Problems in Combinatorics and Graph Theory (Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons

作者:Ioan Tomescu

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1985-04

价格:USD 135.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780471801559

丛书系列:

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• 数理逻辑7
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深入离散数学的脉络：图论与组合学的核心原理及前沿探索 导言：离散结构之美与实用价值 离散数学，作为现代数学与计算机科学的基石，其核心领域——组合学与图论，构成了我们理解信息结构、优化问题、网络设计乃至理论物理学等诸多领域的基础框架。本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的视角，去探索这两个紧密相连的学科的经典理论、核心技术以及当前的研究热点。我们聚焦于那些定义了现代离散数学景观的关键概念和证明技巧，旨在培养读者严谨的数学思维和解决复杂离散结构问题的能力。 本书的结构设计旨在引导读者从基础概念平稳过渡到复杂的高级主题，每部分都辅以大量的例题和习题，以期巩固理论理解并激发独立思考。 --- 第一部分：组合学的基石与计数原理的艺术 (The Foundations of Combinatorics and the Art of Counting) 本部分奠定了组合学的理论基础，重点在于精确、有效地计算特定结构出现的次数或方式。我们首先回顾计数学的基本原理：乘法法则、加法法则以及鸽巢原理（Dirichlet's Box Principle）的各种精妙变体，包括更精细化的加权鸽巢原理，并探讨其在资源分配和冲突检测中的应用。 随后，我们将深入探讨排列与组合的进阶主题。这不仅仅是简单的 $P(n, k)$ 和 $C(n, k)$ 的应用，而是关注有重复元素的排列、圆排列的计数，以及涉及约束条件的组合问题。特别地，我们会详尽介绍容斥原理 (Principle of Inclusion-Exclusion, PIE)，并展示如何运用它来解决错排问题（Derangements）以及涉及特定属性集合的计数难题。PIE 的应用将被扩展到集合覆盖和不可并集问题的分析中。 生成函数 (Generating Functions) 是本部分的核心技术之一。我们将系统地介绍普通生成函数 (OGF) 和指数生成函数 (EGF) 的构造、代数操作（加、乘、卷积）以及在解决递推关系中的强大威力。通过生成函数的视角，我们将重新审视二项式定理、多项式系数的求和，并引入Lattice Path Counting，使用格路径的微积分方法（如 Dyck Paths 和 Catalan 数）来解决非交叉配对、括号匹配等经典组合问题。 最后，我们触及组合恒等式的证明技巧，包括“双重计数法”（Double Counting）的艺术，强调通过构建不同视角的计数模型来证明复杂的恒等关系。 --- 第二部分：图论：结构、连通性与极值 (Graph Theory: Structure, Connectivity, and Extremal Problems) 本部分构建了图论的理论大厦，从最基本的定义到高级的结构性质。 2.1 图的表示与基本性质 我们从图的正式定义开始，区分有向图与无向图、简单图与多重图，并介绍邻接矩阵、关联矩阵等多种表示方法。随后，重点分析图的连通性：路径、回路、割点（Articulation Points）和桥（Bridges）。我们详细阐述图的遍历算法（如深度优先搜索和广度优先搜索）的理论基础及其在连通性分析中的作用。 2.2 经典图类的结构与性质 本部分深入研究了几类关键的图结构： 1. 二分图 (Bipartite Graphs)：重点在于二分图的判定（奇圈的存在性）、最大匹配的求解（König's Theorem），以及在资源分配问题中的实际应用。 2. 平面图 (Planar Graphs)：探讨图可以嵌入平面而不发生边交叉的条件。我们将严格推导欧拉公式 ($V - E + F = 2$) 及其推论，包括对最大边数的限制，并介绍 Kuratowski 定理——判断一个图是否为平面图的充要条件（即是否存在 $K_{5}$ 或 $K_{3,3}$ 的子图或图同态）。 3. 特殊图类：对完全图 ($K_n$)、环图 ($C_n$)、树（Trees）进行详细分析。树的计数（Cayley's Formula）和性质（如最小生成树的 Kruskal 和 Prim 算法的理论背景）将被纳入讨论。 2.3 着色问题与图的代数表示 图着色 (Graph Coloring) 是离散数学中的核心优化问题。我们系统地分析了图的色数 $chi(G)$，并探讨了图的四色定理的历史背景和证明思路（尽管证明本身非常复杂，但其意义和相关推论至关重要）。我们将深入研究对偶图的概念，并探究边着色问题（Chromatic Index）。 此外，本部分会介绍图的代数表示，包括邻接矩阵的特征值与图结构之间的关系，特别是度矩阵、拉普拉斯矩阵在谱图理论中的初步应用，如何通过特征值来分析图的连通性和扩展性。 --- 第三部分：图论的高级主题与优化 (Advanced Topics in Graph Theory and Optimization) 本部分侧重于那些在网络流、路径规划和组合优化中起决定性作用的高级理论。 3.1 路径、流与网络设计 我们将详细剖析网络流理论。从最大流最小割定理 (Max-Flow Min-Cut Theorem) 的严格证明出发，我们将介绍 Ford-Fulkerson 方法及其基于增广路径的迭代思想。该理论在匹配、资源调度和网络容量限制下的决策制定中扮演着核心角色。 紧密相关的是连通性问题：Menger 定理——关于点分离集和边分离集与图中独立路径数量的关系，这是对连通性概念的深度量化。 3.2 极值组合学：Turán 定理与 Ramsey 理论 极值图论 (Extremal Graph Theory) 关注的是在满足某一特定限制条件下，图结构所能达到的最大或最小值。Turán 定理是该领域的里程碑，它给出了一个图不包含特定子图（如 $K_{r}$）时，其最大边数的确界。我们将探究 Turán 图的构造和证明技巧。 Ramsey 理论则处理的是“完全的无序是不可能的”这一哲学命题的数学形式。我们将介绍 Ramsey 数 $R(s, t)$ 的定义和基本界限，理解其在信息论和逻辑推理中的深远影响。 3.3 组合优化与匹配理论的深化 本部分将图论与优化理论更紧密地结合起来。我们将回顾完美匹配 (Perfect Matching) 的存在性判据，特别是 Tutte 矩阵与 Tutte 矩阵的行列式在一般图（非二分图）中判断完美匹配存在性的理论框架。 最后，我们会讨论哈密顿回路问题（Hamiltonian Cycle）——一个 NP-完全问题的代表，并分析其必要和充分条件（如 Ore 定理和 Dirac 定理）的局限性，从而引出对复杂性理论的初步认识。 --- 结论：展望离散数学的前沿 本书的最终目标是为读者构建一个坚实的理论框架，使其不仅能理解组合学和图论的经典成果，还能有能力接触和理解当前领域内如随机图、代数图论或离散优化等前沿研究。本书的叙事和内容组织强调证明的严谨性和结构的普适性，确保所学工具能够在面对新型的离散问题时展现出强大的分析和解决能力。

