高二数学知识与能力训练下A必修(试验修订本)(05春) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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专题突破与精深拓展：面向高阶思维的高中数学进阶读本 本书旨在为已经掌握高中数学基础知识，并渴望在数学思维深度和应用广度上实现质的飞跃的学子提供一套系统的、富有挑战性的学习资源。它并非对现有教材知识点的简单重复或浅层梳理，而是聚焦于将高一、高二阶段所学的核心概念融会贯通，并引入更多大学预备阶段的数学思想和模型，以期达到“举一反三，触类旁通”的境界。 全书结构与内容设计： 本读本共分为六个核心模块，每个模块都围绕一个关键的数学主题展开深入剖析，旨在培养学生严谨的逻辑推理能力和创新的问题解决能力。 --- 模块一：函数与方程的深度解析——超越基础建模 本模块不再局限于函数的基本性质判断和初级应用，而是将焦点投向函数方程、反函数与复合函数的深层结构。 1. 构造性函数与不动点理论的初步探索： 系统阐述如何利用函数的单调性、奇偶性、周期性构造复杂函数模型。 引入不动点（Fixed Point）的概念，探讨迭代函数序列的收敛性（不涉及严格极限理论，但会通过直观的几何和数值方法展示趋势）。 案例分析： 解决一类需要变量替换或构造新函数才能简化的超越方程，如涉及三角函数与对数函数的混合方程。 2. 分段函数的最优化处理与连续性边界： 深入探讨分段函数的“衔接点”问题，着重于利用导数（或斜率的趋近性）分析曲线在转折处的平滑度。 引入狄利克雷函数的简单概念（仅作为思想引入，不求严格证明），理解“不连续”在实际问题中的意义。 3. 抽象函数的性质迁移： 大量例题将函数表达从 $f(x)$ 扩展到 $f(x+y)$、$f(xy)$ 等形式，训练学生剥离具体表达式，仅凭函数自身属性进行推理的能力。 --- 模块二：数列的极限思想与递推关系的精妙解构 本部分超越了等差、等比数列的求和，直指数列的极限思想以及高阶线性递推关系的求解策略。 1. 递推数列的通项公式高级求解法： 特征方程法入门（简化版）： 针对二阶常系数线性齐次递推关系（如斐波那契数列的推广形式），教授如何建立特征方程，并利用根的性质构造通项公式。 矩阵思想的萌芽（概念介绍）： 引入二维矩阵的概念，展示如何用矩阵乘法简洁地表示和计算高阶递推的下一步状态，为后续的线性代数学习埋下伏笔（不要求矩阵运算的熟练度，重在思想）。 2. 数列的收敛性直观判断： 通过夹逼定理（Squeeze Theorem）的进阶应用，处理那些无法直接求出通项的复杂数列（如包含阶乘和指数的混合数列）。 利用反证法证明某些数列的发散性。 3. 错位相减法的变式应用： 对传统错位相减法进行拓展，处理如 $a_{n+1} = p cdot a_n + f(n)$ 形式的非齐次递推关系。 --- 模块三：空间几何的逻辑构建与向量化思维 本模块的目标是将传统的“公理化”几何推理提升到“坐标化”和“向量化”的代数运算层面，实现几何问题的代数求解。 1. 空间几何中的向量代数化： 详尽讲解空间向量的坐标表示、数量积、向量叉积（仅介绍其几何意义：面积与垂直性，不深入三维坐标运算的复杂性）。 核心应用： 如何利用向量数量积判断异面直线、线面、面面之间的夹角（二面角），将角度问题转化为代数运算。 2. 空间几何体的判定与性质： 深入研究正多面体（如正四面体、正方体）的结构特性，并尝试用向量方法证明其内部线段间的关系。 