Basic Set Theory (Student Mathematical Library, V. 17) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:S. Shen

出品人:

页数:128

译者:

出版时间:2002-07-09

价格:USD 51.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821827314

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

• 数理逻辑7
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集合论基础：面向学生的数学图书馆（第 17 卷） 图书简介 《集合论基础》作为“学生数学图书馆”系列中的第 17 卷，旨在为数学、计算机科学、逻辑学乃至哲学领域的学生提供一套严谨而又易于理解的集合论入门教材。本书的编写秉持着对数学严谨性的尊重，同时充分考虑到初学者的认知特点，力求在概念的精确性与教学的启发性之间找到完美的平衡。 集合论是现代数学的基石。它不仅为分析学、拓扑学、代数等所有数学分支提供了统一的语言和基础框架，更是理解数学对象本质的关键所在。本书的结构围绕着从最基础的直觉集合概念出发，逐步过渡到公理化集合论的严谨体系展开。 第一部分：直觉与朴素集合论 本书的第一部分着重于建立学生对集合概念的直觉认识，并介绍朴素集合论的基本工具和符号。 1. 集合的引入与基本概念： 我们从日常经验中的集合概念出发，如数的集合、几何图形的点的集合等，引出集合的定义——作为确定的对象的汇集。随后，详细讨论集合的表示方法，包括外延原则（Extensionality Principle）和内涵描述法（如使用集合建构式）。 2. 集合的运算： 本章系统地介绍了集合代数的核心运算，包括并集、交集、差集、补集以及笛卡尔积。每种运算都配有直观的图示（如 Venn 图）来辅助理解，并严格给出了基于成员身份的定义。特别地，我们深入探讨了幂集（Power Set）的概念及其重要性。 3. 关系与函数： 关系被定义为笛卡尔积的子集，这是连接集合论与代数结构的关键桥梁。我们详细阐述了等价关系（Equivalence Relations）及其在集合划分（Partitions）中的核心作用。紧接着，函数被定义为特殊的二元关系，并探讨了单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective）函数的性质，这些性质是后续分析学中研究映射的基础。 4. 有限集与无限集： 在朴素集合论的范畴内，我们初步探讨了集合的“大小”问题。通过双射的概念引入了等势（Equinumerosity）的概念，并对比了有限集和无限集的基本特征。 第二部分：基数、序数与良序 本书的第二部分开始迈向更深入的结构，特别是关于无限集合的度量——基数理论的初步介绍。 1. 自然数的集合论基础： 借鉴冯·诺依曼（von Neumann）的构造，本书展示了自然数 $0, 1, 2, dots$ 如何完全在集合论的框架内被构造出来，特别是定义了序数（Ordinals）作为集合的传递子集。 2. 序关系与良序定理： 序关系（Order Relations）的讨论在此处得到深化，特别是全序（Total Order）。良序（Well-Ordering）的概念被严格定义，并探讨了其等价命题——选择公理（Axiom of Choice, AC）。本书将选择公理视为一个关键的公理，并展示了它在数学中的强大应用，如策梅洛定理（Zorn's Lemma）和良序定理。 3. 算术与基数： 继朴素的计数之后，本章引入了对无限基数（Cardinal Numbers）的算术运算。我们定义了基数的加法、乘法和指数运算，并证明了 $aleph_0$（可数无限基数）的性质。至此，学生将初步接触到不同“大小”的无限集合的概念。 第三部分：公理化集合论——ZFC 体系的构建 认识到朴素集合论中存在的悖论（如罗素悖论），本书的第三部分转向现代数学的支柱——策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory），通常与选择公理结合，记为 ZFC。 1. 公理系统的必要性： 首先，本书回顾了朴素集合论的局限性，特别是罗素悖论，以此阐明公理化方法的必要性。 2. ZFC 公理体系详解： 我们逐条、细致地讲解 ZFC 的九条（或更多，取决于划分方式）公理： 外延公理（Axiom of Extensionality）： 确保集合由其元素唯一确定。 空集公理（Axiom of Empty Set）： 保证空集的存在性。 配对公理（Axiom of Pairing）与并集公理（Axiom of Union）： 构造由特定元素组成的集合。 幂集公理（Axiom of Power Set）： 保证集合的“扩张”能力。 分离公理模式（Axiom Schema of Specification/Separation）： 限制如何从已有集合中抽取子集，以避免罗素悖论。 替换公理模式（Axiom Schema of Replacement）： 允许通过函数关系构造新的集合，这是 ZFC 比 Zermelo 集合论更强大的关键。 无穷公理（Axiom of Infinity）： 保证至少存在一个无限集合，从而保证自然数集合的存在。 正则公理（Axiom of Regularity/Foundation）： 禁止无限下降链，确保所有集合都是“良好”构造的。 3. 构造与存在性证明： 借助 ZFC 公理，我们将重新考察集合代数运算、有序对、函数以及自然数集 $omega$ 的存在性与唯一性证明，确保所有基础结构都建立在坚实可靠的公理基础之上。 第四部分：超越可数性——康托尔定理与连续统 本书的最后部分将探讨集合论中最引人入胜的结论之一：无穷集合之间存在着不同的“大小”。 1. 康托尔定理（Cantor's Theorem）： 本章的核心是对康托尔定理的严谨证明，该定理断言任何集合 $A$ 的幂集 $mathcal{P}(A)$ 的基数严格大于 $A$ 的基数，即 $|A| < |mathcal{P}(A)|$。 2. 对角线论法（Diagonalization Argument）： 详细展示康托尔使用的对角线论法，这一强有力的技术不仅用于证明康托尔定理，也是后续许多可构造性证明的基础。 3. 连续统（The Continuum）： 讨论实数集 $mathbb{R}$ 的基数，即连续统基数 $mathfrak{c}$。通过将 $mathbb{R}$ 与 $mathcal{P}(mathbb{N})$ 进行双射证明 $|mathbb{R}| = 2^{aleph_0}$。 4. 连续统假设（Continuum Hypothesis, CH）： 最后，本书以连续统假设作为结束语。CH 提出 $mathfrak{c} = aleph_1$，即不存在基数介于自然数集和实数集之间。本书会简要介绍哥德尔和科恩在 CH 独立性上的里程碑工作，激发学生对元数学和公理系统局限性的思考。 目标读者： 本书面向所有初次接触集合论的本科生，特别是数学系、理论物理系以及计算机科学专业（涉及可计算性理论和模型论）的学生。所需的预备知识仅限于基本的代数和逻辑符号操作。 通过学习本书，读者不仅能够熟练掌握集合论的语言和基本构造，更能深刻理解现代数学大厦的结构性基础，为未来深入研究高等数学领域打下坚实的基础。

