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随机几何的视界：一门关于空间结构测量的艺术与科学 图书简介 本书深入探讨了随机几何与空间统计学的核心原理及其在多尺度分析中的应用。它并非聚焦于特定的应用领域，如生物医学成像或材料科学中的定量分析，而是致力于为读者构建一个坚实的理论框架，用以理解、建模和量化自然界中无处不在的随机结构。本书的视角是高度数学化和概念驱动的，目标读者是那些希望从根本上掌握空间数据分析工具的统计学家、数学家以及高级研究人员。 第一部分：随机几何学的基石 本书的开篇章节奠定了随机几何学的理论基础。我们首先从概率空间和随机变量的严格定义出发，然后过渡到测度论在描述空间对象时的不可替代性。重点章节将详细阐述点过程（Point Processes）的数学构造。我们不仅仅介绍泊松过程（Poisson Process）及其齐次与非齐次变体，更会深入分析完全随机性之外的更为复杂的空间点集，例如聚类过程（Clustering Processes）和抑制过程（Inhibitory Processes），如Matérn I型和II型过程。这些过程的构造依赖于概率测度的定义和对随机事件之间相互作用的建模。 随后的章节将聚焦于随机集（Random Sets）的描述。与离散的点不同，随机集关注的是欧几里得空间$mathbb{R}^d$中的连续子集，例如纤维、孔洞或颗粒的集合。我们将引入随机测度（Random Measures）的概念，并以此为工具来定义和分析这些集合的几何特性。测度论在此处提供了严谨的语言来处理集合的体积、面积和边界的随机性。 第二部分：集合的几何量化——形貌分析的数学核心 在奠定了随机集的数学基础后，本书将重点转向如何从这些随机几何对象中提取可量化的信息。我们提出了积分几何（Integral Geometry）的视角，这是连接几何测度和统计分析的桥梁。 核心内容包括布莱克韦尔密度（Crofton's Formula）和卡瓦列里原理（Cavalieri's Principle）的随机推广。我们将详细推导并应用平均值定理（Mean Value Theorems），这些定理揭示了特定几何量（如曲率、表面积密度）的期望值与空间点过程或随机集定义的内在关系。读者将学习到如何通过对随机测度的积分来定义几何量，例如，如何在不依赖于特定观测窗口的情况下，定义一个随机纤维网络的平均曲率。 一个关键的分析工具是支撑函数（Support Functions）和平均宽度（Mean Width）。本书将展示如何利用这些工具来描述凸随机集的统计特性，并讨论它们在描述各向异性（Anisotropy）时的优势。通过引入随机凸集代数，我们为后续的统计推断提供了坚实的几何基础。 第三部分：空间统计推断与模型检验 本书的第三部分将理论几何与统计推断相结合，探讨如何从有限的观测数据中对潜在的随机过程进行估计和检验。 我们将深入探讨核密度估计（Kernel Density Estimation）在空间数据中的局限性，并转而介绍成对相关函数（Pair Correlation Functions）和K函数（K-functions）。这些函数是描述空间点模式聚集或分散程度的标准工具，本书将提供严格的证明，说明K函数如何与点过程的强度测度相关联，并探讨其非参数估计的性质。 对于随机集，我们关注其边界的分析。边界密度（Boundary Density）和表面积密度（Surface Area Density）的估计是材料结构分析的关键。本书将详述随机块状结构（Random Tessellations），例如维罗诺伊图（Voronoi Diagrams）和德劳内三角剖分（Delaunay Triangulations）的统计特性。对于这些结构，我们分析其边长、面密度以及单元形状的分布，并探讨如何利用这些统计量来检验所观测到的结构是否符合特定的随机生成模型（如均匀性或各向同性）。 第四部分：随机结构与函数分析 最后，本书探讨了随机几何在分析空间场（Spatial Fields）中的应用，即关注空间上依赖的随机函数。我们引入随机场（Random Fields）的框架，特别是高斯随机场（Gaussian Random Fields）和马尔可夫随机场（Markov Random Fields）。 重点章节将分析随机场的变异函数（Variograms），并将其与随机集的几何特征联系起来。我们探讨赫尔德连续性（Hölder Continuity）和随机场的尺度不变性（Scale Invariance），这对于理解长程相关性和分形（Fractal）现象至关重要。通过引入测度值随机变量（Random Measures with Values in a Banach Space）的视角，本书为分析复杂的、高维度的随机结构提供了高级的数学工具，超越了简单的欧氏空间描述。 总结 本书旨在为读者提供一套全面的、从测度论基础到先进统计推断的随机几何工具箱。它不提供即插即用的算法，而是专注于揭示现象背后的概率和几何原理，培养读者对空间数据本质的深刻理解。阅读本书需要坚实的概率论和基础分析背景，它将引导统计学家进入一个充满挑战与回报的、对空间结构进行量化描述的领域。
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