三视图与重建的逆向思维： 给出特定几何关系（如体积、视角），反向推导出其三视图或直观模型。 3. 平面方程的初探（几何直观）： 引入平面的法向量概念，解释法向量在确定平面位置上的关键作用，并将其与线面垂直关系联系起来。 --- 模块四：概率论与数理统计的严谨建模 本部分强调从古典概型向几何概型及统计推断的过渡，培养学生对随机事件的量化认知。 1. 几何概型与积分思想的关联： 详细讲解几何概型的原理，并通过二维区域（如投针问题简化版）的面积比来求解概率，为将来接触微积分中的概率密度函数做铺垫。 2. 离散型随机变量的深入分析： 除了二项分布，引入泊松分布的简单应用场景（描述罕见事件的发生次数），帮助理解大数定律的直观含义。 期望与方差的综合应用： 解决涉及多个独立随机变量线性组合的期望和方差计算问题。 3. 统计推断的逻辑链条： 抽样方法的辨析： 深入比较简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的适用场景。 假设检验的初步认知： 介绍“拒绝域”和“显著性水平”的概念，理解我们如何通过样本数据对总体做出有依据的推断（不涉及卡方检验等复杂计算）。 --- 模块五：解析几何的动态视角与参数化表达 突破定点求轨迹的传统模式，转向参数方程和极坐标在描述运动和变化中的优势。 1. 轨迹方程的参数化处理： 系统讲解如何利用时间 $t$、角度 $ heta$ 或斜率 $k$ 作为参数，构建椭圆、双曲线、抛物线及圆的参数方程。 训练学生在参数方程下进行焦点、离心率、通径等几何性质的快速转换和计算。 2. 向量法在圆锥曲线中的应用再强化： 重点讲解利用向量来定义圆锥曲线上的点，从而简化弦、切线问题的向量表达。 3. 极坐标系的直观优势： 将极坐标系作为描述旋转和以原点为中心的对称图形的便捷工具，展示如何将常见曲线转化为极坐标形式，并体会其简洁性。 --- 模块六：不等式的综合运用与证明技巧的升华 本模块致力于将不等式证明从单一工具的使用提升到不等式体系的构建，并强调其在优化问题中的地位。 1. 经典不等式的构造性应用： 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）的几何意义和代数形式的详细推导与应用，特别是其“等号成立条件”的精确把握。 均值不等式（AM-GM）的变式： 探讨当变量和或积不为常数时，如何通过配凑、缩放或变量代换来适用均值不等式。 2. 证明方法的系统化梳理： 放缩法与构造法： 专门训练构造辅助函数或构造序列来证明复杂不等式的能力。 多重不等式的链式证明： 解决需要连续运用至少两到三种不同不等式工具才能完成的证明题。 3. 极值问题的代数转化： 结合导数知识（已学习部分），解决带约束条件的最优化问题，但主要侧重于利用不等式方法寻找边界或临界点。 --- 本书特色总结： 思维导向： 每一章均设置“思维碰撞”栏目，引导学生思考“为什么这样想，而不是那样想”，强调数学思想的迁移性。 例题深度： 选取的例题均为具有较高信息密度和多步骤推理的典型难题，而非基础题目的重复变式。 步骤解析： 对复杂问题的解答，不仅提供最终答案，更会详尽剖析每一步的推理动机和方法选择依据，帮助学生构建完整的解题逻辑链条。 自测与反思： 模块后附有“深度检验”题组，旨在检验学生是否真正掌握了该模块的核心思想，并要求学生对自己的解题过程进行简短的反思总结。 本书的读者对象是那些希望在数学竞赛、高水平大学入学考试中取得优异成绩，并希望为未来专业学习打下坚实数学基础的学生。它要求读者具备扎实的课本知识，并愿意投入额外的精力进行深度思考与挑战。

