Lecture on the Calculus of Variations and Optimal Control Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Young, Laurence Chisholm

出品人:

页数:337

译者:

出版时间:

价格:317.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9780821826904

丛书系列:

图书标签:

• Calculus of Variations
• Optimal Control
• Mathematics
• Applied Mathematics
• Engineering
• Control Theory
• Differential Equations
• Optimization
• Calculus
• Theoretical Physics

现代数学前沿探索：泛函分析与微分几何的交汇 本书是一部深入探讨现代数学核心分支——泛函分析与微分几何之间深刻联系的学术专著。全书旨在为数学、物理学及工程学领域的研究人员和高年级研究生提供一个全面而严谨的视角，理解这两个看似独立领域如何相互渗透、相互促进，并在解决复杂数学问题中发挥关键作用。 第一部分：泛函分析的深层结构 本书伊始，我们将从泛函分析的基石出发，但着重于那些与几何结构紧密相关的部分。传统的巴拿克空间和希尔伯特空间理论将被重新审视，其重点将转向拓扑结构与度量空间的精细化处理。 1. 拓扑向量空间的深入剖析： 我们首先详细讨论了局部凸拓扑向量空间（Locally Convex Topological Vector Spaces）的性质，特别是弗雷歇空间（Fréchet Spaces）和巴拿克空间。然而，与标准教材不同的是，本书将重点放在了极值点理论（Extremal Point Theory）在这些空间中的体现，以及其在凸分析中的应用。我们将引入Gelfand拓扑和强拓扑的概念，分析它们在函数空间上的诱导结构。 2. 算子理论的几何视角： 在算子理论部分，我们将超越线性算子的一般性质，聚焦于紧算子（Compact Operators）和弗雷德霍姆理论（Fredholm Theory）的几何解释。讨论将围绕谱理论（Spectral Theory）展开，但视角将转向特征值问题在无限维空间中的“几何意义”，例如，通过分析特定算子在黎曼流形上的拉普拉斯-贝特密算子（Laplace-Beltrami Operator）的谱来理解流形的几何特性。此外，我们将详述无界线性算子（Unbounded Linear Operators）的闭性（Closedness）和自反性（Self-Adjointness）在无限维几何中的重要性。 3. 测度和积分的广义化： 测度论部分将超越勒贝格积分的基础，直接进入更抽象的测度空间，特别是Bochner积分在向量值函数空间中的应用。我们将探讨概率论与泛函分析的交汇点，例如，通过随机过程的路径空间来理解某些泛函分析空间的结构。Willis测度（Willis Measure）和高维随机变量的积分表示也将被纳入讨论范围。 第二部分：微分几何与拓扑的交织 本书的第二部分将核心转向微分几何，但其讨论工具和动机将完全根植于第一部分建立的泛函分析框架之中。 1. 流形上的微分结构与张量分析： 我们将详尽阐述光滑流形（Smooth Manifolds）的定义，着重于切空间（Tangent Spaces）作为无穷维线性空间（局部上是 $mathbb{R}^n$）的严格处理。张量场（Tensor Fields）的定义将基于向量场代数结构（即李括号的性质），而非仅仅是坐标变换的规则。曲率概念（如黎曼曲率张量）的引入将通过第二类曲率的概念，即作用于向量场上的二阶微分算子来阐述，从而直接与泛函分析中的二阶导数形式联系起来。 2. 联络与平行移动的泛函表示： 联络（Connections）的引入将不仅仅停留在几何直观上，而是将其视为在向量丛（Vector Bundles）上定义的特定“泛函导数”——即保持向量场在流形上“一致性”的算子。我们将使用仿射几何的语言来描述平行移动（Parallel Transport），并探讨其在确定测地线（Geodesics）方程时的作用，这些方程本质上是二阶非线性偏微分方程的解的寻找过程。 3. 纤维丛与上同调的代数拓扑基础： 对纤维丛（Fiber Bundles）的分析将侧重于其对全局拓扑信息的编码能力。德拉姆上同调（De Rham Cohomology）的理论将被系统地建立，其核心在于微分形式（Differential Forms）构成的链复形（Chain Complex）及其对应的微分算子 $d$。我们将证明 $ ext{Im}(d) = ext{Ker}(d^2)$ 这一关键关系，这直接对应于泛函分析中算子复合的零化性质，并最终引向霍奇分解（Hodge Decomposition）——一种强大的将函数空间分解为正交子空间的几何工具。 第三部分：几何分析的整合——不动点与极值问题 最后一部分，本书将致力于展示泛函分析和微分几何是如何在现代几何分析中实现统一的。我们将关注那些涉及几何约束的优化问题在无限维空间中的推广。 1. 变分法在曲面理论中的应用： 我们将深入探讨最小曲面理论（Minimal Surface Theory）的变分原理。曲面的面积泛函被视为一个定义在曲面空间（一个无穷维流形）上的泛函。寻找极小曲面等价于求解该泛函的欧拉-拉格朗日方程。本书将侧重于分析这些方程的正则性（Regularity），即解的平滑性如何受到流形背景结构的影响，这需要用到椭圆型偏微分方程的理论。 2. 黎曼度量的变分： 我们将考察爱因斯坦场方程的背景——爱因斯坦-希尔伯特作用量（Einstein-Hilbert Action）。该作用量是对黎曼度量张量（一个定义在流形上的、具有特定对称性和正定性的对象）的泛函。分析其变分（即对其进行求导）需要用到切空间上的张量微分运算，并最终引出张量形式的偏微分方程。这里的核心是理解度量张量空间本身结构（即黎曼度量空间）的几何性质。 3. 几何不等式与边界值问题： 最后，我们将探讨具有几何背景的经典不等式，例如 Sobolev 不等式在带边界流形上的推广，以及有关调和函数的性质。边界条件（Dirichlet, Neumann）将被解释为在函数空间上施加的线性（或非线性）约束，这些约束的适定性（Well-posedness）需要通过拉普拉斯-贝特密算子作为关键的微分生成元来进行泛函分析的验证。 本书力求提供一种不依赖于预先假设的、从基础结构出发的严谨论述，特别强调了无穷维空间在描述现代物理学和几何学现象时的内在一致性。它适合于那些希望超越经典微积分和基础线性代数，深入几何分析前沿的研究者。

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