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出版者:浙江大学出版社

作者:方道元

出品人:

页数:282

译者:

出版时间:2008-3

价格:35.00元

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isbn号码:9787308057721

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常微分方程：现代科学与工程的基石 《常微分方程》这本书，如同一本打开的钥匙，为读者解锁了理解和驾驭我们周围世界运行规律的无数扇门。它并非是一部孤立的数学理论著作，而是与物理学、工程学、生物学、经济学乃至社会科学等众多前沿领域息息相关的核心工具。在本书中，我们将踏上一段探索“变化”本身内在规律的旅程，学习如何用精确的数学语言来描述和预测自然界和社会中事物的发展轨迹。 为何如此重要？ 我们身处一个不断变化的世界。天体的运行轨迹、风的流动、河流的侵蚀、化学反应的进程、人口的增长、金融市场的波动，甚至我们体内细胞的生殖与死亡，这一切动态的过程，都可以被归结为“变化率”的相互作用。而常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）正是描述这些“变化率”之间关系的强大语言。 简单来说，一个常微分方程是一个数学方程，它将一个或多个未知函数的导数（也就是变化率）与这些函数本身以及自变量联系起来。当你观察到一个量（比如位置）随时间变化的规律，并能用“速度”（位置对时间的导数）来描述它时，你就已经在接触微分方程的思想了。而常微分方程，则特指那些只涉及一个自变量（通常是时间，但也可以是空间、角度等）的导数。 例如，牛顿第二定律——力等于质量乘以加速度（$F = ma$）——就是常微分方程的经典应用。加速度是速度对时间的二次导数，而速度是位置对时间的导数。因此，这个简单的物理定律，本质上是一个描述物体运动状态如何随时间变化的二阶常微分方程。一旦你知道施加在物体上的力随时间或物体状态的变化规律，你就可以通过解这个方程来预测物体未来的运动轨迹。 《常微分方程》这本书正是系统地阐述了如何从现实世界的现象中提炼出常微分方程模型，以及如何分析和求解这些方程。它涵盖了从最基础的一阶方程到更复杂的系统方程，从解析解的方法到数值逼近的技术，为读者提供了一个全面且深入的理解框架。 本书的核心内容探索： 1. 方程的本质与分类： 定义与起源： 书的开篇将清晰地界定什么是常微分方程，它与代数方程、偏微分方程的区别，以及它在科学研究中为何扮演着如此关键的角色。我们将追溯其历史渊源，理解它是如何从解决实际问题的需求中孕育而生的。 阶数与线性度： 方程的“阶数”反映了最高阶导数，这决定了方程的复杂程度和所描述现象的动态特性。线性方程和非线性方程则有着截然不同的性质和求解策略，这是理解和分析方程的关键。线性方程通常具有更强的结构性和完备的理论支撑，而非线性方程则能描述更广泛、更复杂的真实世界现象，但求解起来也更具挑战性。 2. 基础方程的解析求解方法： 一阶常微分方程： 这是学习的起点。本书将详细介绍各种类型的一阶方程的解析解法，包括： 变量可分离方程： 最简单的一类，可以将方程改写成只包含一个变量的函数和其微分项的形式，然后直接积分求解。 齐次方程： 通过变量替换，可以转化为变量可分离方程。 线性一阶方程： 利用积分因子法，可以系统地求出其解。 全微分方程与恰当方程： 介绍判断和求解这类方程的方法，以及如何通过积分因子化为恰当方程。 高阶常微分方程（特别是二阶）： 常系数线性齐次方程： 这类方程是许多物理和工程模型的核心，例如振动、电路分析等。