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作为一名从事生物信息学研究的研究生，我经常需要处理和分析复杂的生物分子网络，例如基因调控网络、蛋白质相互作用网络等。这些网络在本质上就是图，而对这些网络的分析，往往需要运用到大量的图论和组合数学知识。例如，识别网络中的关键节点、发现功能性模块、预测分子之间的相互作用等，都离不开图算法和组合分析。因此，一本能够提供实际应用问题的组合数学和图论书籍，对我来说具有非常重要的参考价值。我希望这本书能够包含一些能够映射到生物信息学领域的具体问题。例如，如何用图论来分析基因表达数据的相关性网络，并识别出与特定疾病相关的基因模块？如何利用组合数学来计算DNA序列中特定模式出现的概率，或者分析基因组的重排可能性？我期待书中能够提供一些关于图的聚类算法、社区发现算法、以及基于图的特征提取方法的介绍。在组合数学方面，我希望能够看到一些关于网络动力学、状态空间搜索等问题的解决方法。对于每一个问题，我更希望看到的是能够解释清楚其生物学意义的解答。如果书中能够提供一些关于如何将生物学问题转化为数学模型，以及如何解释数学结果在生物学上的含义的指导，那将非常有价值。我相信，通过学习这本书，我能够更好地运用组合数学和图论的工具来解决我的生物信息学研究难题。

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我是一名对抽象数学概念着迷的数学爱好者，尤其对那些能够用简洁的语言描述出复杂逻辑的领域情有独钟。组合数学和图论正是这样两个领域，它们以其独特的魅力吸引着我。我喜欢挑战自己，通过解决难题来加深对理论的理解。这本书《Problems in Combinatorics and Graph Theory》的标题，如同一个充满诱惑的邀约，邀请我去探索那些隐藏在组合数学和图论世界中的奥秘。我期待这本书能够汇集一些引人入胜的难题，这些难题可能来自于经典的数学竞赛，或者是一些尚未完全解决的前沿问题。例如，我希望看到一些关于计数函数、递归关系、以及它们的 closed-form 表达式的推导问题；在图论方面，我期待一些关于图的拓扑性质、可度量性、以及特定类型图（如平面图、外planar图、完美图）的性质探索问题。我最看重的是，书中能够提供清晰、严谨的解答。我希望解答能够不仅展示最终的答案，更重要的是，能够揭示问题的核心思想，以及作者是如何一步步构建出证明的。如果解答中能够包含一些关于数学归纳法、鸽巢原理、容斥原理等经典证明技巧的应用，那将对我非常有帮助。我希望这本书能够成为我学习路上的一个里程碑，它不仅能教会我如何解决问题，更能激发我对数学更深层次的探索欲望。

