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出版者:北京大学出版社

作者:Cohen, Daniel.I.A

出品人:

页数:358

译者:左孝凌

出版时间:1989

价格:5.95

装帧:20cm

isbn号码:9787301005514

丛书系列:

图书标签:

• 数理逻辑7
• 组合数学
• 离散数学
• 图论
• 排列组合
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• 数据结构
• 高等数学
• 理论数学
• 数学教材

深入解析现代概率论：从测度到随机过程的严谨之旅 图书名称：《现代概率论：从测度到随机过程的严谨之旅》 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且严谨的现代概率论学习路径，内容涵盖从基础的集合论和测度论，到复杂的随机过程理论。本书不仅是概率论学生和研究人员的必备参考书，也是希望夯实数学基础、理解随机现象背后深刻数学原理的专业人士的理想选择。我们摒弃了传统概率论教材中过分依赖直觉和简化模型的做法，而是坚持以现代测度论为基石，构建一个逻辑自洽、推导严密的理论体系。 第一部分：测度论基础与概率的数学构造（第1章至第4章） 概率论的现代表述建立在测度论的坚实基础之上。本书从集合论的基本概念出发，系统地介绍了勒贝格测度的构造、$sigma$-代数、可测集以及可测函数的概念。 第1章：集合代数与测度的起源 本章详细阐述了集合论在概率论中的作用，包括$sigma$-代数（$sigma$-algebras）的定义、生成、以及重要的$sigma$-代数性质（如 $sigma$-可加性）。我们引入了测度（Measure）的概念，并着重讨论了外部测度（Outer Measure）如何构造出完整的测度空间。对勒贝格测度在 $mathbb{R}^n$ 上的构造过程进行了细致的分解，为后续的积分理论铺平道路。 第2章：积分理论的建立 本章聚焦于测度论积分——勒贝格积分（Lebesgue Integral）。我们从简单函数（Simple Functions）开始，逐步定义非负可测函数、一般可测函数的积分。核心内容包括积分的单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）、法图勒引理（Fatou's Lemma）以及勒贝格控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem, DCT）。这些定理是处理随机变量函数的期望和极限问题的关键工具。 第3章：概率空间与随机变量 概率空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 的定义是全书的基石。本章将测度论的概念无缝过渡到概率论，其中 $Omega$ 是样本空间，$mathcal{F}$ 是事件的 $sigma$-代数，而 $P$ 是概率测度。我们严格定义了随机变量（Random Variables）为 $mathcal{F}$-可测函数，并探讨了随机向量和函数族的可测性。本章还深入研究了分布函数（Distribution Functions）的性质及其与 $sigma$-代数构造的关系。 第4章：独立性与乘积空间 随机事件的独立性是概率论的核心概念之一。本章通过乘积 $sigma$-代数和乘积测度（如柯尔莫哥洛夫的扩张定理）来严格定义和分析独立随机变量。我们详细探讨了多个独立随机变量的联合分布，并引入了乘积概率空间的概念，这为后续处理多维随机过程奠定了基础。 第二部分：随机变量的期望与收敛性（第5章至第7章） 在建立了概率空间之后，本部分着重于随机变量的特征——期望、方差，以及随机变量序列的各种收敛模式的内在联系与差异。 第5章：期望、条件期望与鞅论基础 期望（Expectation）被定义为勒贝格积分在概率测度下的特例。本章对期望的性质进行了详尽的分析，特别是关于随机变量函数的期望计算。核心内容转向条件期望（Conditional Expectation）。我们采用测度论的观点定义条件期望 $E[X|mathcal{G}]$，并探讨其作为投影算子的性质。本章末尾初步引入了鞅（Martingale）和子鞅（Submartingale）的概念，作为条件期望的动态应用。 第6章：随机变量的收敛性 本章系统地比较了概率论中五种主要的收敛模式：依概率收敛（Convergence in Probability）、依分布收敛（Convergence in Distribution）、几乎必然收敛（Almost Sure Convergence, a.s.）、依 $L^p$ 范数收敛（Convergence in $L^p$）。我们详细论证了它们之间的逻辑蕴含关系，并针对性地给出了每种收敛模式在随机过程中的实际意义。 第7章：极限定理的严谨证明 本章是概率论的精华所在，致力于对大数定律和中心极限定理进行严谨的测度论证明。我们将大数定律分为弱大数定律（WLLN）和强大数定律（SLLN），并使用切比雪夫不等式、特征函数等工具给出详细推导。中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）的证明将基于林德伯格-费勒（Lindeberg-Feller）条件，强调特征函数（Characteristic Functions）在极限分析中的不可替代的作用。 第三部分：随机过程的构造与分析（第8章至第10章） 本书的最后部分转向随机过程（Stochastic Processes），这是对时间维度上随机现象进行建模和分析的框架。 第8章：随机过程的数学框架与连续时间过程 本章首次引入随机过程 ${X_t}_{t in T}$ 的概念，并讨论了索引集 $T$ 的性质（离散时间与连续时间）。我们关注于连续时间过程的数学构造，包括样本路径的性质（如连续性、可微性）。布朗运动（Brownian Motion，或维纳过程）作为最基本的连续时间马尔可夫过程，其测度论构造和路径性质（如二次变差）被细致剖析。 第9章：马尔可夫链与随机游走 马尔可夫链（Markov Chains）是离散时间随机过程的核心。本章严格定义了状态空间、转移概率矩阵，并深入研究了马尔可夫链的遍历性、平稳分布、不可约性和常返性（Recurrence）。我们利用链的结构性质，分析了随机游走在不同维度下的长期行为，以及吸收态的概念。 第10章：鞅论的深入应用 本章将回归到第5章介绍的鞅的概念，并扩展至更广泛的次鞅和上鞅。我们详细讨论了鞅的收敛定理，特别是停时定理（Optional Stopping Theorem），这是金融数学和统计推断中处理期望计算的关键工具。此外，本章还介绍了鞅论在解决不动点问题和随机不等式中的应用，展示了鞅理论的强大统一性。 --- 本书特色： 1. 测度论先行： 坚持从测度论而非直觉出发构建理论，确保所有结果的严谨性。 2. 深入的证明： 核心定理（如CLT、SLLN）的证明过程详尽且完整，适合需要理解理论深层结构的读者。 3. 现代视角： 涵盖了现代概率论的前沿视角，尤其是条件期望和鞅论的深度探讨。 4. 数学严谨性： 本书的语言风格高度正式和精确，避免了模糊的描述，是进行高等数学和理论物理研究的有力工具。

