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《曲一线科学备考•5年高考3年模拟:高中数学(必修4)(人教B版)》内容包括：1 1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算、1.2 任意角的三角函数、1.21 三角函数的定义、1. 2.2 单位圆与三角函数线、1.2.3 同角三角函数的基本关系式、1. 2.4诱导公式、1.3 三角函数的图象与性质、1 3 1 正弦函数的图象与性质、1 3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质、.3.3 已知三角函数值求角等。
好的，这是一本名为《漫游奇境：深度探索非欧几何与拓扑学》的图书简介，该书完全不涉及高中数学的任何内容： --- 《漫游奇境：深度探索非欧几何与拓扑学》 导言：超越欧几里得的疆界 自古以来，我们对“空间”的认知都根植于欧几里得的五大公设。然而，人类思想的脚步从未停歇。当我们踏出熟悉的平面与三维空间，进入一个更广阔、更奇特的数学宇宙时，会发现几何的本质远比我们想象的要丰富多彩。《漫游奇境》正是这样一本邀请函，它带领读者从二维的平面世界跃迁至更高维度的抽象结构，深入探索那些在宇宙学、理论物理乃至纯粹数学中扮演核心角色的非欧几何与拓扑学领域。 本书并非枯燥的公理推演集合，而是一场充满视觉冲击与智力冒险的旅程。我们摒弃了对初等代数和三角函数的依赖，转而聚焦于概念的构建、内在逻辑的张力和几何图像的直观感受。 第一部分：非欧几何的诞生——弯曲世界的逻辑 第1章：不可动摇的平行线猜想 本章追溯了平行线公设（欧几里得第五公设）在两千多年间所引发的巨大争议。我们将详细考察历史上试图证明或反驳这一公设的努力。重点将放在伯努利、高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶这两位“非欧几何之父”如何勇敢地迈出第一步：否定第五公设，并观察由此产生的逻辑后果。我们不进行冗长的代数运算，而是通过思想实验和几何构造来展示这些新系统的内在一致性。 第2章：罗巴切夫斯基的马鞍面世界（双曲几何） 进入双曲几何的世界。我们将详细描述罗氏几何的特征：在一条已知直线及该直线外一点，可以画出无数条不与已知直线相交的直线。 非欧三角学： 探讨双曲三角形的内角和总是小于 $180^circ$ 的事实。我们将通过“理想点”和“无穷远”的概念，构建一个直观的理解框架，展示如何在曲面上定义“测地线”（即最短路径）。 庞加莱圆盘模型： 这是一个展示双曲几何如何在欧几里得平面内实现嵌入的经典模型。读者将直观地看到，在这个模型中，圆周或直线在边缘处“无限远去”，完美地模拟了双曲空间的无限延伸。 第3章：黎曼的闭合宇宙（椭圆几何） 与双曲几何相对立的是黎曼几何，即椭圆几何，这是球面几何的抽象推广。 测地线与“直线”： 在球面上，最短路径是大圆弧。我们将证明，在任意两点间，除了经过两极的路径外，似乎存在多条“直线”，但更深刻的理解在于，在球面上，所有“直线”（大圆）都必然相交。 内角和的秘密： 探讨椭圆几何中三角形内角和总是大于 $180^circ$ 的现象。我们将利用地球仪模型，直观演示赤道与两条经线构成的三角形的特性，理解这种“正曲率”带来的几何约束。 第4章：高斯与曲率的概念 本章将讨论高斯对微分几何的开创性贡献，特别是他的“绝妙定理”（Theorema Egregium）。这个定理的深刻之处在于，它表明一个曲面的内在几何性质（曲率）仅由该曲面本身决定，而不依赖于它如何嵌入到外部三维空间中。这是一个从外在描述转向内在性质的关键飞跃。 第二部分：拓扑学的诞生——空间的形变与不变性 如果说几何学关心的是距离、角度和曲率这些“刚性”的度量，那么拓扑学关心的则是那些在连续形变下保持不变的性质。拓扑学被称为“橡皮泥几何学”，它专注于空间的连通性、孔洞的数量以及边界的性质。 第5章：欧拉示性数与平面图形的结构 我们将从欧拉的经典问题——柯尼斯堡七桥问题开始，引出图论的初步概念。随后，我们将研究欧拉示性数 $chi = V - E + F$（顶点数减去边数加面数）在多面体上的应用。 普适性： 证明对于任何拓扑等价于球面的多面体（即没有孔洞的封闭曲面），这个数值始终等于 2。这是拓扑学中第一个伟大的“拓扑不变量”。 第6章：单连通性与“咖啡杯-甜甜圈”的等价性 这是拓扑学最著名、最引人入胜的部分。 定义“洞”： 我们将严格定义拓扑空间中的“洞”——即无法通过连续形变收缩成一个点的闭合回路。 拓扑等价的直观理解： 深入探讨一个单连通（没有洞）的物体如何通过拉伸、挤压而成为另一个单连通的物体。通过大量的实例和可视化，我们将确立“咖啡杯”和“甜甜圈”（环面）之间的拓扑等价关系。读者将理解为什么一个实心橡胶球和一个空心轮胎在拓扑学家眼中是同一种“东西”。 第7章：莫比乌斯带的单侧世界 我们将详细剖析莫比乌斯带这一奇特的拓扑结构。 构造与性质： 读者将亲手（或通过详细的图解）构造莫比乌斯带，并观察它仅有一个面和一条边界的奇异特性。 定向性： 讨论莫比乌斯带如何打破了传统二维表面的“定向性”概念，这对于理解更高维流形至关重要。 第8章：高维空间与流形的初步接触 在本书的收尾部分，我们将触及现代几何学的尖端——流形（Manifolds）的概念。 局部似欧几里得： 流形被定义为在足够小的尺度上看起来像欧几里得空间的拓扑空间。我们将讨论二维流形（如球面、环面、克莱因瓶）的分类问题。 克莱因瓶的挑战： 克莱因瓶是第一个真正无法在三维空间中完全自我不相交嵌入的拓扑物体。我们将探讨它作为四维物体的本质，并理解它如何作为一个“无边界的双侧”曲面的抽象概念存在。 结语：空间哲学的新视角 《漫游奇境》旨在拓宽读者对“空间”这一基本概念的理解。通过系统地考察非欧几何对曲率的接纳和拓扑学对形状的解放，我们发现，几何学远不止于测量和计算。它是一种关于结构、连接和不变性的深刻哲学。本书没有预设任何高等代数或微积分知识，专注于概念的深度挖掘和历史脉络的梳理，让读者在数学的边缘地带，体验一场纯粹的智力探险。 --- 本书特色： 无代数依赖： 核心概念通过几何直觉、模型和思想实验来阐释。 可视化优先： 大量采用模型图和概念性插画，辅助理解抽象结构。 历史与哲学结合： 穿插介绍高斯、黎曼等巨匠的探索历程及其思想转变。
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