Topics in Nonlinear Functional Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Louis Nirenberg

出品人:

页数:145

译者:

出版时间:2001

价格:483.35元

装帧:Paperback

isbn号码:9780821828199

丛书系列:Courant Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 非线性泛函分析
• 泛函分析
• 拓扑学
• 数学分析
• 算子理论
• 固定点定理
• 变分方法
• 优化
• 偏微分方程
• 应用数学

好的，这是一份为一本假设名为《Topics in Nonlinear Functional Analysis》的图书撰写的详细简介，内容严格遵循您的要求：不包含该书的实际内容，避免任何提及“AI”或类似概念的表述，并且力求自然流畅，字数控制在1500字左右。 --- 《泛函分析中的专题研究》图书简介 探索无限维空间中的结构与行为 《泛函分析中的专题研究》是一部深入探讨现代数学核心领域——非线性泛函分析的权威性著作。本书旨在为研究生、研究人员以及需要深入理解无限维空间复杂行为的数学家提供一个坚实而前沿的知识框架。它超越了经典线性泛函分析的范畴，聚焦于那些揭示物理、工程、概率论乃至经济学中诸多非线性现象本质的理论工具与方法。 本书的构建逻辑，是从对核心概念的精确界定开始，逐步推向复杂模型的分析与求解。我们认识到，在无限维空间中，线性方法的局限性迫使我们必须采用新的视角来处理算子的不动点、变分问题的极小值、以及微分方程解的存在性与唯一性。因此，本书的叙事主线紧密围绕这些关键挑战展开。 第一部分：基础与拓扑准备 在深入非线性领域之前，我们首先回顾并深化了必要的基础知识。这部分内容并非简单的复习，而是从一个现代应用的角度重新审视了巴拿赫空间、希尔伯特空间、以及更一般的拓扑向量空间的内在结构。我们着重强调了度量、拓扑结构与算子性质之间的内在联系，特别是紧性、弱收敛性，以及它们在逼近理论中的关键作用。 紧集的概念拓展： 紧致性是泛函分析中解决许多问题的基石，但在无限维空间中，它往往变得难以捕捉。本书详细考察了可微紧集（Dequantifiable Sets）和紧嵌入（Compact Embeddings）的概念，并展示了这些工具如何应用于分析Sobolev空间中的函数，为后续变分法中的能量最小化打下基础。 拓扑度理论的重述： 拓扑度理论是证明不动点定理的强大工具之一，但其经典形式往往依赖于有限维的直观。本卷将拓扑度的概念推广到更广阔的空间，讨论了Brouwer度和Lefschetz度的推广形式，并详细分析了它们在特定边界条件下的适用性与局限性。理解这些推广，是分析非线性边界值问题的关键一步。 第二部分：不动点理论的深化与应用 不动点理论是非线性泛函分析的灵魂所在，它直接关联着系统稳定性的判断和微分方程解的存在性。本书系统地介绍了从经典到现代的各类不动点定理，并着重探讨了它们的内在联系和适用边界。 经典定理的严格推导： 我们对Banach不动点定理（压缩映射原理）的适用范围进行了细致的考察，特别关注了在度量空间中，如何通过修改距离函数或引入适当的拓扑结构来放宽压缩性的要求。随后，对Schauder不动点定理的阐述，侧重于其背后的紧算子理论和拓扑方法论。 拓扑度在非线性算子中的应用： 本章是本书的亮点之一。我们展示了如何利用拓扑度理论来证明非线性算子方程 $Ax = Bx$ 的解的存在性，尤其是在 $A$ 是线性紧算子，$B$ 是连续或拟单调算子的情况下。讨论深入到Leray-Schauder度的构造，以及如何处理那些不具有明确拓扑度定义的算子，例如涉及到势函数（Potentials）的算子。 变分与强制性： 对于涉及能量泛函的系统，不动点定理往往需要与极小化原理相结合。本书详细分析了强制性（ আরোপ性，Coercivity）的概念，解释了为何一个泛函的强制性能够保证其最小值的存在，并将其与算子方程的解的存在性联系起来。 第三部分：变分方法与极值问题 非线性偏微分方程（PDEs）的求解往往归结为变分原理。本部分将理论工具应用于实际的极值问题。 Sobolev空间与嵌入定理： 对Sobolev空间的性质，特别是各种Sobolev嵌入定理的讨论，是理解PDE解的正则性的基础。我们详细分析了不同维数和不同指数下的嵌入关系，以及如何利用这些关系来控制能量泛函的增长性。 直接法与关键点理论： 解决变分问题时，直接法（Direct Method of Calculus of Variations）是最基础且强有力的方法。本书展示了如何运用弱收敛性、半连续性以及下半连续性（LSC property）来构造函数序列并证明极值的存在。 更进一步，本书深入探讨了关键点理论（Critical Point Theory）。当泛函不满足强制性，或极小值被证明不存在时，我们转向寻找非平凡的驻点。这部分详述了山路引理（Mountain Pass Lemma）的构造思想，以及钳位原理（Wired-ball principle）在寻找高阶鞍点（Saddle Points）中的应用，这些都是分析非线性边界值问题中多解情况的关键。 第四部分：单调性与拟单调性算子 在许多物理模型中，算子展现出某种形式的单调性，这使得分析方法可以从拓扑转向更偏向于代数和凸分析的工具。 拟单调算子理论： 拟单调性是针对非线性算子在广义意义下定义的单调性。本书详细阐述了Minty型结果，即在有限维空间中，连续拟单调算子是强迫的。我们将此概念推广到无限维空间，并讨论了Browder定理，该定理通过拟单调性保证了算子方程的解的存在性，是解决强非线性问题的核心理论。 最大/最小原理与比较定理： 对于具有某种单调性的非线性椭圆型方程，比较定理是获取解的额外信息（如唯一性或先验估计）的有效手段。我们讨论了弱上/下解的概念，并展示了如何利用上/下解的存在来构造解的区间，从而确立解的存在性和唯一性。 结论： 《泛函分析中的专题研究》不仅是一本教科书，更是一本面向研究的工具书。它系统地梳理了非线性泛函分析中从拓扑不动点到变分极值，再到单调算子理论的完整图景，为读者提供了解决复杂无限维问题的理论基石和实践指南。本书的深度和广度，使其成为该领域研究者案头不可或缺的参考资料。

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