A Rapid Course in Modern Riemannian Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Rinton Pr Inc

作者:Not Available (NA)

出品人:

页数:750

译者:

出版时间:

价格:263.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9781589490178

丛书系列:

图书标签:

• Riemannian Geometry
• Differential Geometry
• Mathematics
• Geometry
• Topology
• Manifolds
• Calculus
• Advanced Mathematics
• Pure Mathematics
• Einstein Manifolds

拓扑学基础与微分几何的入门阶梯 书籍名称：流形上的拓扑与基础微分几何 作者： （此处留空，意指作者的专业背景与本书内容的高度契合） 出版社： （此处留空，意指专注于数学和理论物理的高级学术出版社） ISBN: （此处留空，象征本书的专业性和前沿性） --- 内容详述：连接抽象与直观的桥梁 本书旨在为读者构建一个坚实的基础，使其能够自信地迈入现代几何学的核心领域。我们深知，纯粹的代数或分析方法有时会使初学者在面对高维空间和曲率的概念时感到迷失。因此，《流形上的拓扑与基础微分几何》采取了一种从具体到抽象、循序渐进的教学策略，重点关注几何直觉的培养和严格数学论证的有机结合。 本书的覆盖范围，与那些直接聚焦于黎曼几何核心概念（如测地线方程、黎曼曲率张量、以及丰富的度量空间结构）的教材不同，本书将拓扑学工具箱的构建置于首位，并在此基础上，审慎地引入微分几何的“画布”——光滑流形。 第一部分：拓扑学的基石——空间结构的语汇（约占全书35%） 在进入微分几何的精确语言之前，我们必须理解“空间”的本质是什么。本部分着重于那些在后续流形理论中不可或缺的拓扑概念： 1. 基础拓扑空间理论回顾与深化： 区别于一般拓扑学教材的广泛性，本书挑选了对几何至关重要的结构：紧致性、连通性、可分离性。我们不仅定义这些概念，更深入探讨它们在几何对象上的具体表现（例如，闭子集在紧集上的性质）。 2. 连续映射与形变（形同胚）： 连续性的代数化描述（开集的保持）是理解“光滑性”的前奏。我们引入了同伦（Homotopy） 的基本概念，将其作为衡量空间“洞”和“拉伸”性质的初步工具。这为后续理解流形上的向量场和纤维丛打下了直观基础，避免了直接跳跃到更复杂的代数拓扑。 3. 度量空间与完备性： 尽管黎曼几何的核心是度量，但本书选择在拓扑部分先介绍度量空间，强调“距离”概念的普适性。完备性的引入，为后续分析中的收敛性、极限和连续延拓奠定分析基础，这是构建任何几何结构的必要条件。 第二部分：光滑流形——几何的画布（约占全书40%） 本部分是本书的过渡核心，致力于将拓扑空间提升到能够进行微分运算的层次。我们严格避免过早引入张量或协变导数，而是专注于“局部”结构的构建： 1. 从欧氏空间到局部坐标： 我们从$mathbb{R}^n$出发，展示如何通过“贴片”的概念构造更复杂的空间。图册（Atlas）和坐标变换的引入，清晰阐释了“光滑性”的定义，即在不同坐标系之间的切换必须是光滑的。 2. 向量场与切空间（非张量化定义）： 在正式引入黎曼度量之前，我们利用导数的定义，以方向导数的形式直观地定义切向量。切空间被视为通过该点所有曲线的一阶导数构成的线性空间。这使得读者能将切空间理解为一个“可以进行速度计算的局部空间”，而不是一个抽象的、由张量定义的结构。 3. 张量代数的初步接触（仅限必要）： 仅在必要之处，介绍张量的定义——即在坐标变换下保持特定形式的函数。这包括1-形式（微分形式的对偶空间） 的初步概念，为后续的积分和外微分做准备。 第三部分：基础微分几何的调色板——连接与积分（约占全书25%） 在流形结构确立后，本书谨慎地引入了将微分几何与其他领域连接起来的核心工具，但侧重于“操作”而非“理论的完整性”： 1. 联络（Connection）的几何起源： 我们引入联络的概念，重点在于理解其几何意义——平行移动。通过描述向量如何沿着曲线“保持方向”的过程，读者能直观地理解为什么需要一个“非度量”的结构来定义向量的“指向”。本书不会深入探讨联络的抽象代数性质或其与曲率的完整关系。 2. 向量场上的微分运算： 侧重于流（Flow） 的概念，即向量场如何诱导流形上的坐标变换。这是理解常微分方程在流形上解的几何意义的关键。 3. 基础的积分理论（单连形式）： 本书讨论微分形式的积分，主要集中在曲线上的线积分和曲面上的面积分（仅限于二维流形或 $mathbb{R}^n$ 的嵌入）。我们重点演示如何利用楔积来构建更高阶的微分形式，但避免深入探讨德拉姆上同调的复杂理论。 --- 本书的特色与目标读者 本书的结构和内容选择，刻意避开了那些直接跳入黎曼度量、测地线方程求解、里奇张量计算以及爱因斯坦方程的领域。我们的目标是： 1. 稳固流形概念： 确保读者在不熟悉复杂的黎曼曲率时，仍能熟练地在任何光滑流形上定义向量场、1-形式和微分。 2. 培养几何直觉： 通过对拓扑紧致性和局部坐标变换的反复强调，使读者在处理高维问题时，能够始终保持对“局部像欧氏空间”这一核心思想的把握。 3. 作为预备课程： 本书是为那些对物理学（如广义相对论的初步接触）、拓扑学或更高阶的微分几何（如黎曼几何）感兴趣的读者所设计的高级预科材料。掌握本书内容后，读者将能够无缝衔接至任何深入探讨度量、曲率和测地线等高级主题的专业教材。 本书的语言严谨，包含大量旨在巩固直觉的例题和练习，确保读者不仅“知道”定义，更能“使用”这些定义来解析几何对象。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