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我曾经尝试过阅读一些更高级的集合论书籍，但往往因为缺乏基础而感到困难。这本书恰好弥补了我的这一遗憾。它以一种非常温和的方式，逐步将读者引入集合论的殿<bos>。我尤其欣赏作者在介绍“选择公理”时所做的详尽解释。我知道这是集合论中一个备受争议但又至关重要的公理。作者并没有回避争议，而是从不同的角度阐述了选择公理的意义，以及它在证明一些重要定理（比如良序定理）中所起到的关键作用。这种开放性的讨论，让我意识到数学并非是一个僵化的体系，而是不断发展和完善的过程。书中还涉及了一些“序关系”和“良序集”的概念，这些概念对于理解更高级的数学结构至关重要，比如在分析学中对实数集的理解。

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这本书不仅仅是理论的堆砌，更注重培养读者的数学思维。作者在章节的结尾通常会设置一些“思考题”或“拓展题”，这些题目往往不是简单地要求计算，而是引导读者去思考更深层次的问题，或者去探索集合论在其他领域的应用。例如，在讲完集合的势之后，作者会引导读者思考，为什么“无穷”会存在“大小”的区别。这种引导性的提问，让我开始主动地去思考，而不是被动地接受信息。我发现，通过解答这些思考题，我不仅巩固了对知识的理解，更重要的是，我学会了如何用数学的语言去描述和分析问题。这对于我未来的学习和工作都将大有裨益。我曾经在学习计算机科学中的算法分析时，就回想起书中关于集合的基数计算，感觉对理解时间复杂度有了更直观的认识。

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我必须承认，在阅读这本书的过程中，我曾有过一些困惑，但每次都能在后续的章节中找到解答，或者在作者精心设计的练习题中得到巩固。这本书的讲解逻辑非常清晰，层层递进，不会让你在理解了一个概念后就立刻被推向下一个更复杂的概念。作者在解释一些核心概念时，会反复强调，并通过不同的角度去阐述，确保读者能够真正理解。例如，在讨论集合的运算时，比如并集、交集、差集，作者不仅给出了严格的数学定义，还配以大量的图示，用维恩图来直观地展示这些运算的过程和结果。这一点对我这样视觉型学习者来说，实在是太有帮助了。我可以在脑海中清晰地勾勒出不同集合相互作用的图像，从而更好地理解抽象的符号。而且，书中的练习题设计得非常巧妙，有基础的巩固题，也有一些需要思考和运用所学知识才能解决的挑战题。我花了大量时间在练习题上，每一次的解答都让我对集合论有了更深入的认识。

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这本书的结构设计，对我这样缺乏系统学习背景的读者来说，起到了至关重要的引导作用。作者没有急于进入复杂的证明，而是先花大量的篇幅来建立直观的理解。在引入“幂集”的概念时，作者先用一个非常小的集合（比如只有一两个元素的集合）来展示它的幂集，然后逐步放大，直到解释一个具有N个元素的集合的幂集有多少个子集。这样的循序渐进，让我能够一步一步地消化这些新概念。而且，书中还对集合论中的一些基本定理进行了详细的推导，比如对集合的基数进行比较时，如何定义“小于”或“等于”的关系。这些推导过程，虽然需要一定的数学基础，但作者的解释足够清晰，关键步骤都做了详细的标注，让我能够跟随作者的思路，一步一步地理解证明的逻辑。我甚至尝试着自己去复现一些简单的证明，这极大地提升了我的学习效率。

