Rigidity and Quasi-Rigidity of External Cycles in Hermitian Sytems pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Princeton Univ Pr

作者:Bryant, Robert L.

出品人:

页数:144

译者:

出版时间:2010-2

价格:$ 55.94

装帧:HRD

isbn号码:9780691096292

丛书系列:

图书标签:

Hermitian systems
Rigidity
Quasi-rigidity
External cycles
Complex geometry
Kähler geometry
Algebraic geometry
Differential geometry
Topology
Mathematical analysis

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具体描述

This book investigates the geometry of complex subvarieties of compact Hermitian symmetric spaces, particularly the complex Grassmannians, which are central to Schubert calculus and its applications to enumerative algebraic geometry. To do so, Robert Bryant employs a combination of Hermitian differential geometry, calibrations, and classical moving frame constructions. The main result is that, for Hermitian symmetric spaces M of rank greater than 1, there are homology classes c (called extremal) such that the complex varieties V in M that represent c display rigidity in unexpected ways. There are other cycles that display a weaker form of this sort of rigidity, but whose moduli space of representing cycles can still be described in terms of the geometry of subvarieties of related complex projective spaces. These results have applications to other problems in algebraic geometry. For example, for a holomorphic bundle E over a compact complex manifold M that is generated by its sections, the Schur polynomials in its Chern classes are known to be non-negative. The above results allow one to give a complete description of such bundles in several cases where one of these Schur polynomials actually vanishes. The book, which will interest researchers and graduate students in complex algebraic geometry or differential geometry, contains a thorough exposition of the geometry of Hermitian symmetric spaces and their Schubert cycles and characteristic classes as well as other preparatory material needed to obtain the results.