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这本书初次拿到手，我便被它朴实无华的书名吸引了——《组合理论的基本方法》。这几个字似乎直击要害，承诺着深入浅出的讲解，让我对即将展开的探索充满了期待。翻开第一页，一股严谨而又充满逻辑的学术气息扑面而来，作者并没有一开始就抛出晦涩难懂的定理，而是从一些看似简单的计数问题入手，比如排列组合最基础的概念，如何从n个不同元素中选取k个进行排列，以及如何组合。这些例子贴近生活，易于理解，让我很快就找到了学习的切入点。随着章节的深入，作者逐步引入了更复杂的概念，例如二项式定理，它在组合数学中扮演着至关重要的角色，揭示了 $(a+b)^n$ 展开式的系数规律。作者不仅给出了定理的证明，还详细地阐述了其几何意义和代数意义，让我从不同的角度去理解这个定理。

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我一直觉得组合理论是一门既优美又实用的学科，它存在于生活中的方方面面，从抽奖概率的计算，到计算机科学中的算法设计，再到统计学中的数据分析，无处不见它的身影。而《组合理论的基本方法》这本书，恰恰满足了我想要系统学习这门学科的愿望。它并没有像一些教材那样，将大量的篇幅放在高度抽象的理论推导上，而是更加注重方法的介绍。书中的每一个章节都围绕着一种或几种核心的组合计数方法展开，比如递推关系，这是一种非常强大的工具，可以用来解决很多看似复杂的问题。作者通过一道道精心挑选的例题，演示了如何建立递推模型，如何求解递推方程，以及如何将其应用到实际问题中，比如计算走楼梯的不同方法数，或者在网格上行走的路径数量。

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这本书的例题设计是其最大的亮点之一。很多组合数学的书籍，虽然理论讲解得头头是道，但缺乏足够的练习来巩固理解。《组合理论的基本方法》则在这方面下足了功夫。书中每一个重要概念的介绍之后，都会附带一系列精心设计的例题，这些例题难度循序渐进，从易到难，涵盖了该概念的各种应用场景。通过动手解决这些题目，我不仅加深了对理论知识的理解，更重要的是，我学会了如何将抽象的数学工具应用到具体的实际问题中。尤其是一些关于图论和集合论的组合问题，在书中得到了很好的诠释，让我看到了组合数学在这些领域中的强大应用。