通过求解特征方程，可以得到指数函数、三角函数等基本解的组合。 常系数线性非齐次方程： 在齐次解的基础上，需要找到一个特解来满足非齐次项。本书将介绍待定系数法和常数变易法等通用技巧。 欧拉-柯西方程： 一种特殊类型的高阶线性方程，通过变量替换可以转化为常系数方程。 3. 解的存在性、唯一性与稳定性分析： 皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelöf Theorem）： 这个核心定理保证了在一定的条件下，常微分方程的初值问题解的存在性和唯一性。这意味着对于一个给定的初始状态，系统的演化轨迹是确定且唯一的。 解的性态分析： 对于一些方程，即使无法求出精确的解析解，我们仍然可以分析解的整体行为，比如它是否会趋于无穷、收敛于某个值、或者在某个平衡点附近振荡。 稳定性理论： 特别是在研究平衡点和周期解时，稳定性分析至关重要。一个系统是稳定的，意味着即使受到微小的扰动，它也能恢复到原来的状态；反之，则可能发散或进入新的状态。这在控制理论、系统动力学等领域有着极其重要的应用。 4. 系统微分方程： 线性系统： 讨论由多个相互关联的一阶常微分方程组成的系统，重点在于矩阵方法，如特征值与特征向量的应用，来求解和分析线性系统的动态行为。 非线性系统： 引入相空间、相图、极限环、吸引子等概念，用于可视化和分析非线性系统的复杂动态，如混沌现象的初步探索。 5. 数值解法： 近似解的重要性： 很多时候，常微分方程并没有简单的解析解。这时，数值方法就成了我们探索和预测系统行为的唯一途径。 基本数值方法： 书中将介绍一系列经典的数值方法，包括： 欧拉法（Euler Method）： 最简单直观的数值方法，通过小步长近似积分。 改进欧拉法/梯形法（Improved Euler/Trapezoidal Method）： 精度高于欧拉法。 龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods）： 一族非常常用且精度较高的数值方法，如经典的四阶龙格-库塔法（RK4），在工程和科学计算中被广泛应用。 数值方法的稳定性和精度： 讨论不同数值方法在近似计算中的误差来源、收敛性以及稳定性问题，帮助读者选择合适的计算工具。 本书的应用领域展望： 《常微分方程》并非纸上谈兵，它渗透在我们生活的方方面面，是众多学科发展不可或缺的工具： 物理学： 从经典力学中描述物体运动，到电磁学中电磁波的传播，再到量子力学中薛定谔方程的求解，常微分方程无处不在。 工程学： 结构振动分析、电路系统设计、流体动力学模拟、控制系统设计、热传导计算等，都需要借助常微分方程来建立模型并进行分析。 生物学： 传染病的传播模型（如SIR模型）、种群动态模型、酶动力学、神经元放电模型等，都广泛使用常微分方程来描述生物系统的演化。 化学： 化学反应速率方程、化学动力学研究，都依赖于常微分方程。 经济学： 经济增长模型、金融衍生品定价、宏观经济波动分析等，也常常借助于常微分方程来构建模型。 环境科学： 污染物扩散模型、气候变化预测等，都需要常微分方程作为数学工具。 学习本书的收获： 通过系统学习《常微分方程》，读者将： 培养严谨的数学思维： 掌握如何将实际问题抽象化为数学模型，并运用数学工具进行分析。 提升解决实际问题的能力： 获得一套强大的工具，能够分析和预测复杂系统的行为。 为进一步深入学习奠定基础： 为学习偏微分方程、动力系统、数值分析等更高级的学科打下坚实的基础。 深刻理解“变化”的规律： 从微观到宏观，理解事物如何随时间或空间发生演变，从而更深刻地认识世界。 《常微分方程》这本书，不仅仅是一本教材，更是一扇通往科学与工程世界的大门，邀请每一位求知者一同探索变化的奥秘，理解世界的运行之道。