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这本书的难度曲线分布，在我看来，处理得比较得当，没有那种突然出现的“断崖式”难度提升，让人在学到一半时感到前功尽弃的挫败感。它似乎深谙高中生的心理波动规律，总是在你觉得有些轻松的时候，悄悄地把题目的综合性提上来。比如，在学习空间向量与立体几何的结合时，它并没有直接给出复杂的坐标系建立方法，而是先从传统几何法的视角引入，再逐步引导读者思考如何将几何关系转化为代数运算。这种循序渐进的过渡，极大地降低了我对立体几何的恐惧感。更让我欣赏的是，它在每章末尾的“能力提升”部分，那些题目往往需要将不同章节的知识点糅合在一起考察，真正体现了“综合训练”的价值，迫使你不能只顾着眼前正在学的内容，而要时刻回顾和串联起已经学过的所有知识模块。

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作为一本“试验修订本”，我特别关注它在处理一些新旧教材衔接上的细节处理。毕竟数学教学大纲的微调总会带来一些变化，有些老方法可能不再是最优解，有些新概念可能需要更精炼的表述。在这本书中，我感受到了那种试图“与时俱进”的努力。尤其是在概率统计部分，它对随机变量的描述，明显比我几年前用的那本老教材要更加贴合现代的统计学思维，虽然术语上可能略显生涩，但至少方向是正确的。不过，坦率地说，书中的插图和图表的质量，确实拖了后腿，很多三维图形的投影看起来模糊不清，这对于视觉理解能力较弱的学习者来说，无疑增加了额外的理解负担，我常常需要借助网络上的动态模拟图来辅助理解书中的某个几何构造，这是它一个明显的遗憾。

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说实话，我花了不少时间才适应这本书的编排逻辑，它似乎更倾向于一种“地毯式”的知识覆盖，而不是那种只挑选重点、突破难点的“突击”风格。每一节课后的配套练习，量是相当可观的，尤其是一些基础巩固题，重复率略高，这对于那些数学底子本来就不太扎实的同学来说，或许是一种“题海战术”的温和版本，通过反复的机械练习来固化对基本运算和公式的记忆。我注意到，它在选择题的设置上，陷阱设置得相当巧妙，常常是在一个我们自以为已经掌握的知识点上，稍微拐个弯，就能让人瞬间迷失方向。例如，在解析几何部分，处理直线与圆锥曲线相交的弦长问题时，它给出的例题步骤非常详尽，每一步的依据都标注得清清楚楚，这对于我这种需要“知道为什么这么做”的学习者来说，无疑是一种及时的心灵慰藉。它更像一个耐心的陪练，不急不躁地带着你把所有基础动作都扎实地完成一遍。

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这本书的封面设计，坦白说，有点让人提不起精神。那种略显陈旧的色调和排版，一下子就把人拉回了十几年前的课堂场景。我记得我当初拿到它的时候，心里其实是有些忐忑的。毕竟高二的数学，那难度可不是闹着玩的，三角函数、数列、立体几何……随便拎出一个章节都能让人头疼好一阵子。我最期待的是它在概念讲解上能有什么独到之处，毕竟很多教辅的通病就是把定义讲得云山雾罩，仿佛不加点复杂的数学符号，就不足以体现其“深度”一样。拿到书后，我立刻翻到了数列那一章，想看看它对等差、等比数列的性质阐述是否清晰流畅，更想知道它在处理递推关系这种“拦路虎”时，会不会提供一些更直观的解题思路，而不是仅仅罗列公式的推导过程。如果能用生活中的例子来辅助理解那些抽象的数学模型，那就太棒了。总而言之，第一印象是朴实，甚至有点朴素，但内在的知识体系才是关键，希望它能扛得住高二数学的硬骨头。

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如果让我用一句话来概括这本书给我的感受，那就是“脚踏实地，缺乏惊喜”。它绝对是一本合格的、可靠的工具书，能够确保你不会在高考的考点范围内漏掉任何一个基础知识点。它不会给你带来“顿悟”的喜悦，那种解开一道难题后豁然开朗的感觉，它提供的更多是“我做对了”的踏实感，源自于大量高质量的、经过检验的练习题的积累。它对每一个定义和定理的阐述都做到了字斟句酌，保证了准确性，但文风上确实偏向于学术化，缺少了那么一丝能够点燃学习热情的“火花”。总的来说，它更像一位严谨的老教授，一丝不苟地传授知识，虽然略显枯燥，但其知识的深度和广度，足以支撑起一个高中生对高二数学的系统性掌握，为后续的深入学习打下了坚实的基础，只是希望未来能有更多生动有趣的解析来丰富这些冰冷的公式。

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