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这本书在讲解一些进阶的组合数学概念时，例如关于二项式系数和多项式系数的恒等式，也做得非常到位。作者并没有简单地给出恒等式，而是通过各种组合解释和代数证明，让读者能够深刻理解这些恒等式的来源和意义。例如，在证明一些涉及 $inom{n}{k}$ 的恒等式时，作者会构造一些具体的计数场景，比如从n个人中选k个人，然后将选出的k个人再分成两组，从而导出恒等式。这种“从具体到抽象”的学习过程，对于我这样一个希望深入理解数学的读者来说，非常有益。

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本书在介绍生成函数时，做得尤为出色。生成函数是一种非常强大的工具，可以将复杂的计数问题转化为代数问题。我之前对生成函数一直感到有些困惑，觉得它过于抽象。《组合理论的基本方法》通过一系列的实例，将生成函数的概念逐步剖析开来。从简单的数列的生成函数，到用生成函数求解递推关系，再到如何用它来解决一些关于组合对象计数的难题，作者的讲解层层递进，逻辑清晰。我印象特别深刻的是，作者用生成函数来解决背包问题中的物品组合数，这种将一个看似困难的组合问题，通过代数运算巧妙解决的方式，让我耳目一新。

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这本书的魅力在于它循序渐进的讲解方式。我之前对组合理论有过一些零散的了解，但总觉得缺乏系统性，很多概念之间联系不起来。《组合理论的基本方法》在这方面做得非常出色。它从最基础的计数原理讲起，逐渐过渡到更高级的概念，比如容斥原理。容斥原理是组合数学中一个非常精妙的工具，用于计算包含或排除某些属性的元素的数量。作者用生动的例子，比如数数不被某些数整除的整数，或者计算既不是A也不是B的元素数量，来解释容斥原理的应用。通过对不同情况下的加减项的细致分析，我才真正领悟到这个原理的强大和灵活性。

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我特别欣赏作者在书中对“鸽巢原理”的讲解。这个原理看似简单，却有着惊人的应用范围。它告诉我们，如果你有n+1个物品放进n个箱子，那么至少有一个箱子会包含不止一个物品。这个直观的陈述，在作者的笔下，变得无比强大。书中通过各种生动的例子，比如证明在任意10个不同的正整数中，至少有两个数的差能被9整除，或者证明在一个圆周上任意选取5个点，总能找到至少两个点，它们之间的弧长小于圆周长的1/2。这些例子充分展现了鸽巢原理的简洁性和普适性，让我对数学的智慧感到惊叹。

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总而言之，《组合理论的基本方法》是一本非常值得推荐的组合数学入门书籍。它内容丰富，讲解清晰，例题丰富，方法论性强。对于想要系统学习组合数学，或者希望提升自己组合计数能力的读者来说，这本书无疑是一个极佳的选择。我从书中不仅学到了各种实用的组合计数方法，更重要的是，我培养了对数学的逻辑思维能力和解决问题的信心。这本书让我看到了组合数学的魅力，也为我未来在相关领域的深入学习打下了坚实的基础。

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阅读《组合理论的基本方法》，我最大的感受就是它的“方法论”特质。这本书不是简单地罗列定理和公式，而是更加注重“如何思考”和“如何解决问题”。作者在讲解每一个方法时，都会深入分析其背后的逻辑，以及适用的场景。比如，在介绍“分割”的概念时，书中不仅给出了整数分割和集合分割的定义，还详细讲解了如何利用生成函数来计算分割数，以及这些分割数在不同领域的应用，比如在统计物理学中与玻色子统计的联系。这种深入浅出的讲解方式，让我不仅学会了方法，更学会了理解方法背后的数学思想。

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这本书的一大优点是它的灵活性。它不仅仅局限于某一种特定的组合计数方法，而是广纳博采，将多种行之有效的方法有机地结合在一起。例如，在处理一些涉及对称性的组合问题时，书中不仅介绍了 Burnside 引理和 Polya 计数的初步思想，还将其与递推关系和生成函数等方法相结合，形成了一种更加全面的解题策略。这种多方法的融合，使得读者在面对复杂的组合问题时，能够有更多的选择和更有效的解题思路。尤其是在一些关于有重复元素的排列组合问题上，书中提供的思路和方法，让我豁然开朗。

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