Polytopes - Combinatorics and Computation (Oberwolfach Seminars) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Birkhäuser Basel

作者:G·M·Ziegler

出品人:

页数:230

译者:

出版时间:2000-09-06

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783764363512

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Polytopes
• Combinatorics
• Computational Geometry
• Discrete Geometry
• Polyhedral Combinatorics
• Optimization
• Algorithms
• Seminars
• Oberwolfach
• Mathematics

好的，这是一份关于《Polytopes - Combinatorics and Computation (Oberwolfach Seminars)》这本书的详细简介，旨在突出该领域的重要性和深度，同时严格避免提及您指定的书籍内容，专注于该主题的广阔背景和核心概念。 --- 凸多面体：几何、组合与计算的交汇点 凸多面体，作为高维空间中的基本几何对象，构成了连接纯粹几何、离散组合学和现代计算科学的桥梁。它们不仅是理解和分类空间结构的关键工具，也是许多优化问题、理论物理模型以及计算机图形学应用的基础。本书的写作旨在深入探讨凸多面体理论的丰富内涵，聚焦于其组合结构、代数特性以及在算法设计中的应用潜力，为读者构建一个坚实而全面的知识框架。 第一部分：凸多面体的基础构建块 凸多面体的研究始于对其基本结构的精确描述。这部分内容将从最基础的定义出发，逐步引入理解复杂多面体所需的语言。 我们首先探讨凸集的性质，这是所有凸多面体存在的先决条件。接着，我们深入到凸多面体的定义——它们如何由有限个点的凸组合生成，或者如何由一组线性不等式的交集定义。理解这两种对偶的观点至关重要：顶点描述（Vertex Representation）与面描述（Facet/H-Representation）。 核心概念包括顶点（Vertices）、边（Edges）、面（Faces）的精确划分。对于任何维度 $d$ 的凸多面体 $P$，其 $k$ 维子空间（$k$-faces）的结构构成了其骨架。我们需要系统地研究这些子结构的相互关系，例如，两个面如何相交形成一个边，或者一个顶点如何被多个超平面所界定。 组合结构与骨架的探索： 凸多面体的组合结构，即其骨架图（Skeletal Graph），是研究的核心焦点之一。我们探讨了面列举（Face Enumeration）问题，即如何有效地计算一个给定凸多面体（无论是顶点描述还是面描述）的所有顶点、边和面。这不仅仅是一个计数问题，更是理解多面体复杂性的关键。 对于一个 $d$ 维多面体 $P$，我们关注其欧拉关系式（Euler-Poincaré Formula）的推广。组合学中的重要概念，如面向量（Face Vector） $f = (f_0, f_1, dots, f_{d-1})$，其中 $f_k$ 是 $k$ 维面的数量，成为描述多面体拓扑不变性的核心工具。对这些向量的约束，如上界定理（Upper Bounds Conjecture）及其相关结果，揭示了特定组合结构（如简单多面体或纯凸多面体）的内在限制。 第二部分：拓扑、代数与对偶性原理 凸多面体理论的深度体现在其与拓扑学和代数结构之间的深刻联系。本部分将侧重于那些将几何对象提升到更抽象层面的原理。 对偶性原理（Duality Principle）： 凸多面体理论的基石之一是概念上的对偶性。通过将顶点对应于超平面，将面对应于点，我们可以建立一个多面体与其对偶多面体之间的精确映射。理解这一映射如何保留或反转重要的组合属性（如维度、连通性）对于简化问题至关重要。例如，一个具有 $V$ 个顶点的 $d$ 维多面体，其对偶多面体具有 $V$ 个面。 施莱格尔图（Schlegel Diagrams）： 这是一个重要的可视化工具。通过将 $d$ 维多面体投影到一个 $(d-1)$ 维的超平面上，我们可以得到一个平面图，它保持了多面体内部的邻接关系。这种投影在研究高维多面体的组合计数和算法设计中具有实际操作价值。 布里格斯-施密特定理（Bregman-Schmit Theorem）与晶格（Lattice Structures）： 当凸多面体具有整数顶点坐标时，它们便嵌入了整数晶格中。这引入了晶格多面体（Lattice Polytopes）的概念，这在整数规划和代数几何中有广泛应用。我们探讨了与晶格多面体体积、面积和 Ehrhart 多项式相关的理论，后者描述了多面体内包含的整数点数量。 第三部分：计算几何与算法复杂性 凸多面体的理论知识只有通过高效的算法才能充分发挥其威力。本部分聚焦于计算层面，探讨如何处理大型和高维多面体。 凸包问题（Convex Hull Problem）： 这一核心计算问题要求给定一组点集，确定其凸包。虽然在低维度（如二维、三维）有成熟的算法（如 Graham 扫描、Quickhull），但在高维情况下，计算的复杂性急剧增加。我们需要分析不同算法的渐近复杂度，特别是它们对维度 $d$ 的依赖性。 顶点/面枚举算法： 如前所述，计算 $f$-向量是基础任务。我们深入研究用于执行此操作的经典算法，如 Lexicographic Breadth-First Search (LexBFS) 的扩展，以及基于“推进”或“切面生成”的迭代方法。这些算法的效率往往受到多面体复杂度的限制，特别是柯尼希定理（Königsberg Theorem）在特定类型多面体上的应用。 线性规划与柯姆尼克定理（Klee’s Theorem）： 凸多面体是线性规划问题的几何载体。最优解总是位于多面体的顶点上。我们探讨了求解线性规划问题的单纯形法（Simplex Method）的几何解释，以及围绕其最坏情况性能的理论争论。柯姆尼克定理（Klee's Theorem on the number of vertices visited by the Simplex method）揭示了路径长度的组合限制。 高维挑战： 在维度 $d$ 显著增加时，许多组合和计算问题会面临维度灾难（Curse of Dimensionality）。本部分将讨论高维凸多面体的稀疏性假设，以及如何利用随机化或近似算法来应对难以精确计算的场景。例如，如何有效地分离高维凸集（Separating Hyperplane Theorem 的计算版本）。 通过以上三个维度的深入剖析，读者将能够掌握凸多面体在理论深度和实际应用广度上的双重魅力。本书强调的不仅仅是公式的推导，更是对这些数学结构内在逻辑和计算潜力的深刻理解。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