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出版者:McGraw-Hill Education

作者:Kenneth H Rosen

出品人:

頁數:1008

译者:

出版時間:2006-8-1

價格:GBP 174.99

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9780073229720

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• CS
• 離散數學
• 數學基礎
• 集閤論
• 圖論
• 邏輯
• 組閤數學
• 數論
• 算法
• 計算機科學
• 數學應用

圖書簡介：從宇宙圖景到微觀結構：一窺現代科學的基石 本書旨在帶領讀者深入探索那些驅動著我們理解世界運作方式、構建現代技術的底層邏輯和思維框架。我們聚焦於那些雖不直接屬於離散數學範疇，卻與其精神內核緊密相連，共同構築瞭當代科學與工程知識體係的宏大敘事。 第一部分：信息的本質與編碼的藝術 本部分著眼於信息這一現代文明的血液，探討其在物理世界中的錶達形式、存儲機製以及高效傳輸的理論極限。 1. 概率論與隨機過程的物理學視角： 我們將從統計物理學的角度齣發，審視信息熵的真正含義——它不僅是知識的度量，更是係統無序性的體現。探討在存在熱力學噪聲和信息失真的信道中，如何設計齣魯棒的編碼方案。重點分析布朗運動、馬爾可夫鏈在金融建模和生物信息學中的應用，理解這些看似隨機的過程如何被數學工具精確捕捉和預測。這裏，我們不拘泥於純粹的代數結構，而是關注這些隨機模型如何與現實世界的物理測量（如信號強度、粒子擴散）相結閤。 2. 量子信息與計算的哲學基礎： 我們深入研究量子力學的基本公設如何催生齣全新的信息處理範式。探討疊加態、糾纏態的概念，並將其與經典信息論中的信道容量進行對比。我們將討論量子比特（Qubit）的概念，它如何突破傳統比特的二元限製，並分析 Shor 算法和 Grover 算法在理論上對現有加密體係的顛覆性影響。此章節的重點在於理解量子信息的非定域性（Non-locality）如何挑戰我們對“信息傳輸”的傳統認知。 3. 壓縮算法與信息源編碼： 深入研究香農的信源編碼定理的實際應用。不再局限於霍夫曼編碼的樹形結構，我們將聚焦於 Lempel-Ziv 傢族算法（如 LZ77, LZW）如何在不預設概率模型的情況下，實現對任意數據流的自適應壓縮。分析這些算法在流媒體傳輸和數據庫管理中的性能錶現，側重於其在有限內存和實時處理環境下的工程優化。 --- 第二部分：連續世界的拓撲與幾何：理解形態與變化 與離散世界不同，本部分探索那些依賴於極限、積分和連續形變來描述的數學領域，這些領域構成瞭物理學和工程學中處理運動、流體和場的基礎。 4. 微分幾何與廣義相對論： 本章將帶領讀者跨越歐幾裏得空間，進入黎曼幾何的殿堂。我們將探討流形、張量和麯率的概念，理解這些工具如何被愛因斯坦用來描述時空的幾何結構。重點分析測地綫方程（Geodesic Equation）——它本質上描述瞭物體在彎麯時空中如何“走最短的路徑”，這與離散圖論中的最短路徑問題形成瞭有趣的對偶。我們討論如何使用張量分析來描述電磁場和引力場的耦閤。 5. 傅裏葉分析與信號處理的頻譜域： 探索如何將復雜的時域信號分解為無窮個正弦波的疊加。這不僅是數學工具，更是理解自然界中振動、波傳播和係統響應的基石。我們將詳述傅裏葉變換（FT）、快速傅裏葉變換（FFT）的算法實現，並討論它們在圖像處理（如銳化、去噪）和音頻分析中的核心作用。理解濾波器設計——如何利用頻域的特性來精確地篩選或增強特定頻率範圍的信號。 6. 變分法與最優控製理論： 本部分關注的是“優化”——如何找到滿足特定約束條件的“最佳”函數或路徑。我們將從歐拉-拉格朗日方程齣發，探討最小作用量原理在經典力學中的體現。隨後，我們將過渡到現代的最優控製理論，如龐特裏亞金極大值原理，研究如何在包含控製變量的係統動力學中，找到使成本函數最小化的控製策略，這在航天器軌道設計和機器人路徑規劃中至關重要。 --- 第三部分：計算的邊界與復雜性的哲學 本部分聚焦於“什麼可以被計算”以及“計算的效率極限”，從更宏觀的計算理論角度審視計算本身的本質。 7. 可計算性理論與圖靈機的超越性： 盡管圖靈機是離散結構，但本章從更基礎的哲學層麵探討“算法”的定義。我們將詳細考察停機問題（Halting Problem）的不可解性，理解為什麼有些問題，無論計算能力多強，都無法通過一個確定的過程來解決。這不僅是理論上的結論，也直接影響瞭軟件驗證和人工智能的局限性。 8. 計算復雜性理論的等級劃分： 超越“可解”與“不可解”的界限，我們進入“高效可解”的領域。深入分析P類問題（多項式時間可解）與NP類問題（非確定性多項式時間可驗證）之間的關係，特彆是著名的 P vs NP 問題的未解狀態。重點討論NP完全性（NP-Completeness）的概念，並探討在實際工程中，當問題被證明為NP難時，我們應采取哪些啓發式或近似算法策略來應對。這部分強調瞭理論分類對實際資源分配決策的指導意義。 9. 形式語言與編譯器的構造原理： 本章迴顧喬姆斯基層級結構，它不僅是語言學的分類，更是軟件構造的藍圖。我們將剖析上下文無關文法（CFG）如何定義編程語言的語法結構，並討論如何運用這些文法規則來構建詞法分析器（Lexer）和語法分析器（Parser）。分析 LL, LR 等分析技術，理解編譯器如何將人類可讀的代碼轉換成機器可執行的指令序列，這是所有現代軟件工程的起點。 --- 本書的目標讀者是那些已經掌握瞭基礎離散數學結構，並渴望將這些抽象概念應用到更廣闊的、包含連續性、隨機性、物理實在和計算極限的科學前沿領域的研究人員、工程師和高階學生。通過搭建起離散與連續、理論與應用之間的橋梁，讀者將能以更全麵的視角洞察現代科學的內在統一性。

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