Attractivity and Bifurcation for Nonautonomous Dynamical Systems pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Rasmussen, Martin

出品人:

页数:212

译者:

出版时间:

价格:$ 79.04

装帧:Pap

isbn号码:9783540712244

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

动力系统
非自治系统
吸引子
分岔理论
非线性动力学
拓扑动力学
常微分方程
数学分析
应用数学
稳定性理论

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具体描述

Although, bifurcation theory of equations with autonomous and periodic time dependence is a major object of research in the study of dynamical systems since decades, the notion of a nonautonomous bifurcation is not yet established. In this book, two different approaches are developed which are based on special definitions of local attractivity and repulsivity. It is shown that these notions lead to nonautonomous Morse decompositions, which are useful to describe the global asymptotic behavior of systems on compact phase spaces. Furthermore, methods from the qualitative theory for linear and nonlinear systems are derived, and nonautonomous counterparts of the classical one-dimensional autonomous bifurcation patterns are developed.

好的，这是一本假设的、不包含您所提供书名的图书简介，聚焦于一个既定的、但与您提及的书名完全不同的数学领域——随机微分方程的精确解与近似数值方法。 --- 图书名称：《随机过程的精确解析与迭代数值逼近：动力系统、金融建模及偏微分方程的交叉应用》内容简介本书深入探讨了随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDEs）这一在现代科学和工程领域中占据核心地位的数学工具。我们聚焦于SDEs从理论基础构建到实际数值求解的完整链条，旨在为研究人员、高级学生以及需要处理不确定性系统的工程师提供一本既严谨又实用的参考手册。全书内容围绕两大主线展开：一是探寻特定结构SDEs的解析解（Closed-Form Solutions），二是发展和评估处理复杂、无解析解系统的数值逼近技术。第一部分：随机过程基础与精确解的理论框架本部分首先回顾了布朗运动（Wiener Process）、伊藤积分（Itō Integral）的严格定义与性质，并详细阐述了伊藤公式（Itō's Formula）在随机微积分中的关键作用。不同于仅仅停留在基础介绍，我们迅速进入到SDEs解的存在性、唯一性及平稳性分析。核心章节内容聚焦于： 1. 特殊形式SDE的解析求解技术：我们系统性地分析了几类具有明确解析解的SDEs，包括但不限于Ornstein-Uhlenbeck过程、几何布朗运动（常用于期权定价的Black-Scholes模型的基础）以及一些具有特定线性或守恒结构的二阶方程。详细推导了如何利用变量代换法（如将非线性SDE转化为线性SDE）和伴随微分方程（Adjoint Equations）来构造这些精确解。对于某些自伴随（self-adjoint）的随机偏微分方程（SPDEs）的特例，我们也展示了如何通过傅里叶变换或拉普拉斯变换结合伊藤积分的特性来获得解析表达式。 2. 鞅论在SDE解验证中的应用：本部分强调了鞅理论在验证所求解的正确性、检验期望值和边界条件满足性方面的不可替代性。我们探讨了Doob-Meyer分解在处理非鞅过程向鞅过程转化中的作用，这对于理解随机系统的长期行为至关重要。第二部分：面向复杂系统的迭代数值逼近算法鉴于大多数实际应用中的SDEs（尤其是在复杂的物理、生物或经济模型中）缺乏解析解，本书的后半部分全面转向数值方法。我们着重于高阶精度算法的构建、收敛性分析及其在离散化误差控制方面的策略。关键数值方法与分析包括： 1. Milstein方案及其高阶扩展：我们详细介绍了Milstein方法作为一阶Euler-Maruyama方案的改进，它通过引入随机项的导数（即随机导数，或称“随机张量”）来提升到强一阶或弱二阶精度。重点分析了如何有效地计算这些随机导数，特别是在高维或涉及随机系数导数（如分数布朗运动）的情况下。 2. 局部时间和步长自适应控制：针对实际模拟中需要应对快速变化的随机扰动，我们引入了基于局部截断误差估计的自适应步长控制策略。这包括基于Runge-Kutta框架的随机嵌入式方法（Stochastic Embedded Methods），旨在动态调整时间步长以维持期望的全局误差水平，同时优化计算资源的使用。 3. 蒙特卡洛方法的增强与耦合：传统的蒙特卡洛（MC）方法在估计SDE路径依赖性期望时存在收敛速度慢的问题。本书讨论了如何通过方差缩减技术（Variance Reduction Techniques），如控制变量法（Control Variates）和重要性抽样（Importance Sampling），来显著提高估计的效率。此外，我们还探讨了将SDE的数值解与有限元方法（FEM）耦合处理SPDEs的策略，即随机有限元法（Stochastic Finite Element Method, SFEM）的构建框架。第三部分：交叉应用与挑战前沿最后一部分，我们将理论和方法应用于具体领域，展示了如何利用这些工具解决实际问题，并展望了该领域的未解决难题。应用案例涉及：随机金融建模的Heston模型求解：利用解析解的知识验证数值方法的准确性，并讨论了在波动率随机化模型下，高精度时间积分方案的重要性。随机系统中的路径依赖性风险评估：如何使用高精度路径模拟（如高阶Milstein）来更精确地评估路径依赖性衍生品的定价敏感性。随机生物动力学：探讨了在环境噪声驱动下，种群模型（如随机Lotka-Volterra方程）的稳态分布分析，并比较了确定性模型与随机模型在预测系统崩溃点上的差异。全书旨在培养读者对随机系统建模的深刻直觉，并提供一套从理论证明到实际编码实现的全面技术工具箱。它要求读者具备高等概率论和常微分方程的基础知识。目标读者：应用数学、计算科学、物理学、定量金融工程及相关领域的高年级本科生、研究生及专业研究人员。