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这本书给我最大的感受是，它不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的数学导师。作者的写作风格非常亲切，即使是在处理一些非常抽象的数学问题时，也能感受到作者的耐心和引导。我记得读到关于“集合的分解”时，作者并没有直接给出定义，而是先引导读者思考，如何将一个大集合分割成若干个互不相交的子集。这种启发式的教学方法，让我能够主动地去思考，而不是被动地接受知识。而且，这本书的参考书目也做得非常完善，为我提供了进一步深入学习的路径。我曾经根据书中的参考书目，查找了一些相关的论文和专著，这让我对集合论的认识又有了进一步的提升。总而言之，这是一本非常值得推荐的数学书籍。

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这本书，我必须说，对我来说是一次非常深刻的学习体验。作为一名对数学基础概念略有涉猎的初学者，我一直对集合论这个领域感到好奇，但又担心过于抽象的理论会让我望而却步。这本书的出版，恰好填补了我学习上的一个空白。从拿到这本书的那一刻起，我就被它简洁而专业的封面设计所吸引，那种严谨而又不失亲和力的风格，预示着内容一定也同样出色。翻开书页，我首先注意到的是它的排版和字体，清晰易读，即使是长时间阅读也不会感到疲惫。作者在第一章就以非常直观的方式引入了集合的基本概念，比如元素、集合的包含关系、空集等等。我尤其喜欢作者用到的例子，它们都不是那种脱离实际的、让人难以理解的抽象例子，而是贴近我们日常生活的，比如集合的元素可以是数字、字母，甚至可以是各种各样的物体。这种接地气的引入方式，极大地降低了我的学习门槛，让我能够快速地进入状态。

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我必须说，这本书真的让我对集合论产生了浓厚的兴趣。在阅读之前，我对集合的理解仅限于一些非常表面的概念，但通过这本书，我开始理解集合论作为现代数学的基石的重要性。作者从最基础的公理化方法讲起，比如Zermelo-Fraenkel集合论，并解释了这些公理是如何支撑起整个集合论体系的。虽然公理化的论述在初期可能会显得有些枯燥，但作者通过引入一些“悖论”（比如罗素悖论）来解释为何需要公理化，这使得整个过程既具有启发性，又充满了故事性。我记得读到关于“不可数集”的部分时，我感到非常震撼。直到读了这本书，我才真正理解了康托尔的对角线证明，并意识到无穷大本身也存在着不同的大小。这种对无限的深刻洞察，完全颠覆了我以往的认知，让我对数学的深度和广度有了全新的认识。

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这本书的优点在于它在严谨性与可读性之间取得了很好的平衡。作为一本“学生数学图书馆”系列的书籍，它显然是为了帮助学生打下坚实的数学基础而设计的。作者在处理集合论中的一些微妙之处时，比如集合的相等性、子集的定义，都表现得非常细致。我记得有一段作者花了相当多的篇幅来解释为什么 {a, b} 和 {b, a} 是同一个集合，而 (a, b) 和 (b, a) 却不是同一个有序对。这种对细节的关注，对于初学者来说尤为重要，因为它能够避免日后产生概念上的混淆。此外，书中还涉及了一些集合论在其他数学分支中的应用，虽然不是重点，但这些简要的提及，让我看到了集合论的广阔前景，也激发了我进一步探索的兴趣。我曾经在学习离散数学时遇到过图论的概念，书中关于图论中的节点和边如何用集合来表示的简要介绍，让我豁然开朗，觉得之前学习过的知识之间有了更紧密的联系。

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这本书的内容深度和广度都做得相当不错。从最基础的集合概念，到相对复杂的公理集合论，再到一些重要的定理及其证明，作者都覆盖得很全面。我尤其喜欢书中关于“无穷集合”的讨论，它让我对“无穷”这个概念有了更深刻的理解。在阅读了康托尔的对角线证明后，我才真正理解了不可数集的意义。书中对于一些易混淆的概念，比如集合和元素的区别，集合和真子集的区别，都有非常细致的阐述。我曾经在学习离散数学的课程时，遇到过关于“关系”的概念，书中关于偏序关系和全序关系的介绍，让我对这些概念有了更扎实的理解，从而能够更轻松地学习相关内容。

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我必须说，这本书的语言风格非常流畅，即使是阅读一些比较复杂的数学证明，也不会感到晦涩难懂。作者善于运用类比和比喻，将抽象的数学概念形象化，使得读者更容易理解。例如，在解释“选择公理”时，作者用了一个非常形象的比喻，让我瞬间就明白了它的核心思想。而且，这本书的篇幅适中，不会让人感到过于冗长。每一章的内容都经过精心设计，既保证了知识的完整性，又不会让读者感到信息过载。我曾经在一周内阅读完了一整章，并在周末完成了相关的练习题，感觉收获颇丰。这本书的出版，无疑为许多像我一样希望系统学习集合论的读者提供了极大的便利。

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习题是正文的一部分 不用挨个做但一定要挨个看

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