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我特别欣赏作者在讲解数值解法时的那种务实态度。在理论数学的世界里，很多方程我们只能求出解析解，但现实世界中的很多问题，比如复杂的流体力学模型，根本不存在美观的解析答案。这本书并没有回避这个现实，而是花了大量的篇幅介绍龙格-库塔法（Runge-Kutta）和有限差分法。作者在介绍这些算法时，不仅给出了核心的迭代公式，还煞有介事地讨论了它们的局部误差和全局误差的量级关系。他甚至在某一节专门对比了显式方法和隐式方法的优缺点，比如显式方法计算简单但可能存在稳定性限制，而隐式方法虽然每一步迭代复杂，但在处理刚性系统时优势明显。这种兼顾理论严谨性和工程实用性的叙述风格，让我觉得这本书不仅仅是象牙塔里的理论宝典，更是工程师工具箱里不可或缺的指南。

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整本书的语言风格非常“英式”，讲究逻辑的严密性和论证的完整性。每一个定理的提出都伴随着清晰的假设条件和详尽的逻辑推导，几乎没有出现过“显然地”或者“不证自明地”这种偷懒的表达。这对于我这种喜欢刨根问底的读者来说，是极大的福音。我记得在讨论傅里叶级数与偏微分方程的解之间的联系时，作者花了整整一个章节来铺垫正交函数系的概念，然后才将热传导方程的分离变量法完美地串联起来。这种循序渐进、不跳跃的讲解方式，极大地增强了内容的可靠性。阅读过程中，我很少需要频繁地翻阅其他参考资料来补充背景知识，因为作者似乎已经预料到了读者可能产生的困惑点，并提前给出了详尽的说明。

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这本书的封面设计得非常沉稳大气，那种深蓝色的背景加上烫金的字体，一看就知道是严谨的学术著作。我刚翻开第一章，就被作者那深入浅出的叙述方式所吸引。他没有直接抛出复杂的数学公式，而是从物理学中那些直观的现象入手，比如物体的振动、流体的运动，引导我们去理解为什么需要微分方程这个工具。我记得有一段讲到“平衡态”的概念，作者用了一个非常形象的比喻，就像是拔河比赛中双方力量相等时的静止状态，这一下子就把抽象的数学概念拉到了我们日常的认知范围内。而且，书中的图示非常精美，那些不同参数下解的曲线变化，用彩色线条清晰地标注出来，使得原本可能让人望而生畏的理论变得可视化了许多。这本书的结构安排也很有层次感，从最基础的一阶方程，逐步过渡到高阶、偏微分方程，每一步都有清晰的铺垫，让人感觉学习的路径非常顺畅，而不是硬生生地被塞入一堆公式。

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这本书的排版和装帧质量堪称一流。纸张的质感很好，长时间阅读眼睛不易疲劳。最让我印象深刻的是书后附带的“历史回顾”和“前沿展望”部分。作者没有将这本书仅仅局限在经典理论的阐述上，而是用相当大的篇幅介绍了常微分方程在现代科学，例如混沌理论、动力系统控制中的最新进展。他提到了庞加莱截面等现代分析工具的雏形，以及它们如何帮助我们理解那些看似随机实则确定的复杂现象。这种将经典数学根基与尖端研究方向紧密结合的做法，极大地拓宽了我的视野，让我认识到这个看似古老的数学分支，至今仍在驱动着最前沿的科学探索。它不仅是一本教材，更像是一份引人入胜的学科发展简史。

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这本书的难度曲线设置得相当巧妙。一开始的基础部分，哪怕是学过微积分的工科生也能比较轻松地跟上节奏，作者对初值问题和边值问题的解释非常到位，尤其是对拉普拉斯变换在求解非齐次方程中的应用，他没有仅仅停留在“如何操作”，而是详细解释了变换背后的物理意义，这对于我这种更偏向应用层面的读者来说，简直是醍醐灌顶。然而，当进入到更高级的稳定性分析和相平面方法时，难度陡然提升，作者开始引入拓扑学的概念来分析系统的长期行为。这部分内容要求读者具备更强的抽象思维能力，我不得不放慢速度，反复研读每一条定理的证明过程。不过，正是这种深度的挖掘，让这本书的价值体现出来——它不仅仅是教你如何解题，更是教你如何“思考”一个动态系统的演化规律。书中附带的习题难度适中偏上，很多题目都需要结合好几章的知识点才能勉强解答，真正考验了读者的综合运用能力。

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好痛苦啊，每周作业得憋五六天。

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真的很烂

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之所以我学得这么烂就是因为看这种教材

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