深入探索非欧几里得几何与拓扑的交汇：一种基于黎曼流形与纤维丛的全新视角本书旨在提供一个全面的框架，用于理解和分析那些在经典拓扑学与微分几何的边界上，受到非欧几里得曲率强烈影响的几何结构。我们将聚焦于那些无法被欧几里得空间完美描述的内在刚性与准刚性现象，尤其关注如何利用现代微分几何工具，特别是黎曼流形的内在几何特性和纤维丛的全局结构，来揭示这些系统的深层性质。本书内容将严格围绕以下几个核心主题展开，力求详尽而不遗漏： --- 第一部分：黎曼几何基础与曲率的内在作用本部分首先回顾并深化了黎曼几何的基石，将其置于研究“刚性”问题的语境之下。我们不会仅仅停留在教科书层面的定义，而是侧重于那些与全局形貌和局部约束紧密相关的概念。 1.1 黎曼度量、测地线与曲率张量：从局部到全局的桥梁我们将详细考察黎曼度量如何赋予流形长度和角度的概念，并重点分析里奇曲率（Ricci Curvature）和魏因加滕张量（Weingarten Tensor）在度量空间中对局部形变施加的约束。第二基本形式与外在几何的内化：讨论嵌入空间的第二基本形式，并将其与流形自身的里奇张量联系起来。我们关注的是，当一个流形被嵌入到更高维空间时，外在的刚性要求如何转化为内在的曲率约束。霍奇理论与调和微分形式：介绍De Rham上同调在区分拓扑“洞”方面的作用。特别地，我们将展示在具有恒定截面曲率的流形上，上同调群的维数如何直接与流形的拓扑不变量（如贝蒂数）相关联，这为理解全局结构提供了代数工具。 1.2 测地线流与动力学系统：刚性的时间演化我们转向研究测地线（黎曼流形上的“直线”）的动力学行为。刚性问题往往表现为对系统演化路径的限制。庞加莱截面与混沌行为：考察测地线流在具有负曲率的流形上的行为。我们将使用庞加莱截面技术来分析路径的遍历性，并讨论如何通过曲率的负定性来确保路径发散的指数速度，即李雅普诺夫指数。这些指数的特定值或零值，直接构成了对几何形态的某种“刚性”陈述。共轭点与局部不适定性：深入分析共轭点的出现，这标志着两个不同的测地线段可以在某一点汇合。我们将探讨在高维、非零截面曲率空间中，共轭点的密度如何反映流形的拓扑复杂度和几何约束。 --- 第二部分：纤维丛理论与几何结构的横截面本部分将视角从基础黎曼流形扩展到更复杂的几何对象——纤维丛。纤维丛提供了一种描述如何在不同点上“附加”相同代数结构（如切空间、向量空间）的方法，这对于研究具有内部自由度的系统至关重要。 2.1 主纤维丛与联络的几何意义我们将重点关注主丛结构，特别是与结构群相关的几何操作。爱因斯坦-卡坦理论的几何基础：讨论如何将扭率（Torsion）和曲率引入到联络形式中。扭率的几何意义在于对坐标系变换的“非对易性”的量化，而曲率则描述了平行移动的路径依赖性。霍洛诺米群（Holonomy Group）：这是理解局部刚性的关键。我们详细分析不同类型的流形（如卡拉比-丘流形、辛流形）上霍洛诺米群的结构（如$SU(n), Sp(n)$）。群的结构直接决定了在沿着闭合回路移动向量时，该向量的旋转或变换模式，从而定义了该空间内部的“约束不变性”。 2.2 向量丛与横截面的存在性向量丛提供了一种研究场论中“场”分布的数学模型。本节关注的是，在给定的曲率背景下，是否存在具有特定性质的截面。指标定理与拓扑/几何的关联：我们将探讨阿蒂亚-辛格指标定理的微分几何推论。该定理建立了椭圆算子的指标（拓扑不变量）与流形上联络的曲率形式（几何不变量）之间的精确关系。这表明，在某些情况下，拓扑要求（指标）会强迫几何结构必须满足某些特定的“准刚性”条件（例如，特定数量的零能模式的存在）。规范理论中的几何约束：讨论向量丛上的规范联络。在规范不变性要求下，几何对象（如电磁势）必须以特定的方式变换。这些变换规则，在曲率为零或常数的情况下，转化为经典的刚性方程；而在一般黎曼流形上，它们形成了复杂的非线性偏微分方程组，其解的存在性和唯一性构成了“准刚性”的体现。 --- 第三部分：准刚性分析：形变空间与模空间本部分将讨论当一个几何结构“几乎”是刚性时会发生什么。刚性意味着形变空间中只有一个点；准刚性则意味着形变空间是一条曲线、一个流形，或者一个具有特定拓扑结构的集合。 3.1 德霍姆同调与形变的生成元我们将利用模空间理论来系统地研究几何对象的形变。基林-伊森伯格理论（Killing-Isenberg Theory）：介绍如何使用特定的微分方程（如模空间方程）来参数化一个几何结构族。形变的无穷小生成元来自于满足某些零条件的扰动场，这些场通常与流形的德霍姆上同调群密切相关。 K-理论在形变稳定性中的应用：考察K-理论如何分类向量丛的拉回（pullbacks）和延拓（extensions）。在某些复流形上，K-理论群的元素直接对应于可以稳定（即，保持某些关键拓扑或度量性质）的形变的阶数。 3.2 稳定的极小曲面与黎曼平均曲率流作为准刚性的一个重要实例，我们将分析极小曲面的性质。极小曲面的第一变分与德霍姆上同调：极小曲面的刚性被其面积泛函的一阶变分所决定。当形变方向（即法向量场）属于特定上同调群（如具有特定边界条件的$H^1$空间）时，面积保持不变，这构成了“准刚性”的几何体现。平均曲率流（Mean Curvature Flow）：这是一个描述曲面演化的非线性偏微分方程。我们讨论在黎曼流形背景下，该流的奇点形成和内在收缩速度如何依赖于流形本身的曲率和边界条件，从而揭示了几何约束如何“推迟”或“引导”结构的崩溃。 --- 本书对几何结构的研究，侧重于在非平凡曲率背景下，如何利用纤维丛的全局结构和黎曼几何的内在工具，来精确量化和区分那些看似相似但本质上具有不同约束强度的几何系统。我们将提供的解析方法，旨在超越传统的欧几里得空间分析，深入到更具挑战性的非线性几何领域。