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出版者:高等教育

作者:杨一都

出品人:

页数:234

译者:

出版时间:2008-4

价格:21.70元

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isbn号码:9787040233544

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《解析几何与线性代数基础》 本书导言 本书旨在为读者构建坚实的数学基础，特别是在解析几何与线性代数领域。在当今科学与工程的诸多分支中，对空间结构、变换关系以及向量与矩阵运算的深刻理解是不可或缺的。无论是物理学中的力学分析、计算机图形学中的三维建模，还是数据科学中的特征提取，都离不开这些核心概念的支撑。本书的编写，力求在严谨的数学理论与直观的几何解释之间找到最佳的平衡点，使初学者能够平稳过渡，同时为专业人士提供深入的参考。 第一部分：解析几何——空间的描绘者 解析几何，作为连接代数与几何的桥梁，赋予我们将抽象的代数方程转化为具体空间图形的能力，反之亦然。本部分将从最基础的欧几里得空间概念入手，系统地阐述如何使用坐标系来精确描述点、线、面乃至更高维度的对象。 第一章：二维空间中的几何 本章着重于笛卡尔坐标系在平面上的应用。我们将从点的位置表示、两点间距离公式开始，逐步深入到直线的基本性质——斜率、截距式、一般式及其相互间的关系（平行与垂直）。重点内容包括向量在二维平面的表示及其加减法运算。此外，本章还将介绍圆锥曲线的代数描述，包括椭圆、抛物线和双曲线的标准方程及其几何性质（如焦点、准线、离心率）。通过大量的几何作图练习，读者将建立起对代数表达式几何意义的直观认识。 第二章：三维空间的几何 三维空间是人类直观感受最为自然的延伸。本章将介绍三维笛卡尔坐标系，并将其推广到向量在三维空间中的表示。空间中点的坐标、距离公式自然引入。核心内容在于空间直线的参数方程和对称方程，以及平面的一般方程。本章的难点和重点将放在向量的两种重要乘法——点积（内积）与叉积（外积）的几何意义上。点积用于测量两个向量的相似程度和投影，直接关系到角度的计算；而叉积则生成一个垂直于原平面（由两向量张成）的向量，其模长与由两向量构成的平行四边形的面积相关，这对于理解力矩、角动量等物理概念至关重要。 第三章：曲面与高维空间概念的引入 在三维空间中，我们将探讨二次曲面，如球面、椭球面、抛一体和双曲面等，并分析它们如何通过联立方程组被定义。最后，本章将尝试进行概念上的跳跃，初步介绍$n$维欧几里得空间$mathbb{R}^n$的基本结构，为线性代数的抽象化打下基础，强调坐标系变换和刚体运动在三维空间中的作用。 第二部分：线性代数——结构与变换的语言 线性代数是现代数学的基石之一，它研究线性关系、向量空间、线性变换以及这些概念在矩阵表示下的运算规律。它提供了一套强大的工具来处理大量数据的结构化处理问题。 第四章：矩阵代数基础 矩阵作为组织数据的强大工具，是本部分的核心。本章从矩阵的定义、类型（方阵、对角阵、单位矩阵等）开始，详细阐述矩阵的加法、数乘以及至关重要的矩阵乘法。我们将深入分析矩阵乘法的非交换性及其几何含义——矩阵乘法代表着线性变换的复合。本章还会介绍矩阵的转置、迹（Trace）以及矩阵的初等行变换（Elementary Row Operations）。 第五章：线性方程组的求解 求解线性方程组是线性代数的首要应用。本章将系统介绍高斯消元法和高斯-若尔当消元法，它们是求解任意规模线性方程组的系统性算法。我们将探讨解的存在性与唯一性问题，引入秩（Rank）的概念，并分析增广矩阵的结构如何决定解集。随后，我们将介绍矩阵的逆，并证明其在方程组求解中的应用，包括使用逆矩阵公式（尽管在计算上不如行简化法高效，但在理论上很重要）。 第六章：向量空间与线性子空间 本章将从直观的二维/三维向量空间上升到抽象的向量空间定义。我们将形式化地定义向量空间的公理，并探讨常见的基础向量空间，如多项式空间、函数空间等。核心概念包括线性组合、线性相关性与线性无关性。我们将详细讨论生成集（Spanning Set）和基（Basis）的概念，并证明任何向量空间的一组基的大小是固定的——即空间的维度（Dimension）。本章还将介绍向量空间的直和分解。 第七章：线性变换与特征值理论 线性变换是研究空间结构如何被“线性”方式改变的核心工具。本章将展示任意线性变换都可以由一个唯一的矩阵表示。我们将分析核空间（Kernel/Null Space）和像空间（Image/Range），并应用秩-零化度定理。随后，本书将进入线性代数中最精妙的部分之一：特征值（Eigenvalues）与特征向量（Eigenvectors）。特征向量是那些在经过线性变换后方向保持不变的特殊向量。我们将学习如何计算它们，并解释特征值在微分方程求解、稳定性分析以及对系统进行对角化处理中的决定性作用。最后，本章会简要介绍相似矩阵的概念。 本书特色与目标读者 本书的叙事结构遵循“几何直观引导代数抽象”的路径，确保读者在接触矩阵和向量空间这些高阶概念时，能随时回溯到二维或三维空间中的直观图像。每章后都附有大量的习题，涵盖计算、证明和应用三个层次，以巩固知识点。 本书适合作为高等数学或专业基础课的教材，适用于工科、理科（物理、化学、计算机科学）以及经济管理类专业中需要扎实数学基础的学生。通过本书的学习，读者不仅能够熟练掌握解析几何的坐标表达技巧，更重要的是，能够用线性代数的语言去思考和建模复杂的系统与变换。

