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《基础数学原理与应用：面向现代科学的深度探索》 图书信息： 书名： 基础数学原理与应用：面向现代科学的深度探索 作者： 王立新，陈静 出版社： 现代教育出版社 出版年份： 2024年 定价： 128.00 元 页数： 680 页 开本： 16 开 --- 内容简介 《基础数学原理与应用：面向现代科学的深度探索》 是一部旨在为理工科、经济学及计算机科学等领域学生和研究人员提供坚实数学基础和前沿应用视野的权威性教材与参考书。本书突破了传统基础数学教材的局限，不仅系统梳理了微积分、线性代数、概率论与数理统计的核心理论框架，更紧密结合当前人工智能、大数据、金融工程和复杂系统科学等领域的前沿需求，深入探讨了这些数学工具的深层原理及其在实际问题中的建模与求解技巧。 本书的撰写团队由多位在基础数学和应用数学领域具有深厚造诣的资深教授和一线工程师组成，确保了理论的严谨性、内容的先进性以及应用的贴切性。 第一部分：微积分的严谨基础与高级应用（第 1 章至第 3 章） 本部分致力于构建读者对极限、连续性和导数、积分的深刻理解，并将其扩展至多变量函数和微分方程领域。 第 1 章：实数系统与极限的严谨性 本章从集合论的基本概念出发，详述实数系统的完备性，严格论证了极限的 $varepsilon-delta$ 定义。特别关注了数列极限的收敛判据，如单调有界定理和柯西收敛准则。我们详细剖析了函数连续性的拓扑学内涵，避免了传统教材中对连续性定义的流于表面的处理，为后续的微积分理论打下坚实的逻辑基础。 第 2 章：导数、微分与中值定理的几何与分析意义 本章深入探讨导数的定义、微分的本质，并对洛必达法则、泰勒公式进行了细致的展开和应用分析。重点讨论了高阶导数在函数逼近和曲率分析中的作用。此外，本章引入了“微分形式”的概念，为读者过渡到微分几何和流形上的积分做好铺垫。 第 3 章：多变量微积分与场论基础 本章覆盖偏导数、多重积分、线积分和曲面积分。超越了简单的计算技巧，本章详细阐述了梯度、散度、旋度的物理意义，并对格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理进行了严谨的数学证明和在电磁场理论中的应用案例分析。我们采用现代向量分析的视角，清晰地展示了这些定理之间的内在联系。 第二部分：线性代数：结构、变换与高维几何（第 4 章至第 6 章） 本部分旨在帮助读者理解线性代数不仅仅是矩阵运算，而是描述向量空间结构和线性变换的强大语言。 第 4 章：向量空间与线性变换的抽象结构 本章从抽象向量空间的定义出发，探讨基、维数、子空间、线性映射的核与像。重点分析了同构的概念，强调了矩阵表示依赖于基的选择。我们引入了 Jordan 标准型和有理标准型的理论，这是理解矩阵函数和系统稳定性分析的关键。 第 5 章：特征值问题与矩阵的稳定性分析 本章深入讨论特征值、特征向量的计算方法和几何意义。关键在于对对角化条件（包括正规矩阵）的全面分析。本章的特色是引入了矩阵微扰理论的初步概念，探讨了小扰动如何影响特征值的分布，这对于数值计算的稳定性至关重要。 第 6 章：内积空间、正交性与谱理论 本章扩展到欧几里得空间和更一般的内积空间，重点讲解施密特正交化过程、正交投影定理。在线性代数应用中，本章的核心是谱理论——阐述了对称矩阵（Hermitian 矩阵）可对角化的深刻性，并将其与傅里叶分析的基础联系起来。 第三部分：概率论与数理统计：随机性的量化与推断（第 7 章至第 9 章） 本部分从概率的公理化定义出发，逐步过渡到随机过程的建模和统计推断的核心方法。 第 7 章：概率论的基础：随机变量与矩分析 本章严格定义了概率空间，并详细区分了离散型、连续型随机变量及其分布函数。重点讲解了矩、期望和方差的性质，并引入了特征函数（Characteristic Function）作为分析随机变量和证明中心极限定理的有力工具。 第 8 章：多维随机变量与随机过程的初步 本章探讨联合分布、条件期望和随机变量的变换法则，特别是雅可比行列式在概率密度函数变换中的应用。引入了基础的随机过程模型，如 Bernoulli 试验序列、泊松过程和简单的马尔可夫链的稳态分析，为时间序列建模奠定基础。 第 9 章：数理统计：参数估计与假设检验 本章聚焦于统计推断。详细介绍了矩估计法（MOM）和最大似然估计（MLE）的原理和性质，特别是 MLE 在大样本下的渐近性质。在假设检验部分，系统阐述了 Z 检验、t 检验、卡方检验和 F 检验的适用场景和逻辑推导，并强调了P 值的正确解读。 第四部分：现代应用与计算方法（第 10 章） 本章作为全书的总结与展望，将前述理论与现代计算科学紧密结合。 第 10 章：数值分析简介与优化基础 本章讨论了求解实际数学问题时不可避免的数值误差问题（截断误差与舍入误差）。内容包括牛顿迭代法的收敛分析、线性方程组的直接法（如 LU 分解）和迭代法（如雅可比法）。最后，本章引入了无约束优化的基本思想，如梯度下降法，展示了微积分和线性代数如何共同支撑起现代机器学习的核心算法。 --- 本书特色与优势 1. 理论深度与应用广度并重： 本书在保证传统数学严谨性的同时，将重点放在现代科学计算中的核心概念（如谱理论、特征函数、MLE），避免了大量与实际脱节的繁琐定理推导。 2. 强烈的现代性驱动： 每一部分的应用示例都紧密围绕 21 世纪的学科热点，如控制论中的系统稳定性分析、数据科学中的降维技术（PCA的数学本质）等。 3. 清晰的逻辑递进： 结构设计上，每一章都以前序知识作为下一章的坚实地基，尤其是线性代数对多变量微积分的支撑，以及概率论对统计推断的决定性作用，组织得极为流畅。 4. 丰富的习题与案例： 书中包含数百道精选习题，分为“基础巩固”、“方法应用”和“前沿探索”三个层次，并附带详尽的在线解题资源（不包含在纸质书中）。 适用对象： 本书适合高等院校理工科、信息科学、应用数学、经济与金融工程等专业本科高年级及研究生使用，也可作为需要快速构建和巩固坚实数学基础的科研人员和工程师的参考手册。 --- (总计约 1520 字)
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