Elliptic Partial Differential Operators and Symplectic Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Everitt, W. N./ Markus, L.

出品人:

页数:111

译者:

出版时间:

价格:936.95元

装帧:Pap

isbn号码:9780821832356

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 椭圆型算子
• 辛代数
• 数学分析
• 偏微分方程数值解
• 函数空间
• 泛函分析
• 谱理论
• 调和分析
• 微分几何

好的，这里有一份为您创作的图书简介，主题聚焦于拓扑学和几何分析的交叉领域，完全避开了您提到的“Elliptic Partial Differential Operators and Symplectic Algebra”的内容，并力求语言自然流畅，信息详实。 --- 图书名称：《黎曼流形上的几何分析与非线性演化方程》 作者： [此处可填写真实的作者姓名或虚构的专家名称] 出版社： [此处可填写真实的出版社或虚构的专业学术出版社] 图书简介 本书深入探讨了微分几何与偏微分方程两大数学分支的精妙交汇，重点聚焦于黎曼流形上的几何分析方法，以及由此衍生出的非线性演化方程的定性研究。全书结构严谨，内容涵盖了从基础概念的铺陈到前沿研究课题的深入剖析，旨在为研究生、博士后研究人员以及对几何分析有浓厚兴趣的数学家提供一本既具理论深度又富于应用潜力的参考专著。 第一部分：黎曼流形基础与几何测度 本书伊始，我们首先系统回顾了黎曼流形的基本结构，包括切空间、黎曼度量、联络形式以及曲率的定义。不同于侧重于代数拓扑的传统几何书籍，本书的重点在于如何利用分析工具来理解这些几何对象。我们详细阐述了拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）在黎曼流形上的构造及其谱理论。谱分析是连接几何结构与分析性质的关键桥梁，书中细致讨论了谱隙（Spectral Gap）、特征值与流形拓扑、几何的关联，例如鼓谱问题（Is the shape of a drum determined by the sound it makes?）的现代解析处理。 此外，我们引入了测地线方程的变分原理，并探讨了霍奇理论（Hodge Theory）在黎曼流形上的应用，特别是德拉姆上同调（de Rham Cohomology）与L2上同调的联系。这些基础工具为后续研究非线性方程的几何背景奠定了坚实的基础。我们特别关注了向量场在流形上的演化，如李导数（Lie Derivative）在度量张量上的作用，以及如何通过这些工具来定义流形上的梯度流。 第二部分：几何演化方程的构造与解的正则性 本部分是全书的核心，我们转向研究在黎曼流形背景下自然产生的非线性偏微分方程。我们重点分析了一类重要的几何演化方程，例如： 1. 平均曲率流（Mean Curvature Flow, MCF）： 针对嵌入在黎曼流形中的曲面，我们详细分析了其演化方程的推导，特别是当流体演化曲面边界存在时，如何处理奇点形成的问题。我们讨论了尺度不变性、能量泛函的构造，以及通过能量最小化路径来理解奇异集的几何特性，例如楔形（wedges）和尖点（singularities）的局部行为。 2. 黎曼曲率流（Ricci Flow）： 鉴于其在解决庞加莱猜想等重大问题中的核心作用，本书对黎曼曲率流给予了详尽的阐述。我们从几何分析的角度出发，利用李雅普诺夫-施密特（Liapunov-Schmidt）方法研究了曲率流方程的局部存在性与光滑性。关键部分在于讨论了“手术（Surgery）”技术，即如何处理曲率奇点，例如Neck-pinch和Double-trace奇点的分类。我们深入分析了基尔纳（Kirnerr）和蒂姆（Thm）的结果，展示了如何利用热核估计（Heat Kernel Estimates）来控制解的全局行为。 3. 薛定谔方程的几何推广： 我们还将讨论受黎曼度量影响的非线性薛定谔方程（NLS）的解的散射理论。在非平坦空间中，能量守恒与质量守恒的结构发生了深刻变化，我们利用空间-时间积分估计（Space-Time Integral Estimates）和局部能量法（Local Energy Method）来分析解的渐进行为。 第三部分：渐近分析与全局性质 在解决了局部适定性问题后，本书的第三部分转向分析这些几何演化方程解的全局行为和渐近性质。这部分涉及大量的非线性分析技巧： 爆破分析（Blow-up Analysis）： 对于能量或质量不守恒的方程，我们利用规范化技巧（Normalization Techniques）来研究解的有限时间爆破。书中系统分类了不同类型爆破的几何意义，例如，在某些曲率演化中，爆破点的几何结构通常收敛于特定的临界点几何（如球体或圆柱体）。 弱解与熵解： 对于涉及非凸能量泛函或非连续梯度流（如某些图像去噪中的非线性扩散）的方程，经典解理论往往失效。我们引入了熵解（Entropy Solutions）和变分解（Variational Solutions）的概念，并利用相对熵（Relative Entropy）方法来证明解的唯一性与稳定性。 模空间与稳定性： 最后，我们探讨了解的模空间（Moduli Space）结构。对于等距映射（Isometry Mappings）下的演化系统，我们利用切空间的紧致性定理（Compactness Theorems for Tangent Spaces）来研究模空间的拓扑性质，特别是孤立子（Solitons）和周期解（Periodic Solutions）的存在性，这些解通常代表着几何演化过程中的平衡状态。 总结 《黎曼流形上的几何分析与非线性演化方程》不仅是一本关于偏微分方程的教科书，更是一部关于如何利用现代微分几何工具来解决复杂分析问题的指南。它强调几何直觉与严格分析论证的结合，为读者提供了理解现代数学物理前沿课题所需的全方位知识体系。本书的深入探讨和详尽推导，将极大地拓宽读者在几何分析领域的研究视野。

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