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我是一位长期在网络安全领域工作的从业者，深知数据结构和算法的重要性。在处理大量的网络流量、分析潜在的攻击路径、设计高效的安全协议时，图论的知识几乎是渗透到每一个环节。我经常需要将复杂的网络拓扑抽象成图模型，然后运用各种图算法来发现异常、预测风险。而组合数学则在加密学、编码理论等方面有着不可忽视的作用。因此，当我看到这本书的标题时，我的兴趣立刻被点燃了。我最关心的并不是这本书的理论有多么高深，而是它能否真正地解决我在实际工作中遇到的那些棘手问题。例如，在网络入侵检测中，如何高效地识别出隐藏在海量数据中的攻击模式？这往往涉及到对图的子结构搜索、路径查找等问题。在设计分布式系统的容错机制时，如何用图论的语言来描述系统的鲁棒性，并分析其关键节点？这些都是我在日常工作中经常思考的。我希望这本书能够提供一些具有启发性的问题，并且这些问题能够映射到我所熟悉的实际场景中。如果书中能够包含一些关于图的同构、匹配、染色等经典问题，并深入探讨它们的求解方法，那将非常有价值。尤其是一些 NP-hard 问题，虽然在理论上很难在多项式时间内解决，但书中能否给出一些近似算法、启发式算法，或者在特定场景下的精确解法，这将直接关系到我的工作效率。此外，对于一些组合计数问题，例如在密码分析中，如何计算特定密钥空间下的可能组合数，或者在漏洞挖掘中，如何评估不同输入组合的覆盖率，这些都需要扎实的组合数学功底。我希望这本书能够提供一些实用的工具和技巧，帮助我更快地找到问题的解决方案。一本好的问题导向的书，应该能够教会我如何思考，如何将实际问题转化为数学模型，以及如何运用已有的数学工具来解决它们。

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我是一名刚刚接触离散数学的在读研究生，之前的基础相对薄弱，但对这个领域充满了好奇。在学习过程中，我发现自己最容易卡壳的地方往往不是理解定义和基本定理，而是在遇到具体的习题或实际问题时，不知道如何下手，或者即使知道了一些工具，也无法将它们有效地组合起来解决问题。这本书的标题“Problems in Combinatorics and Graph Theory”非常吸引我，因为它直接点出了我当前学习阶段最迫切的需求——通过解决问题来巩固和深化理解。我希望这本书能够像一位经验丰富的导师一样，引导我一步一步地攻克那些具有代表性的难题。我希望看到的问题不是那种“一眼就能看出答案”的简单练习，而是那些需要经过一番思考、需要调动多种知识才能解决的“硬骨头”。例如，在组合方面，我希望能够看到一些关于排列组合的难题，它们可能涉及到一些特殊的约束条件，或者需要运用母函数、生成函数等工具来求解。在图论方面，我希望能够看到一些关于图的连通性、可平面性、染色问题等方面的挑战，特别是那些能够体现图论在实际应用中的重要性的例子。对于每一个问题，我最期待的是清晰、详细的解答。我希望解答中能够解释清楚每一步的逻辑，说明使用了哪些定理或性质，以及为什么选择这种方法。如果能够提供一些关于问题变种的探讨，或者一些相关的拓展阅读，那将是锦上添花。我相信，通过认真研习这本书中的问题和解答，我能够显著提升自己的数学建模能力和问题解决能力，为今后的深入学习打下坚实的基础。

