代数几何.I，复射影簇 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:芒福德

出品人:

页数:186

译者:

出版时间:2008-11

价格:29.00元

装帧:平装

isbn号码:9787506292122

丛书系列:Classics in Mathematics

图书标签:

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《代数几何·I：复射影簇》图书简介 本书为“代数几何”系列的第一卷，聚焦于代数几何中至关重要的核心概念——复射影簇。 代数几何作为连接代数与几何的桥梁，深刻地揭示了代数方程组所定义的几何对象（簇）的丰富结构与性质。而复射影簇，作为代数簇的特例，是指由复数域上的齐次多项式方程组所定义的点集，并考虑了无穷远点，从而构成了一个完备的几何空间。本书旨在为读者系统地构建起理解复射影簇的理论框架，为进一步深入代数几何的其他分支奠定坚实基础。 全书围绕“复射影簇”这一核心主题展开，逻辑严谨，层层递进。 开篇首先会回顾和介绍代数几何所需的基本代数工具，包括交换代数中的诺特环、理想、幂级数环、代数簇的定义等。这些是理解几何对象背后代数结构的关键。随后，本书将正式引入齐次坐标与复射影空间的概念，这是刻画复射影簇不可或缺的语言。通过理解齐次坐标的投影性质，我们能够把握复射影空间作为一个整体的全局结构。 核心章节将深入探讨复射影簇的定义、性质及其重要的代数结构。 我们将详细阐述由齐次多项式零点集构成的射影簇，并讲解如何通过格罗布纳基（Gröbner basis）等代数工具来研究其理想与簇之间的对应关系。本书将特别关注射影簇的维度、不可约性等基本几何性质，并提供严谨的证明。读者将学习到如何通过代数运算来判定簇的几何特性，例如，通过研究理想的性质来理解簇的分解和不可约分量的结构。 本书的一大亮点在于系统地介绍了一系列重要的代数几何工具和技术，用于分析复射影簇。 其中，函数域的概念及其性质将贯穿全书。函数域提供了研究代数簇的另一种视角，将几何对象映射到函数代数，从而利用代数方法解决几何问题。本书将深入讨论函数域的维度、迹、范数等概念，并展示它们在研究簇性质中的作用。 另一个关键的理论工具是相干层（coherent sheaves）。 相干层是定义在代数簇上的“好”的函数空间，它们是代数几何中描述簇局部性质和全局性质的强大工具。本书将从最基础的概念出发，逐步介绍相干层的定义、构造以及它们与代数簇之间的深刻联系。我们将讨论相干层的导出范畴、上同调理论等，这些是理解更高级代数几何概念的基石。特别是，本书将聚焦于射影簇上的相干层，探讨它们在刻画簇的几何特征方面的作用，例如，通过研究相干层的谱序列（spectral sequences）来计算上同调群，从而获得关于簇的拓扑和几何信息。 本书还会介绍一些经典的复射影簇的例子，并以此来阐释抽象的理论概念。 例如，我们将详细讨论射影直线（$mathbb{P}^1$）和射影平面（$mathbb{P}^2$）的代数与几何性质，包括它们的点、线、二次曲线等。通过这些具体的例子，读者可以更直观地理解抽象的定义和定理，并学会如何运用所学的理论工具来分析具体的几何对象。 在叙述过程中，本书注重理论与应用的结合。 虽然本书主要侧重于理论基础的构建，但其中所介绍的概念和方法在代数几何的许多分支，如代数曲面、代数曲线、模空间等领域都有着广泛的应用。本书将为读者未来深入研究这些领域打下坚实的理论基础。 本书的读者对象包括但不限于： 对代数几何充满兴趣的数学专业本科高年级学生和研究生。 希望系统学习代数几何基础，为进一步研究代数几何、微分几何、拓扑学、数论以及理论物理等领域的科研人员。 需要巩固和深化代数几何知识的数学教师。 本书力求做到： 概念清晰，定义精确： 严格遵循数学定义，避免模糊不清的表述。 论证严谨，逻辑连贯： 每一个定理的证明都力求详尽，层层递进，易于理解。 例证丰富，便于理解： 通过恰当的例子，将抽象的理论概念具体化，帮助读者建立直观认识。 循序渐进，难度适中： 从基本概念出发，逐步深入，适合有一定数学基础的读者。 通过学习本书，读者将能够： 掌握复射影空间和复射影簇的基本概念、性质和研究方法。 理解齐次理想与射影簇之间的对应关系，并能运用格罗布纳基等工具进行分析。 熟悉函数域的概念及其在代数几何中的作用。 掌握相干层的基本理论，并了解其在描述簇的几何性质中的重要性。 具备运用代数几何的语言和工具来描述、分析和理解几何对象的能力。 《代数几何·I：复射影簇》是一部严谨而富有启发性的教材，它将带领读者踏入代数几何的奇妙世界，开启对高维几何对象深刻而全面的探索之旅。 它是代数几何系列不可或缺的第一步，为理解更复杂的代数几何结构和理论奠定了坚实的基础。