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我是一个在校的理工科学生，平时接触的教材大多是那种“一本正经”的学术腔调，读起来费力且效率不高。然而，这本《数值计算方法》的阅读体验，简直是一股清流。它的章节组织结构设计得非常巧妙，逻辑递进自然得仿佛水到渠成。我发现自己不再需要频繁地停下来查阅背景知识，因为作者在前文已经为构建后续知识点做了充足的铺垫。尤其是在处理像插值与拟合这类内容时，作者没有仅仅停留在理论公式的罗列上，而是花费了大量的篇幅去对比不同方法的优缺点、适用范围以及在不同数据分布下的表现差异。这种对比式的讲解，极大地提升了我对方法论的辨识能力。我记得有一次深夜还在啃这本书，当我读到关于奇异值分解（SVD）在数据降维中的应用实例时，那种豁然开朗的感觉，比完成一个复杂的编程作业还要有成就感。这本书的价值不仅仅在于传授知识点，更在于培养一种审视和选择计算工具的批判性思维。

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对于那些寻求一本既能作为入门教材，又能作为案头参考的数值计算书籍的读者来说，这本书绝对是首选。它的特点在于其“平衡”——理论的深度与实践的广度达到了一个令人惊叹的平衡点。例如，在讲解线性方程组求解时，它不仅详尽解释了高斯消元法和LU分解的原理，还专门辟出一个章节讨论了大规模稀疏矩阵的迭代解法，比如雅可比和共轭梯度法，并对比了它们在不同矩阵特性下的性能差异。作者在描述每种算法时，总是会清晰地给出其复杂度的分析，这对于资源有限的实际计算环境至关重要。此外，书中随处可见的“小结”和“思考题”，设计得非常巧妙，它们不是那种让你机械套用公式的题目，而是引导你对算法的局限性进行深入思考的开放性问题。这本书的阅读，与其说是学习知识，不如说是一次系统性的计算思维训练，让我对未来处理复杂科学问题充满了信心。

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说实话，我原本对这类偏底层的计算学科抱有一种敬而远之的态度，总觉得离我的应用领域——比如金融建模——有些遥远。但是，这本书的切入点非常“接地气”。它没有一开始就抛出复杂的矩阵分解或者特征值问题，而是从如何更精确地描述一个连续函数（比如梯形法则、辛普森法则的几何意义）开始，将复杂的数值积分问题分解成可以理解的小块。这种由浅入深的叙事节奏，完美地照顾了不同背景的读者。我个人尤其赞赏作者在排版和图示上的用心良苦。那些精心绘制的几何解释图，比任何文字描述都更能直观地展示误差的来源和迭代过程的几何意义。此外，书中穿插的一些历史典故和早期科学家的尝试，也让冰冷的数字世界增添了一丝人情味，让学习过程变得不再单调乏味。它让我意识到，数值计算并非是现代计算机的专属，它根植于人类对精确求解问题的古老渴望之中。

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这本书简直是打开了我对数学世界的一扇全新的大门。我一直以为数值计算是枯燥乏味的，充满了晦涩难懂的公式和算法，但这本书的叙述方式让我彻底改观。作者的文笔极其流畅，仿佛在与一位经验丰富的导师对话，而不是在啃一本教科书。特别是对于那些经典算法的引入，没有采取那种“先给你公式，你再自己琢磨”的冷漠方式，而是通过生动的例子和深入浅出的讲解，让你自然而然地理解了每一步推导背后的深刻逻辑。比如，在讲解迭代法的收敛性时，书中通过一个非常贴近实际工程问题的场景，将抽象的数学概念具象化了，让我茅塞顿开。我特别欣赏作者在保持数学严谨性的同时，还兼顾了工程实践的可操作性。书中对于软件实现中可能遇到的数值稳定性和精度问题的讨论，也显得尤为深刻和独到，这对于我这样既想搞理论研究又想做实际应用的人来说，简直是宝典级的指导。读完第一章，我就迫不及待地想去尝试用代码复现书中的例子，那种知识被激活的兴奋感，久违了。

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这本书的深度和广度都超出了我的预期。我本以为它会是那种侧重于特定算法讲解的工具书，但它展现出的是一种宏大的计算科学全景图。最让我印象深刻的是它对“误差分析”的系统性阐述。很多教材只是简单地提一下截断误差和舍入误差，但这本书将其上升到了理论高度，详细分析了误差在多步运算中的传播机制，并提供了大量避免“灾难性抵消”的实用技巧。这部分内容对于任何需要处理高精度计算任务的专业人士来说，都是无价之宝。我尝试用书中提供的一个小技巧优化了我正在进行的一个偏微分方程的求解过程，结果发现计算效率和稳定性都有了显著的改善，这直接为我的项目节省了大量调试时间。这本书的论述风格非常自信和权威，引用文献的质量也很高，体现了作者深厚的学术功底和对该领域的深刻洞察。

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