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出版者:McGraw-Hill College

作者:Coburn, John W.

出品人:

页数:845

译者:

出版时间:

价格:159.4

装帧:HRD

isbn号码:9780073229829

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Algebra
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
• Polynomials
• Graphing

好的，这是一份关于一本名为《高等微积分：理论与应用》的图书简介，内容详尽，不涉及《College Algebra》中的任何知识点。 --- 高等微积分：理论与应用 图书概述 《高等微积分：理论与应用》是一部专为数学、物理学、工程学、计算机科学以及经济学等领域的高年级本科生和初级研究生设计的综合性教材。本书旨在为读者提供一个深入、严谨且富有洞察力的微积分体系，超越传统单变量微积分的范畴，系统地探索多变量微积分、向量分析、级数理论以及微分方程的严谨基础。 本书的结构设计兼顾了理论的严谨性与实际应用的需求。我们不仅致力于阐明微积分背后的深刻数学原理，更注重展示这些工具在解决复杂科学问题时的强大能力。全书以清晰、逻辑严密的论证体系为骨架，辅以大量精心挑选的例题和富有挑战性的习题，确保读者在掌握核心概念的同时，也能够培养出强大的问题解决能力和数学直觉。 核心内容板块 本书内容涵盖了现代高等微积分学的四大核心支柱：多变量函数、向量分析、级数与收敛性，以及基础常微分方程。 第一部分：多变量函数的微积分 (Multivariable Calculus) 本部分将读者从二维平面带入三维空间乃至更高维度的欧几里得空间 $(mathbb{R}^n)$，是理解物理场和空间几何变化的基础。 1. 空间几何与向量代数回顾： 对 $mathbb{R}^n$ 空间的基本概念进行回顾与深化，包括向量、点积、叉积、仿射空间，以及线性变换在线性代数与几何之间的桥梁作用。 2. 偏导数与梯度： 引入偏导数的概念，并详细探讨其在确定函数在特定方向上的变化率中的作用。重点讲解梯度向量场，阐释梯度是如何指向函数增长最快的方向。引入方向导数，并严格证明其与梯度之间的关系。 3. 多重积分： 扩展定积分的概念至二维和三维区域。深入研究直角坐标系下的二重、三重积分，并详尽介绍在处理复杂区域时，使用极坐标、柱坐标和球坐标进行坐标变换的技巧与理论依据。本章强调雅可比行列式（Jacobian）在坐标变换中体积元素变换的严格推导。 4. 链式法则与隐函数定理： 探讨多变量函数复合求导的链式法则，并对其进行严格证明。这是理解复杂物理系统变化率的关键。随后，对隐函数定理和反函数定理进行阐述，这不仅是理论数学中的重要工具，也是确定参数方程组解集性质的基石。 5. 极值问题与拉格朗日乘数法： 讨论无约束和有约束条件下的极值点寻找。重点讲解拉格朗日乘数法（Lagrange Multipliers），并提供其几何解释——即在约束曲面上，梯度向量与约束函数的梯度平行。 第二部分：向量分析与场论 (Vector Analysis and Field Theory) 本部分是连接微积分与经典物理学（如电磁学、流体力学）的桥梁，专注于描述空间中场的性质和变化。 1. 曲线积分与面积分： 引入沿曲线的线积分（Line Integrals）以及曲面上的面积分（Surface Integrals）。重点分析它们在线对力或电荷分布进行功计算时的物理意义。 2. 向量场与基本定理： 深入分析保守场（Conservative Fields）的性质，以及如何通过势函数（Potential Functions）来简化线积分的计算。引入旋度（Curl）和散度（Divergence）的概念，并给出它们在流体流动和电磁学中的清晰物理解释。 3. 格林定理、斯托克斯定理与高斯散度定理： 这是向量分析的精髓所在。我们将严格证明格林定理（Green’s Theorem，连接二维区域上的双积分与边界上的线积分），斯托克斯定理（Stokes’ Theorem，连接曲面上的面积分与边界曲线的线积分），以及最核心的高斯散度定理（Gauss’s Divergence Theorem，连接三维区域上的体积分与封闭边界上的面积分）。这些定理是理解保守性、环流量和通量的关键。 第三部分：级数、收敛性与泰勒展开 (Series, Convergence, and Taylor Expansions) 本部分着重于用无限项的和来逼近复杂函数和求解方程，是进行数学建模和近似分析的必备工具。 1. 数列与级数的严格定义： 建立序列收敛和级数收敛的严格定义，引入极限、上确界和下确界等拓扑概念来夯实基础。 2. 收敛性检验方法： 系统介绍比值检验（Ratio Test）、根值检验（Root Test）、积分检验（Integral Test）以及比较检验等一系列强大的收敛性判断工具。 3. 幂级数与泰勒/麦克劳林级数： 讲解幂级数的收敛半径和收敛区间。重点阐述如何利用泰勒定理（Taylor's Theorem），特别是拉格朗日余项和佩亚诺余项的形式，来精确估计函数泰勒展开式的近似误差。 4. 函数的级数表示： 探讨三角函数、指数函数和对数函数等基本函数的级数展开，并简要介绍傅里叶级数（Fourier Series）作为周期函数展开工具的初步概念。 第四部分：常微分方程导论 (Introduction to Ordinary Differential Equations) 本部分将微积分知识应用于描述动态系统的变化，是工程和科学领域应用最广泛的数学分支之一。 1. 一阶 ODE 的求解技巧： 详细介绍可分离变量法、一阶线性 ODE 的积分因子法，以及恰当微分方程（Exact Equations）的判别与求解。 2. 二阶线性常系数 ODE： 重点解析具有常系数的二阶齐次与非齐次线性微分方程的通解结构。深入探讨特征方程及其根的性质（实根、复根、重根）对解的形式的影响。 3. 常系数非齐次方程的解法： 系统介绍待定系数法（Method of Undetermined Coefficients）和参数变易法（Variation of Parameters），使读者能够求解更广泛的实际问题。 4. 拉普拉斯变换基础： 引入拉普拉斯变换作为一种强大的代数工具，用于求解具有初始条件的常微分方程，尤其是在处理间断输入函数（如单位阶跃函数）时展现出巨大优势。 本书的特色与优势 严谨的分析基础： 区别于侧重计算的入门教材，本书在引入每个概念时都提供了严格的数学证明，确保读者对理论的理解深入且无懈可击。 丰富的应用案例： 书中穿插了大量来自物理学（如牛顿定律、电磁场）、工程学（如电路分析、热传导）和经济学（如最优化模型）的真实世界案例，展示了高等微积分在实际问题中的强大建模能力。 清晰的几何直觉： 即使在处理高维问题时，本书也始终强调几何图像和直觉的培养，帮助读者可视化抽象的数学概念，例如通过可视化梯度场和向量场的流线来理解旋度和散度。 面向研究的准备： 本书的深度和广度，为读者后续学习复变函数论、拓扑学、泛函分析以及更高级的偏微分方程打下了坚实的分析基础。 《高等微积分：理论与应用》不仅仅是一本计算手册，更是一部引导读者进入现代数学分析世界的阶梯。它要求读者付出专注和努力，但最终的回报是对自然界和工程现象的深刻理解。

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