Random Fields and Stochastic Partial Differential Equations (Mathematics and Its Applications) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Y.A. Rozanov

出品人:

页数:239

译者:

出版时间:1998-05-01

价格:USD 125.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780792349846

丛书系列:

图书标签:

随机场
随机偏微分方程
概率论
偏微分方程
数学物理
斯托哈斯蒂克过程
泛函分析
应用数学
数值分析
统计学

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具体描述

This book considers some models described by means of partial differential equations and boundary conditions with chaotic stochastic disturbance. In a framework of stochastic partial differential equations an approach is suggested to generalise solutions of stochastic boundary problems. The main topic concerns probabilistic aspects with applications to the most well-known random fields models which are representative for the corresponding stochastic Sobolev spaces. This work assumes basic knowledge of general analysis and probability, such as Hilbert space methods, Schwartz distributions, and Fourier transforms. Audience: This volume will be of interest to researchers and postgraduate students whose work involves probability theory, stochastic processes and partial differential equations.

随机场与随机偏微分方程（数学及其应用）图书简介本书聚焦于随机场理论与随机偏微分方程（SPDEs）的交叉领域，为读者提供了一个深入而全面的视角，探讨了这些数学工具在描述和分析复杂系统中的应用。本书旨在弥合纯粹概率论与偏微分方程理论之间的鸿沟，专门面向对应用数学、理论物理、金融工程以及数据科学中随机现象建模有浓厚兴趣的研究人员、高级研究生和专业人士。第一部分：随机场的理论基础与分析工具本书的开篇部分（第1至第4章）系统地回顾和建立了随机场理论的核心概念，为后续的随机偏微分方程分析打下坚实的基础。第1章随机场的定义与基本性质本章首先清晰界定了随机场的概念，将其作为依赖于随机变量的函数族。我们探讨了不同类型的随机场，包括高斯场、马尔可夫场以及平稳场。关键的分析工具如矩、协方差函数和谱密度被详细介绍。特别关注了在 $mathbb{R}^d$ 上的连续性和可微性的概率度量，以及勒贝格积分在随机场框架下的推广——伊藤积分的基础。本章强调了如何利用测度论工具来处理无限维概率空间上的结构。第2章随机场上的泛函分析本章深入到随机场的函数空间理论。我们考察了 $L^p(Omega, mathcal{F}, P; H)$ 类型的函数空间，其中 $H$ 是一个依赖于参数 $omega$ 的希尔伯特空间。重点讨论了Wiener积分（或Itô积分）的性质及其在随机场估计中的应用。此外，介绍了一致收敛和依概率收敛在随机场中的具体体现，特别是关于遍历性和平稳性的判定标准。针对随机场函数的微积分，如Malliavin微积分的初步介绍被纳入其中，为后续处理随机微分算子提供了必要的微积分框架。第3章随机过程与随机场的一致性关联本章探讨了从一维随机过程到多维随机场的自然过渡。通过考察时间参数化随机场，如随机演化方程的解，我们将一维随机过程（如布朗运动、斯特拉托诺维奇过程）的概念扩展到空间维度。讨论了随机场如何作为随机过程在空间上的推广，以及如何利用随机场的不动点定理来证明随机微分方程解的存在性。第4章谱理论与平稳随机场针对具有平稳性的随机场，本章详细阐述了傅里叶分析在随机场分析中的强大作用。通过赫尔曼·沃纳（Herman Wold）分解定理，我们将平稳随机场分解为其纯不确定性和确定性部分。重点推导了随机场的功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）与协方差函数之间的关系（维纳-辛钦定理）。这为在频率域分析随机扰动的影响提供了精确的数学工具。第二部分：随机偏微分方程的构建与求解本书的后半部分（第5至第8章）将理论基础应用于随机偏微分方程（SPDEs）的分析，涵盖了从基本方程到高级演化模型的处理方法。第5章线性随机偏微分方程：热传导与波方程本章从最基础的线性SPDEs开始，如带有空间白噪声驱动的随机热传导方程（随机扩散方程）和随机波动方程。我们首先利用傅里叶变换将空间微分算子对角化，然后将原始的SPDE转化为无穷多个相互独立的常微分随机方程。详细分析了在不同噪声水平下，方程解的正则性和矩估计。重点讨论了如何利用半群理论来研究线性SPDEs的解的演化性质。第6章非线性随机偏微分方程：随机KdV与随机Burgers方程非线性SPDEs是本书的难点和核心。本章聚焦于随机Korteweg–de Vries (KdV)方程和随机Burgers方程，这些方程在浅水波和交通流模型中具有重要意义。我们采用迭代法和修正的随机不动点定理来证明全局解的存在性。特别关注了在强非线性项存在时，解的爆破问题（Blow-up Phenomena）以及如何利用随机势能的概念来控制解的增长。第7章随机反应-扩散系统与随机Navier-Stokes方程本章扩展到更复杂的物理模型。随机反应-扩散系统（如FitzHugh-Nagumo模型在随机环境下的行为）被用于模拟神经元活动和生态系统动态。随后，本书详细分析了带有乘性噪声的随机Navier-Stokes方程（SNSEs）。SNSEs的分析涉及高维随机场空间的困难，我们引入了随机粘度（Stochastic Viscosity）的概念，并利用正则化技术来处理非线性项的随机乘积，以确保解的定义和唯一性。第8章随机场与SPDEs的数值方法与近似理论分析之后，本章转向实际应用中的数值求解。我们探讨了几种主流的数值方法，包括时间上的欧拉-马尔可夫方法和空间上的有限元方法（FEM）应用于SPDEs。重点讨论了如何处理空间白噪声的离散化问题（如使用Kronecker积或空间Wiener场近似）。此外，本章还介绍了蒙特卡洛方法（Monte Carlo methods）在估计随机场统计量（如均值和方差）中的应用，并分析了这些数值方法的收敛速度和误差估计。总结与展望本书提供了一套完整的理论框架，用于严谨地处理和分析依赖于随机扰动的偏微分方程系统。通过对随机场理论的系统梳理，读者将能够掌握分析和构造SPDE解所需的概率、泛函分析和微分方程的交叉技能。本书内容旨在引导读者进入前沿研究领域，特别是随机动力系统、随机控制理论以及在材料科学和气候建模中应用SPDEs的未来发展方向。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的整体感觉是一种极其冷静和客观的科学陈述，它的叙事风格几乎是“去人格化”的，完全专注于数学的严谨性。作者的语言极其精确，几乎没有使用任何具有情感色彩的词汇来引导读者的情绪，一切都建立在逻辑和公理之上。这种风格的好处是避免了任何主观偏见，保证了内容在学术上的纯粹性；但其代价是，对于初学者来说，它缺乏必要的“人文关怀”。那些首次接触随机微分方程或高级测度论的读者，可能会觉得它过于冷峻和疏离。它要求读者带着极高的自我驱动力和扎实的预备知识进入，仿佛在进行一场没有向导的深山探险。这本书不是用来轻松阅读的休闲读物，它更像是一套需要你全身心投入、与之搏斗的学术工具箱，每一次成功的理解都伴随着巨大的心智努力，但随之而来的洞察力提升，是任何其他学习方式难以比拟的。