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作为一名数学系本科生，我正在经历着从基础理论学习到深入研究探索的转折点。组合数学和图论是我目前最感兴趣的两个方向，我常常觉得它们既抽象又充满美感，如同精密的数学艺术品。我的导师曾经提到，在深入研究的道路上，会遇到无数看似无解的难题，而克服这些难题的关键在于拥有扎实的理论基础和强大的问题解决能力。当我看到这本书的封面上“Problems in Combinatorics and Graph Theory”的字样时，我立刻联想到了那些我曾经在课堂上、在文献中遇到的、让我百思不得其解的经典难题。我希望这本书能够汇集那些具有代表性的、能够体现组合数学和图论核心思想的难题。例如，那些著名的图论猜想，如四色猜想、哥德巴赫猜想（虽然这是数论，但其证明思路往往与组合方法相关），以及一些复杂的组合计数问题，如一些特殊数列的通项公式推导。我更希望的是，书中不仅仅是罗列这些问题，而是能够提供清晰、严谨的解答思路。我期待能够看到详细的证明过程，其中涉及到哪些重要的定理、引理、推论，以及作者是如何巧妙地运用这些工具来构建证明的。对于一些难题，如果能提供多种解法，并对比它们的优劣，那将极大地拓展我的视野。我相信，通过学习如何解决这些难题，我不仅能加深对已有知识的理解，更能培养出独立思考和解决新问题的能力。我还会特别关注书中是否包含一些关于计算复杂性理论在组合和图论中的应用，例如 NP 完全性、近似算法等，这些都是我未来进一步深造时需要掌握的关键知识。

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我是一名计算机科学专业的博士生，我的研究方向涉及到算法的复杂性分析和设计。在我的研究工作中，图论几乎是一个不可或缺的工具。无论是设计高效的网络路由算法、分析大规模数据集中的关系网络，还是研究分布式系统的通信模型，都需要对图的各种性质和算法有深入的理解。而组合数学则在很多算法的证明和分析中扮演着关键角色，例如在证明算法的正确性、计算算法的时间复杂度等。因此，一本专注于“问题”的组合数学和图论书籍，对我的研究具有直接的帮助。我最看重的是，这本书是否能够提供那些具有挑战性、能够启发新思路的问题。我期望看到的问题可能涉及一些图的结构性难题，例如关于生成树、匹配、割集等，或者一些复杂的组合计数问题，例如在枚举所有可能的图结构、分析特定数据结构的排列组合时。我特别希望书中能够包含一些关于 NP-hard 问题的讨论，以及在这些问题上的一些近似算法或启发式算法的设计与分析。此外，如果书中能够涉及一些图论在算法设计与分析中的前沿应用，例如在机器学习中的图神经网络、在生物信息学中的基因组图谱分析等，那将对我非常有启发。我期待书中提供的解答不仅仅是结果，更重要的是详细的证明过程和对算法设计的深入剖析。我希望看到作者是如何运用数学工具来严谨地证明算法的有效性，或者如何分析算法的性能瓶颈。

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我是一名对算法设计和分析充满热情的研究生，我深知组合数学和图论在算法领域的核心地位。无论是寻找最短路径、最小割，还是设计高效的排序算法，或者分析数据结构的性能，都离不开这些数学工具。然而，很多时候，我能够理解书本上的理论，但在实际的算法设计和分析中，却常常感到力不从心，不知道如何将理论知识有效地应用于解决实际问题。这本书《Problems in Combinatorics and Graph Theory》的标题，正是瞄准了我的痛点。我希望这本书能够提供一系列具有挑战性的问题，这些问题能够涵盖算法设计中常见的组合和图论场景。例如，我期待看到一些关于图的遍历、搜索、匹配、染色等经典问题的变种，以及如何利用这些基础问题来构建更复杂的算法。在组合方面，我希望能够看到一些关于计数、枚举、以及优化问题，这些问题往往是设计高效算法的关键。更重要的是，我希望书中能够提供详尽的解答，并且这些解答能够深入剖析算法的设计思路和分析方法。我希望看到作者是如何从问题出发，一步步地设计出算法，并且如何严谨地分析算法的时间复杂度和空间复杂度。如果书中能够包含一些关于贪心算法、动态规划、回溯法等算法设计范式的在组合和图论问题中的应用示例，那将对我非常有启发。我相信，通过这本书的学习，我能够显著提升自己的算法设计和分析能力，为今后的学术研究和工程实践打下坚实的基础。

