Beyond Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Beyer, Horst Reinhard

出品人:

页数:302

译者:

出版时间:

价格:$ 79.04

装帧:Pap

isbn号码:9783540711285

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 数学分析
• 数值分析
• 应用数学
• 高等数学
• 科学计算
• 工程数学
• 数学物理
• PDE
• 数值方法

经典数学物理：线性代数、概率论与实分析导论 作者：[作者姓名] 出版信息：[出版年份] ISBN：[ISBN号] --- 图书概述 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的数学基础，重点聚焦于线性代数、概率论以及实分析三大核心领域。本书内容面向高等教育阶段的学生，特别是物理学、工程学、计算机科学和纯数学专业的本科生及初级研究生。我们摒弃了对深奥或高度专业化主题的探讨，转而致力于清晰、严谨地构建这些基础理论的逻辑框架，并通过大量的实例和应用来巩固读者的理解。 本书的结构经过精心设计，确保知识点的递进自然流畅，强调理论之间的相互联系，而非孤立地介绍各个分支。我们相信，只有透彻理解这些基础工具，才能有效应对后续更高级的数学物理挑战。 --- 第一部分：线性代数——结构的骨架 线性代数是现代科学的基石之一。本部分将线性代数从纯粹的代数运算提升到几何和抽象结构理解的层面。 第1章：向量空间与子空间 本章从最基础的定义出发，系统介绍向量空间的概念，包括域的性质、线性组合、张成（Span）以及线性相关性。我们深入探讨线性无关性在定义基（Basis）中的核心作用，并引入维数（Dimension）这一至关重要的概念，用以量化空间的“大小”。子空间、零空间（Null Space）和列空间（Column Space）的构造与性质被详细分析，为后续理解线性映射打下基础。 第2章：线性映射与矩阵表示 线性映射是连接不同向量空间的桥梁。本章详细阐述了线性映射的核（Kernel，即零空间）和像（Image，即值域）的性质，以及它们与映射的满射性、单射性的关系。重点在于，我们展示了如何通过选择合适的基，将抽象的线性映射转化为矩阵这一具体可操作的形式。矩阵的乘法、逆矩阵的求法及其在坐标变换中的作用被详尽讨论。 第3章：行列式与特征值问题 行列式是衡量方阵“可逆性”和“体积/定向”变化的工具。本章系统介绍行列式的代数定义、计算方法（包括拉普拉斯展开和行简化），并探讨其在克莱姆法则中的应用。 随后，本章引入特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的概念，这是理解线性系统动态行为的关键。我们详细讨论了如何求解特征方程，以及特征空间的概念。对于方阵，我们探讨了对角化（Diagonalization）的条件和意义，这对微分方程的求解至关重要。 第4章：内积空间与正交性 本部分扩展到具有几何结构的向量空间——内积空间。定义了内积、范数（Norm）和角度。正交性的概念被引入并深化，展示了如何构建正交基和标准正交基。施密特（Gram-Schmidt）正交化过程被作为核心算法详细讲解。最后，我们探讨了对称矩阵的正交对角化，这是傅里叶分析和量子力学基础的先导。 --- 第二部分：概率论——不确定性的量化 概率论是处理随机性和不确定性的数学语言。本部分侧重于离散和连续随机变量的精确建模与分析。 第5章：概率论基础与随机变量 本章从集合论的视角出发，建立概率论的公理化基础（$sigma$-代数、可测空间）。我们区分了离散概率空间和连续概率空间，引入概率密度函数（PDF）和概率质量函数（PMF）。核心概念如期望值（Expectation）、方差（Variance）和矩（Moments）被严格定义和计算。 第6章：多变量概率分布与联合分析 本章将单变量分析推广到多个随机变量的情况。详细介绍了联合概率分布，以及边缘分布的计算。重点讲解了条件概率和统计独立性的严格定义。协方差（Covariance）和相关系数（Correlation）被引入，用以衡量两个随机变量之间的线性关系。 第7章：重要概率分布的特性 本章聚焦于实际应用中最常见和最重要的概率分布族： 离散分布： 伯努利、二项分布、泊松分布。 连续分布： 均匀分布、指数分布、正态分布（高斯分布）及其在物理和统计推断中的核心地位。 我们深入探讨了这些分布的生成函数（矩母函数），以便于推导和分析它们的卷积特性。 第8章：极限定理：从样本到总体 本章讨论了概率论的宏观结论。首先，详细阐述了大数定律（Law of Large Numbers），它保证了样本均值会收敛到真实期望值。随后，深入探讨了中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT），该定理解释了为什么正态分布在自然界和统计学中如此普遍，并为统计推断提供了理论基础。 --- 第三部分：实分析初步——严谨的极限理论 实分析是微积分的严格化和推广。本部分聚焦于序列、函数序列的极限行为，以及积分的严格定义。 第9章：实数系统与拓扑预备 本章回归到实数系统的完备性（如上确界原理），为后续的极限论证提供坚实的逻辑基础。引入了度量空间的基本概念，如开集、闭集、邻域、聚点和紧致性（Compactness）。这些概念被用于为拓扑结构提供一个更广义的框架。 第10章：序列与函数的极限 本章严格定义了数列的收敛性，使用 $epsilon-N$ 语言来清晰阐述极限的含义。随后，我们将极限概念推广到函数序列，详细区分了逐点收敛和一致收敛（Uniform Convergence）。一致收敛的重要性被强调，因为它保证了连续性、可积性和可微性在取极限操作下可以保持。 第11章：黎曼积分的严格化 本章对微积分中的定积分进行了严谨的数学定义。我们引入了黎曼和的概念，并分析了黎曼可积的充要条件（例如，连续函数必然黎曼可积）。对于不满足黎曼可积的函数，我们简要介绍了勒贝格积分的必要性，但重点仍放在黎曼积分的严格构建上，强调其在物理应用中的实用性。 --- 总结与展望 本书的三个部分——线性代数、概率论和实分析——构成了处理复杂科学问题的标准工具箱。线性代数提供了处理多维结构和变换的框架；概率论提供了在不确定性下进行推断的语言；而实分析则保证了我们所有关于极限和收敛的结论都是在严谨的数学基础上建立的。本书的最终目标是培养读者精确思考和解决问题的能力，为他们进入更高级的数学物理领域（如泛函分析、偏微分方程或高级统计物理）做好充分准备。 本书不涉及： 傅里叶分析、拉普拉斯变换、测度论的深入探讨、随机过程、数值方法或任何形式的偏微分方程求解技术。

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