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老实说，我拿这本书主要是冲着它对代数簇的分类和性质的探讨去的，但不得不说，前几章的准备工作扎实得有些“过分”了。不过，一旦进入正题，那种层层递进的逻辑感就显现出来了。作者在处理“复”这个限定条件时，没有简单地将实数域上的结果搬运过来，而是充分利用了复数域的完备性和解析性质。关于希尔伯特多项式和黎曼-罗赫定理的前奏部分写得极好，它不急于给出完整的定理陈述，而是通过一些低维空间的例子，巧妙地铺垫了需要引入秩（rank）和度数（degree）等不变量的必要性。这种“以问题驱动”的讲解方式，让学习过程充满了发现的乐趣，而不是单纯的符号堆砌。我感觉自己不是在被动接受知识，而是在跟随一位经验丰富的向导，一起探索未知的领域。

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我花了不少时间来消化关于维度理论的那一章，它彻底改变了我对“维度”这个概念的理解。过去，我总觉得维度就是方程组解空间的自由度，但这本书将维度提升到了一个纯粹的代数层面，与理想的生成元数量以及环的Krull维度挂钩。作者通过讲解链式条件（Chain Condition）如何等价于代数簇的有限性，展示了代数几何的深刻统一性。更让我印象深刻的是，书中在讨论不可约性（Irreducibility）时，没有直接给出拓扑上的定义，而是从理想的素性（Primeness）切入，这是一种更为本质的代数描述。这种从“是什么”到“为什么是这样”的深入挖掘，让原本平淡无奇的概念焕发了新的生命力。对于想要真正掌握代数几何内在逻辑的读者来说，这部分内容是不可跳过的精华所在。

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这本书的排版和符号系统是其一大特色，清晰到近乎苛刻。对于任何一个严肃的代数几何研究者来说，符号的一致性至关重要，而这本教材在这方面做得无懈可击。不同于一些老派教材中充斥着手写体符号和不统一的记号，$I$ 卷的每一个定义、每一个引理都遵循着一套现代的、一致的规范。在讨论射影嵌入和标准构造时，作者对张量积和直和的区分非常明确，这在处理多重线性代数时避免了许多常见的混淆。更难能可贵的是，书中对于一些关键的构造（比如商空间或双有理变换的初步概念），提供了大量的图示性解释，尽管是文字描述的，但其意境如同高清的几何图景。这使得即使在最抽象的代数操作中，读者也能保持对几何直觉的把握。

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这本《代数几何.I》的导论部分，简直就是为那些刚刚踏入代数几何殿堂的初学者量身定做的。作者的叙述非常平易近人，没有一上来就抛出那些令人望而生畏的专业术语和抽象概念。相反，他巧妙地从熟悉的代数和几何背景出发，循序渐进地引导读者认识什么是簇，以及如何用代数语言来描述几何对象。比如，对于射影空间的引入，作者花了大量的篇幅讲解了齐次坐标和齐次多项式的作用，这使得原本抽象的射影几何变得具体可感。书中对理想与代数集的对应关系的讲解尤为清晰，通过具体的例子，读者可以直观地理解米诺夫斯基定理（尽管书中可能不会用这个名字）的几何意义。我尤其欣赏作者在基础概念上打下的坚实地基，这对于后续理解更深层次的主题，如维数、奇点等，至关重要。读完这部分，我感觉自己已经有了一套稳固的工具箱，可以自信地去探索更复杂的代数几何世界了。

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本书的第二部分，重点聚焦于复射影簇的构造和一些基础性质，这部分内容对我的震撼是最大的。不同于以往的教材倾向于直接给出定义，这里的阐述更侧重于“为什么”需要这样的构造。作者在复数域 $mathbb{C}$ 上的处理方式，充分展现了复几何的精妙。对于紧致性的讨论，处理得非常细致，避免了许多其他教材中含糊不清的地方。特别是关于Cox环的介绍，作者没有止步于定义，而是深入探讨了它在描述射影簇上的优越性，如何将非齐次对象转化为齐次结构进行研究。书中对局部性质的讨论，如环上的局部化技术，应用得非常自然，显示了代数工具在处理几何局部信息时的强大威力。整体的写作风格变得更加严谨和深入，需要读者具备一定的抽象思维能力才能完全领会其精髓。

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