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出版者:W H Freeman & Co

作者:Marsden, Jerrold E./ Hoffman, Michael J.

出品人:

页数:600

译者:

出版时间:1998-12

价格:$ 212.72

装帧:HRD

isbn号码:9780716728771

丛书系列:

图书标签:

• 复分析
• 数学分析
• 高等数学
• 复变函数
• 数学
• 学术
• 理工科
• 教材
• 理论
• 解析

《拓扑学基础：现代几何的基石》 内容简介 引言：迈向抽象空间的旅程 本书旨在为读者构建一个坚实、直观且深入的拓扑学基础。拓扑学，作为现代数学中研究空间性质的基石，关注那些在连续形变（拉伸、弯曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的特性。它为分析学、几何学、乃至理论物理学提供了必要的语言和框架。本书并非对复分析的简单替代或重述，而是深入探索了与复分析的分析结构截然不同的、更基础的结构性概念。我们将把焦点完全置于集合论基础上的点集拓扑，并随后过渡到代数拓扑的初步概念，确保读者能够完全掌握空间是如何被“粘合”在一起的。 第一部分：度量空间与收敛性的直觉 本部分建立在读者对微积分和集合论有基本了解的基础上，着重于建立“距离”和“邻域”的概念，这是理解所有后续拓扑结构的物理直觉来源。 第一章：度量空间 我们从最具体的空间——度量空间（Metric Spaces）开始。详细定义度量函数，并探讨其关键性质：非负性、对称性、三角不等式。大量的例子被用于说明不同度量（如欧几里得度量、离散度量、有限范数度量）如何定义出结构完全不同的空间。我们深入研究开球、闭球的构造及其拓扑意义。 第二章：拓扑空间的引入 拓扑空间是度量空间的推广，它摆脱了对“距离”的依赖，转而依赖于“开集”的概念。本章严谨地定义了拓扑结构——一组满足特定公理的开集族。我们将展示如何从一个度量诱导出拓扑，并探讨离散拓扑和不可分拓扑等极端情况。重点分析了邻域、闭集（作为开集的补集）和密点（Limit Points）的定义及其相互关系。 第三章：连续性与同胚 连续函数的拓扑定义是本书的核心内容之一。我们用开集的语言重新表述了微积分中的 $epsilon-delta$ 定义，证明了这两者在度量空间中的等价性。更进一步，我们介绍了拓扑学的核心概念——同胚（Homeomorphism）。同胚是拓扑学中的“等价”关系，它允许我们将两个在几何上看似不同的对象视为“拓扑相同”。本书通过分析一些简单的反例（如区分圆周和区间）来阐明同胚的强大解释力。 第二部分：构造与分离公理 在掌握了基本定义后，我们将探索更强大的结构工具，这些工具对于区分复杂的拓扑空间至关重要。 第四章：紧致性（Compactness） 紧致性是拓扑学中最深刻且最常用的性质之一。我们引入开覆盖（Open Cover）的概念，并严格定义紧致性——每一个开覆盖都存在有限子覆盖。我们将证明 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中，紧致性等价于闭合且有界），并探讨紧致性在连续函数下的保持性。这一概念在处理积分和级数收敛的极限问题时具有不可替代的作用。 第五章：分离公理（Separation Axioms） 本章是区分不同“好”空间的工具箱。我们详细定义了 $ ext{T}_1, ext{T}_2$（豪斯多夫或分离性）空间。豪斯多夫性质被证明是局部紧致空间和收敛序列的唯一极限点的必要条件。随后，我们探讨了正则性和正规性（$ ext{T}_3, ext{T}_4$ 空间），这些性质在构造嵌入和理解子空间的结构中起着关键作用。 第六章：连通性（Connectedness） 如果空间不能被拆分成两个不相交的非空开集的并，则称之为连通的。我们区分了路径连通性（Path-Connectedness）和连通性，并证明了在许多重要空间中它们是等价的。连通性的保持性对于理解函数的中间值定理提供了更抽象的背景。 第三部分：构造性拓扑工具 本部分开始引入超越点集拓扑的工具，为代数拓扑的初步接触做准备，这些内容与复变函数论中使用的解析函数概念无直接关联。 第七章：商拓扑（Quotient Topology） 商拓扑允许我们通过“粘合”空间中的某些部分来构造新的空间，这是拓扑学中最具创造性的构造方法之一。我们将详细分析如何通过一个等价关系或一个覆盖映射来定义商空间，并探讨商映射的连续性条件。通过构建球面、环面等拓扑空间，读者将直观理解商空间的形成过程。 第八章：积空间与纤维丛的初步概念 我们定义了有限和无限积空间的积拓扑，并讨论了这种构造如何影响紧致性和连通性。对于纤维丛的初步介绍，我们将使用生活中的例子（如莫比乌斯带和克莱因瓶）来展示纤维结构是如何在基空间上“展开”的，强调拓扑在理解多维流形结构上的基础作用。 第九章：导引：基础群的概念介绍 本章作为全书的收尾，将拓扑学从纯粹的点集抽象提升到代数结构的应用。我们引入了“环路”（Loops）的概念，并定义了基础群（Fundamental Group） $pi_1(X)$，这是第一个重要的代数不变量。我们展示了如何使用基础群来区分拓扑空间——特别是证明圆周和线段在拓扑上是不同的，因为它们的 $pi_1$ 结构截然不同。 总结 本书完全专注于拓扑学的结构性、几何性和分类性方面，所介绍的所有概念——度量、开集、紧致性、连通性、分离公理以及基础群——都致力于解析“空间结构”本身，而不依赖于任何分析工具（如导数、积分或共形映射）的存在性。通过严谨的定义和丰富的几何实例，本书为读者打下了一个坚实的、独立于复分析领域的现代几何学基础。

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