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我是一位对数学充满热情的业余爱好者，平时喜欢通过阅读书籍来拓展自己的知识边界。我对组合数学和图论这两个分支尤其着迷，因为它们能够以非常简洁优雅的方式来描述和分析现实世界中的各种复杂现象。然而，自学过程中的一个主要障碍就是，很多时候我能理解书本上的理论，但一旦面对实际的问题，就感到无从下手，缺乏将理论知识转化为解决实际问题的能力。这本书《Problems in Combinatorics and Graph Theory》的标题，正是我所需要的。我希望这本书能够提供一系列精心挑选的问题，这些问题应该能够覆盖组合数学和图论的经典领域，同时也要具有一定的挑战性，能够激发我的思考。我期待的问题可能包括一些有趣的计数问题，例如如何计算特定结构下的排列组合数，或者一些关于概率和组合的交叉问题。在图论方面，我希望能够看到一些关于图的遍历、搜索、最短路径、最大流等经典问题的变种，以及一些关于图的结构性质的探索。更重要的是，我希望这本书能够提供详尽、易于理解的解答。解答过程应该清晰地展示如何从问题出发，一步一步地推导出答案，并且解释清楚每一步所依据的数学原理。我希望作者能够在解答中提供一些解题的技巧和思路，而不是仅仅给出最终答案。如果书中能够包含一些将组合数学和图论应用于其他领域的例子，例如在计算机科学、运筹学、甚至物理学中的应用，那将更能激发我的学习兴趣。我相信，通过这本书的学习，我能够更好地理解组合数学和图论的精髓，并提升自己解决实际数学问题的能力。

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我在一家咨询公司工作，主要负责为客户提供数据分析和优化方案。在很多项目中，我都需要将客户的业务场景抽象成数学模型，然后利用数学工具来寻找最优解。组合数学和图论在我的工作中扮演着越来越重要的角色。例如，在供应链优化中，我需要将物流网络建模成图，然后解决最短路径、最小生成树等问题；在市场营销中，我需要分析用户之间的关系网络，寻找潜在的影响者和传播路径，这往往需要用到图论的社区发现算法；在资源分配问题中，我需要运用组合数学的原理来计算最优的配置方案。因此，一本能够帮助我解决实际问题的组合数学和图论书籍，对我来说至关重要。我希望这本书能够包含一些实际应用场景中的典型问题，并且这些问题能够引导我思考如何将复杂的现实问题转化为数学语言。例如，在解决调度问题时，如何用图论来表示任务和资源之间的关系，并找到最优的调度方案？在进行网络优化时，如何用图论来分析网络的瓶颈，并提出改进建议？我期望书中提供的解答能够具有一定的普适性，能够让我从中学习到通用的解题方法和思路，而不仅仅是针对某个特定问题的解决方案。如果书中能够提供一些关于如何评估不同方案的优劣，以及如何进行敏感性分析的指导，那将非常有价值。我希望这本书能够成为我解决实际业务问题的“工具箱”，帮助我更高效、更准确地为客户提供服务。

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这本书的封面设计就透着一股浓浓的学术气息，简洁而有力，没有多余的花哨。当我第一次拿到它的时候，沉甸甸的质感就告诉我，这绝非一本轻松的读物。扉页上印着 Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics 的字样，这已经足以让任何一个对离散数学领域稍有了解的人眼前一亮。这本书被定位在组合数学和图论的交叉领域，这本身就是一个充满挑战和魅力的研究方向。我一直对抽象的数学结构和它们在现实世界中的映射关系感到着迷，而组合数学和图论正是连接这些抽象与具象的桥梁。尤其是在算法设计、网络分析、甚至生物信息学等领域，图论的应用更是无处不在。然而，学习这些领域，尤其是深入理解其中的难题，往往需要相当的数学功底和耐心。这本书的标题“Problems in Combinatorics and Graph Theory”直截了当地表明了它的内容侧重点——不是泛泛而谈的理论介绍，而是聚焦于解决具体问题。我个人倾向于通过解决问题来学习和巩固知识，因为这样能更清晰地看到理论是如何被应用到实践中的，也能更深刻地理解概念背后的逻辑。当我翻阅这本书时，我期待看到的是那些经过精心挑选、能够代表组合数学和图论核心思想和难点的例题。这些例题不仅仅是简单的练习题，更应该是能够引导读者思考、启发创新思路的“催化剂”。我希望作者在提供问题之后，能够给出详尽的解答过程，并且在解答过程中，不仅仅是给出答案，更重要的是解释清楚解题思路、使用的关键定理和技巧，以及可能存在的其他解法和它们的优劣。这样，我才能真正地从中学到东西，而不是仅仅停留在“会做一道题”的层面。另外，对于一些比较前沿或者晦涩的理论，如果能在问题的背景介绍中稍作提及，或者在解答中给出相关的参考文献，那将是更加完善的。总而言之，我对这本书的期望是，它能够成为我学习组合数学和图论过程中不可或缺的助手，帮助我克服学习中的难点，提升解决问题的能力。

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