评分☆☆☆☆☆

我花了整整一个周末的时间，试图摸清这本书中关于高斯随机场（Gaussian Random Fields）的构建部分，坦率地说，这对我来说绝对是一次智力上的“马拉松”。作者在引入**马尔可夫随机场（Markov Random Fields, MRF）**的章节中，采取了一种非常“硬核”的教学方式，没有过分依赖直观的比喻，而是直接深入到**Gibbs 采样**和**能量函数**的数学基础。这种深入骨髓的讲解方式，虽然初期学习曲线非常陡峭，但一旦突破了那个门槛，你会发现它极大地提升了你对随机建模本质的理解。书中对**热力学极限（Thermodynamic Limit）**下场域（Field）行为的探讨，尤其令人印象深刻，它不仅仅是介绍了理论，更是在挑战读者去思考，当系统趋于无限大时，局部相关性如何转化为全局的统计特性。对于那些追求最严谨数学基础的研究生和青年学者而言，这本书提供了比市面上许多“入门”书籍更为扎实的理论基石，让人可以自信地站在前沿进行创新，而不必担心自己的理论工具存在漏洞。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在应用数学领域摸爬滚打多年的从业者，我更看重的是理论如何转化为可操作的模型和算法。从这个角度来看，这本书的表现略显“学术化”和“纯粹化”。虽然它在理论证明上无懈可击，但对于那些期望在每一节后面立刻看到清晰的**数值模拟方案**（例如，如何稳定地求解具有随机噪声项的抛物线方程）的读者来说，可能会感到一丝失落。书中确实提到了有限元方法的适用性，但往往只是点到为止，更侧重于证明某个解的**依概率收敛性**，而非具体的**计算复杂度分析**。这使得这本书更像是理论研究人员的“圣经”，而不是工程应用人员的“操作手册”。如果有人希望快速上手一个随机模拟项目，这本书可能需要搭配其他更侧重计算方法的教材一同使用，否则光是理解其理论基础就可能耗尽所有精力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和印刷质量简直是教科书级别的典范。封面设计简洁有力，深邃的蓝色调让人联想到理论物理中那些深邃而复杂的概念，纸张的选择也很考究，厚实且带有细腻的纹理，阅读时手感极佳，即使长时间翻阅也不会感到疲惫。内页的排版是真正的艺术品，公式的对齐、数学符号的清晰度都达到了极高的水准，这对于需要反复对照和演算的读者来说至关重要。我尤其欣赏作者和出版商在图表绘制上的投入，那些关于随机过程空间可视化的插图，处理得如同高分辨率的艺术品，用丰富的色彩梯度清晰地描绘了高维空间的拓扑结构和概率密度函数的分布形态，使得那些抽象的理论概念，至少在视觉层面，变得触手可及。在处理那些复杂的积分方程和偏微分方程的推导时，每一步的逻辑衔接都如同精密的瑞士钟表，毫不拖泥带水，但又留足了空间让人消化。毫无疑问，这本书的实体版本是数学工作者书架上不可或缺的收藏品，光是捧在手里感受那种沉甸甸的专业分量，就足以激发人深入钻研的动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度简直令人咋舌，它绝非那种只关注单一技术分支的专著。我发现它巧妙地在**随机偏微分方程（SPDEs）**的框架下，整合了诸如**分形几何**、**随机动力系统**，甚至隐晦地触及了**量子场论**中的某些概念。最令我赞叹的是，作者在处理非线性、非高斯（Non-Gaussian）随机场时所展现出的数学功力。例如，在探讨**随机泊松过程**在连续空间中的推广时，它没有止步于经典的**Lévy 测度**的讨论，而是引入了**粗糙路径理论（Rough Path Theory）**的思想来定义和处理那些具有高频振荡的路径积分，这种跨领域的融合，真正体现了当代随机分析研究的尖端水平。阅读这本书，更像是一次对整个现代概率论疆域的探险，每翻开一章，你都可能发现一个需要你重新学习新数学工具才能完全掌握的全新领域。

评分☆☆☆☆☆