Approximation Theory Using Positive Linear Operators pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Paltanea, Radu

出品人:

页数:202

译者:

出版时间:2004-9

价格:$ 145.77

装帧:Pap

isbn号码:9780817643508

丛书系列:

图书标签:

• 学术
• Approximation Theory
• Positive Linear Operators
• Numerical Analysis
• Mathematical Analysis
• Functional Analysis
• Operator Theory
• Real Analysis
• Constructive Approximation
• Polynomial Approximation
• Spline Approximation

深入解析经典分析中的关键主题：函数逼近与算子理论 本书旨在为读者提供一个关于函数逼近理论及其在分析数学中应用的全面且深入的视角。我们聚焦于那些在经典分析和现代数学物理中扮演核心角色的工具和概念，特别是那些与函数性质、连续性、收敛性以及极限过程紧密相关的领域。全书内容围绕严格的数学论证、精确的结构分析和对核心定理的细致阐释构建，目标是培养读者对分析数学深厚直觉的同时，打下坚实的理论基础。 全书分为五个主要部分，层层递进，构建了一个逻辑严密的知识体系。 第一部分：度量空间与拓扑基础的回顾与深化 本部分首先为后续的逼近理论奠定必要的分析基础。我们不仅仅是简单回顾勒贝格积分和黎曼积分的定义，而是深入探讨它们在函数空间中的表现。重点在于完备性的概念，特别是巴拿赫空间（Banach Space）的结构。我们将详细分析等度连续性（Equicontinuity）定理，如阿尔泽拉-阿斯科利（Arzelà-Ascoli）定理，探讨在紧凑空间上连续函数空间的紧致性条件。 一个关键的章节将专门讨论泛函分析中的基本工具，例如Hahn-Banach扩张定理及其在分离问题中的应用。通过在更一般的拓扑向量空间中考察这些概念，读者将对“逼近”背后的空间结构有更清晰的认识。我们还将引入拓扑度量和均匀收敛的严格定义，并对比它们在函数族收敛性研究中的优劣。 第二部分：经典逼近理论的基石——多项式逼近 本部分聚焦于历史上最具影响力的逼近工具之一：多项式。我们将详尽地阐述魏尔斯特拉斯（Weierstrass）逼近定理的各种证明路径，包括基于卷积的证明、基于概率论的证明（例如通过伯恩斯坦多项式），以及基于拓扑方法的证明。重点分析了不同证明路径所揭示的数学结构差异。 紧接着，我们深入研究最佳一致逼近问题。这涉及到切比雪夫范数（Chebyshev norm）的性质，以及寻找在给定函数类中，与目标函数距离最小的那个函数。Minimax定理在多项式逼近中的应用将被细致剖析，包括对交错点（alternating points）性质的几何解释。我们还将探讨勒让德多项式和拉盖尔多项式等正交多项式系统，它们在最小二乘意义下的逼近中的核心地位，及其与傅里叶级数之间的联系。 第三部分：傅里叶分析与周期函数的逼近 本部分将分析周期函数的逼近，自然地导向傅里叶分析。我们将从狄利克雷核（Dirichlet Kernel）和费耶核（Fejér Kernel）出发，探讨傅里叶级数在不同函数空间中的收敛性。不同于代数逼近，傅里叶逼近引入了频率域的概念。 重点章节将讨论收敛性问题：为什么朴素的傅里叶级数在点上可能不收敛（吉布斯现象），以及如何通过求和方法（如Cesàro求和）来改善收敛性质。我们还会比较三角多项式逼近的优缺点，并将其与代数多项式逼近进行对比分析，尤其关注它们在处理尖点和不连续性时的表现差异。此外，本部分会涉及傅里叶变换在非周期函数逼近中的推广应用。 第四部分：更广泛的函数空间与分析工具 为了超越多项式和三角函数，本部分将视角扩展到更一般的函数空间，特别是与微分方程和积分方程密切相关的空间。 我们将详细探讨Sobolev空间的概念。Sobolev空间引入了对函数导数（弱导数）的要求，这对于处理实际应用中的非光滑函数至关重要。我们将分析Sobolev嵌入定理（Sobolev Embedding Theorems），它们精确地量化了函数及其高阶导数之间的关系，以及这种关系如何影响函数在不同范数下的行为。这部分内容是理解现代偏微分方程理论的基础。 此外，我们还将回顾张量积空间（Tensor Product Spaces）在多变量函数逼近中的作用，以及小波分析（Wavelet Analysis）作为一种局部化基函数系统的兴起，它们如何克服傅里叶基在处理信号突变时的不足。 第五部分：非线性逼近与结构稳定性 在最后一部分，我们将探讨超越线性逼近的界限。虽然线性算子在理论研究中占据核心地位，但许多实际问题需要有理函数逼近（Rational Approximation）。我们将分析帕德逼近（Padé Approximation）的原理，探讨其收敛性的复杂性，并将其与多项式逼近进行鲜明的对比。 最后，我们将讨论稳定性和误差分析的现代观点。重点关注逆问题（Inverse Problems）中的病态性（Ill-Posedness）以及正则化方法（Regularization Methods）在稳定逼近解中的应用。这部分内容将引导读者思考，在数值实现和不精确数据输入的情况下，一个理论上优秀的逼近方法如何保持其实用价值。 全书的论证风格力求清晰、严谨，通过大量的实例和精心设计的习题，确保读者不仅能掌握理论，还能熟练运用这些分析工具解决实际的数学问题。每章末尾都附有对相关文献的详细指引，鼓励深入探索。

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