The Companion Guide to the "Mathematical Experience" pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Davis, Philip J./ Hersh, Reuben/ Marchisotto, Elena Anne

出品人:

页数:128

译者:

出版时间:2003-9

价格:$ 39.49

装帧:Pap

isbn号码:9780817638498

丛书系列:

图书标签:

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探索逻辑的深层结构：一部关于集合论基础与公理化体系的著作 书名： 逻辑的疆域：从直觉到形式系统的演进 作者： [此处留空，或使用虚构作者名，例如：艾略特·范德堡] 出版社： [此处留空，或使用虚构出版社名，例如：普罗米修斯学术出版社] --- 内容简介 《逻辑的疆域：从直觉到形式系统的演进》是一部深入探究现代数学和哲学逻辑基石的著作。本书并非仅仅是对现有逻辑教科书的简单汇编，而是一次对“可思议性”（thinkable）边界的审视，旨在揭示我们赖以构建严密知识体系的那些基本假设是如何被精确化、形式化，并最终接受挑战的历程。 本书从古希腊对推理的初步考察开始，迅速过渡到十九世纪末二十世纪初，数学界面临的“基础危机”。我们详细分析了弗雷格（Frege）对纯逻辑主义的雄心壮志，以及他试图将整个数学建立在纯逻辑基础之上的尝试，包括他对“所有集合的集合”所面临的直接挑战。 第一部分：直觉的黄昏与集合论的诞生 本部分着重于集合论的非形式化开端及其内在的矛盾。我们细致考察了康托尔（Cantor）的朴素集合论如何以惊人的速度和优雅构建了无穷的层次结构（可数无穷与不可数无穷），以及这一理论如何不可避免地导向悖论。 我们详细分析了罗素悖论（Russell's Paradox）的精妙之处——它并非一个简单的逻辑错误，而是暴露了“无限制地收集对象”这一直觉概念在形式系统中的脆弱性。随后，我们将目光投向早期的尝试性解决方案，包括弗雷格对《概念语言》中早期公理的修改努力，以及这些努力的最终失败。 本部分的核心在于对直觉的解构。我们探讨了“存在性”的概念如何从柏拉图式的实在论转向一种依赖于特定公理系统定义的结构。读者将看到，数学的严密性并非来自于对某种“真实世界”的描摹，而是来自于对一组被接受的、相互不矛盾的初始陈述的忠诚。 第二部分：公理化的时代：形式系统的构建 在直觉主义的困境面前，数学家们转向了构建明确的、可检验的形式系统。本部分是全书的重心，全面阐述了策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）及其引入选择公理（AC）后的扩展ZFC的结构。 我们不仅仅是陈述ZFC的公理，而是深入剖析每一条公理的哲学意涵和数学功能： 1. 外延性公理（Axiom of Extensionality）： 奠定了集合身份的基础——仅由其元素决定的本质。 2. 空集公理（Axiom of Empty Set）： 确认了“无”的明确存在性。 3. 配对与并集公理（Pairing and Union）： 它们如何允许我们从已知的集合构造新的、更复杂的结构。 4. 分离公理模式（Axiom Schema of Separation）： 这是对罗素悖论的直接回应，限制了集合的构造方式，要求任何子集都必须基于一个已存在的集合。我们详细解释了“模式”（Schema）的概念，即它代表了无限多个公理，而非单一公理。 5. 幂集公理（Axiom of Power Set）： 这一公理是生成更大无穷的关键，也是导致自然数集合的“下一级”无穷（即不可数无穷）诞生的动力。 6. 替换公理模式（Axiom Schema of Replacement）： 探讨了函数性关系如何能够“取代”集合中的元素，确保了有序集合的构造能力。 7. 无穷公理（Axiom of Infinity）： 证明了非有限集的存在，是引入所有自然数集合的必要桥梁。 8. 正则性/基础公理（Axiom of Regularity/Foundation）： 这一公理排除了循环定义和“集合包含自身”的可能性，确保了集合的层级结构是良好定义的。 随后，我们专题讨论了选择公理（AC）的争议性。AC如何简洁地保证了每一个集合都可以被“选择”出一个代表元，以及它如何等价于良序定理（Well-Ordering Theorem）和选择函数（Choice Function）的存在。本书将展示AC在分析学、拓扑学和泛函分析中无可替代的效力，同时不回避其在某些哲学语境下的反直觉性（如巴拿赫-塔斯基悖论）。 第三部分：哥德尔的阴影：逻辑的界限与完备性 本书的最后一部分转向了形式系统在自我认识上的局限性，这是对所有数学基础努力的终极反思。我们以哥德尔不完备性定理为核心，详细解读了它们对数学哲学产生的深远影响。 1. 第一次不完备性定理： 在任何足够强的、包含基本算术的、一致的（无矛盾的）形式系统中，总存在一个在该系统内既不能被证明为真，也不能被证明为假的命题。本书将详细解释哥德尔编码（Gödel Numbering）的工作原理，如何使得“这句话是不可证明的”这一元数学陈述能够被编码进系统内部。 2. 第二次不完备性定理： 进一步指出，如果一个系统是一致的，那么它本身无法证明自身的一致性。 我们探讨了这些定理对“数学实在论”的冲击：如果一个系统不能证明自身的可靠性，那么我们如何确信它所推导出的结论是“正确的”？ 此外，本书还涵盖了图灵机与可计算性理论的初步概念，以及丘奇-图灵论题，将其视为对“有效性”或“可执行性”的直觉概念的最新形式化尝试。我们简要介绍了勒文海姆-斯科伦定理，展示了即使是像ZFC这样强大的理论，也无法唯一确定其模型的“大小”，即存在着与自然数集相同基数的非标准模型。 读者对象与价值 《逻辑的疆域》面向的是对纯数学的底层构造有深厚兴趣的读者，包括高年级本科生、研究生以及数学史和哲学领域的专业人士。本书的写作风格力求严谨而富有叙事性，避免了过分技术性的符号堆砌，但同时保证了对概念精确性的坚持。 本书的独特价值在于，它将一系列复杂的、抽象的公理系统放置于一个宏大的历史和哲学背景之下进行考察。它不仅教授读者“如何”使用ZFC，更引导读者思考“为什么”我们选择这些公理，以及我们是否可能构建出替代性的逻辑宇宙。它是一次对数学确定性的深刻探险，同时也是对人类理性构建自身知识疆域的赞歌与反思。 --- 页数预估： 约 550 页 核心主题词： 集合论、公理系统、逻辑基础、罗素悖论、ZFC、选择公理、哥德尔不完备性、数理逻辑史。

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