要结构： 根据内容的丰富程度，本篇可能还会触及其他重要的数学结构，例如序关系、格论等，以期更全面地展现数学结构的多样性和力量。 学习本书，您将收获： 严谨的逻辑思维能力： 掌握分析问题、构建论证、评估推理的科学方法。 抽象化的数学视野： 理解如何从具体问题中提炼出普遍规律，构建数学模型。 强大的问题解决能力： 能够运用数学工具和方法来分析和解决现实世界中的复杂问题。 扎实的数学基础： 为进一步学习更高级的数学和相关领域的知识打下坚实的基础。 本书的语言力求清晰易懂，理论阐述与实例分析相结合，并配以适量的练习题，帮助读者巩固所学知识，检验学习效果。无论您是数学专业的学生，还是希望提升逻辑思维和抽象分析能力的任何人，本书都将是您不可或缺的启蒙之作。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面选用的那种略带磨砂质感的纸张，拿在手里沉甸甸的，感觉就不是那种廉价的印刷品。主色调是沉稳的深蓝配上跳跃的亮黄，线条简洁有力，直观地传达出“严谨”与“清晰”的核心理念。内页的纸张没有过度漂白，保护了视力，印刷的油墨浓淡适中，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到疲劳。尤其值得称赞的是，这本书的版式设计非常人性化。大段的理论阐述部分，段落划分合理，字体大小和行距都经过了精心的计算，使得复杂的数学符号和公式在排版中依然保持了极高的可读性。公式的编号和引用清晰明了，上下文的逻辑流非常顺畅，这一点对于处理离散数学这种逻辑性极强的学科来说至关重要。很多教科书在图示方面做得比较敷衍，但这本却在关键概念的图解上投入了大量精力，那些向量图、集合关系图或是算法流程图，都绘制得精准到位，色彩的运用也恰到好处地突出了重点，极大地降低了初学者理解抽象概念的门槛。总而言之，从物理形态到内部的视觉呈现，这本书都体现出了一种对知识的敬畏和对读者的尊重，让人一上手就充满了阅读的欲望和信心。

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我特别欣赏这本书在“自测”环节的设计。它没有采用那种简单的选择题或填空题来作为章节末尾的检验，而是设计了一套非常具有挑战性但又极具针对性的综合性习题。这些习题的设计思路明显是超越了简单的知识点覆盖，它们更侧重于考察学生对不同章节知识点的融会贯通能力。比如，有一个关于布尔代数化简的题目，表面上看起来是逻辑运算，但如果不用到集合论中的子集关系来辅助思考，纯粹的代数推导就会变得异常繁琐，作者巧妙地将两个不同领域的知识点链接了起来。更重要的是，对于那些难度较高的证明题，书后提供的参考答案不仅仅是最终结果，而是给出了一个完整、逻辑严密的解题思路导图。这个“思路导图”才是真正的宝藏，它没有直接给出每一步的证明细节，而是像一个向导，指明了正确的方向和可能遇到的陷阱，逼迫读者自己去填补中间的逻辑空缺。这种“引导式反馈”的训练方式，远比直接抄写标准答案有效得多，它真正培养了读者独立解决复杂问题的能力。

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从整体结构来看，这本书的逻辑组织呈现出一种高度的系统性和递进性，这对于系统学习离散数学至关重要。它似乎并不是简单地将知识点堆砌在一起，而是遵循了一条清晰的、由浅入深、由具体到抽象的知识构建路径。首先，基础的集合论和逻辑基础打得非常扎实，这为后续的计数原理和函数关系奠定了无可动摇的地基。然后，在进入图论和树结构时，作者非常注意前后知识的衔接，通过一些常见的应用场景（比如网络路径优化、数据结构表示），自然地引出了新的概念，保证了学习的连贯性。更让我印象深刻的是，它对“关系”和“代数结构”部分的讲解，处理得极其得体。很多教材在这一块容易变得过于抽象而脱离实际，但这本书在讲解群、环、域等高级概念时，总能适当地穿插对“等价关系”和“同构”的复习与深化，使得读者能够始终带着已有的基础去理解新的抽象结构，防止了知识体系的断裂。这种对知识脉络的精妙把握和宏观控制，使得整本书读下来，感觉不是零散的知识点集合，而是一个完整、自洽的数学理论体系的构建过程。

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这本书的语言风格给我留下了极其深刻的印象。它不是那种冷冰冰的、高高在上的学术腔调，也不是为了降低门槛而过度口语化。作者的笔触是那种极其清晰、冷静又带着一丝学者的幽默感的。在解释那些绕口的数学术语时，作者总能找到一个恰到好处的“类比”来辅助理解，这个类比本身往往就蕴含着深刻的洞察力，让人读完会心一笑，然后豁然开朗。特别是对于归纳法和反证法这些逻辑工具的阐述，简直是神来之笔。作者没有仅仅停留在“步骤一、步骤二”的罗列上，而是深入探讨了这些证明方法背后的哲学基础和适用边界，用词精确而富有弹性。比如，在讨论递归关系时，作者巧妙地穿插了一些关于“无限可分性”的哲学思辨，虽然不是必需的知识点，但极大地丰富了读者的知识广度和思维的深度，让学习过程变得更有层次感。这种兼顾了严谨性、启发性和文学性的叙事风格，使得原本枯燥的数学概念变得鲜活起来，仿佛有一位经验丰富的导师正在你身边耐心讲解。

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我用了大概两周的时间来系统地学习书中的第一部分，内容组织的方式简直是教科书级别的典范。它不像有些教材那样，上来就抛出一堆定义和公理，让人不知所措。这本书的处理方式是循序渐进的，它会先从一个非常贴近实际生活的简单情境入手，引导读者自然而然地产生对某个数学工具的“需求感”，然后再引入相关的定义和定理。这种“需求驱动”的学习路径，极大地提高了我的学习效率和兴趣。例如，在讲解图论的连通性问题时，作者没有直接给出欧拉路径的严格定义，而是先描述了著名的“柯尼斯堡七桥问题”，用历史故事锚定了问题的深度，然后才优雅地过渡到理论的建立。更棒的是，每讲完一个核心定理，作者都会紧跟着提供至少两种不同类型的例题解析：一种是纯粹的计算型演练，用来巩固公式的应用；另一种则是概念辨析型的思考题，旨在加深对定理背后逻辑含义的理解。这种双管齐下的解析方式，让我不再是机械地套用公式，而是真正开始思考“为什么是这样”。这种教学设计的深度和细腻程度，是我在其他同类书籍中很少见到的。

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