Symmetrization and Applications pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Kesavan, S.

出品人:

页数:148

译者:

出版时间:2006-4

价格:626.00元

装帧:HRD

isbn号码:9789812567338

丛书系列:

图书标签:

数学分析
偏微分方程
对称性
泛函分析
变分法
积分方程
非线性分析
应用数学
几何分析
优化理论

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具体描述

The study of isoperimetric inequalities involves a fascinating interplay of analysis, geometry and the theory of partial differential equations. Several conjectures have been made and while many have been resolved, a large number still remain open. One of the principal tools in the study of isoperimetric problems, especially when spherical symmetry is involved, is Schwarz symmetrization, which is also known as the spherically symmetric and decreasing rearrangement of functions. The aim of this book is to give an introduction to the theory of Schwarz symmetrization and study some of its applications. The book gives an modern and up-to-date treatment of the subject and includes several new results proved recently. Effort has been made to keep the exposition as simple and self-contained as possible. A knowledge of the existence theory of weak solutions of elliptic partial differential equations in Sobolev spaces is, however, assumed. Apart from this and a general mathematical maturity at the graduate level, there are no other prerequisites.

好的，这是一份关于一本名为《Symmetrization and Applications》的书籍的详细内容简介，这份简介旨在描述一本不包含该书所涵盖的“Symmetrization”主题内容，但专注于其他数学或科学领域的书籍。 --- 《现代数论：黎曼猜想与椭圆曲线的深度探索》导言：从算术到代数的桥梁本书《现代数论：黎曼猜想与椭圆曲线的深度探索》旨在为读者提供一个深入而全面的现代数论概览，重点聚焦于该领域最核心、最具挑战性的两个前沿课题：黎曼猜想及其深远影响，以及椭圆曲线理论在密码学和代数几何中的应用。本书的叙事结构力求严谨而不失启发性，旨在引导具备一定微积分和基础抽象代数知识的读者，步入数论的广阔天地。我们避开了早期数论中过于基础的算术细节，转而将重点放在分析数论的宏大结构和代数数论的精致构造上。第一部分：黎曼$zeta$函数与素数分布的奥秘本书的第一部分将带领读者领略分析数论的魅力，核心围绕黎曼$zeta$函数展开。我们首先回顾欧拉对该函数的经典定义，并迅速过渡到复变函数框架下的$zeta$函数的解析延拓。第一章：复变函数背景与$zeta$函数的解析性质我们将详述复变函数的基础知识，特别是留数定理和共形映射。随后，我们将严谨地推导$zeta$函数的函数方程，揭示其对称性。我们将详细分析$zeta$函数在复平面上的零点，明确非平凡零点与平凡零点之间的区别。重点讨论这些零点如何编码了素数的分布信息。第二章：素数计数函数与对数积分本章将深入探讨素数计数函数 $pi(x)$。读者将学习切比雪夫的方法，理解素数定理的证明思路，特别是如何利用$zeta$函数的零点分布来精确估计 $pi(x)$ 的渐近行为。我们随后介绍对数积分函数 $ ext{Li}(x)$，并比较其作为素数计数函数近似的优劣。第三章：黎曼猜想的表述与历史背景这是本书的理论核心之一。我们将清晰地阐述黎曼猜想（Riemann Hypothesis, RH）：所有非平凡零点都位于临界线 $ ext{Re}(s) = 1/2$ 上。本书将概述证明该猜想的动机，回顾希尔伯特和波利亚的谱理论猜想，以及它与费曼-卡茨公式的潜在联系。我们将探讨对RH的数值验证进展，以及证明该猜想对数论的颠覆性意义，例如在零点间距统计上的影响。第四章：狄利克雷L-函数与代数数论的初探为了理解黎曼猜想的更广阔背景，本章引入狄利克雷L-函数。我们将讨论模形式与L-函数的联系，介绍狄利克雷的素数定理（在算术级数中的分布），并初步接触代数数论中的理想类群概念，为后续椭圆曲线的学习奠定基础。第二部分：椭圆曲线的几何与算术本书的后半部分转向代数几何与数论的交汇点——椭圆曲线。我们不涉及任何关于几何变换或特定对称群的讨论，而是专注于椭圆曲线作为丢番图方程解集的研究。第五章：椭圆曲线的定义与复流形结构本章从韦尔斯特拉斯标准方程 $y^2 = x^3 + Ax + B$ 入手，定义椭圆曲线。我们将解释判别式 $Delta$ 的作用。随后，我们从复分析的角度，将椭圆曲线视为一个复环面，引入复指数映射，并利用格点结构来描述其群律。第六章：有理点上的群结构——摩德尔-韦伊定理本章的核心是探索椭圆曲线上有理点集 $E(mathbb{Q})$ 的代数结构。我们将详述摩德尔（Mordell）关于其为有限生成阿贝尔群的证明思想。读者将学习如何计算群生成元，理解扭转子群的性质，并初步接触商群的概念，理解有理点集合的代数维度。第七章：模定理：谷山-志村猜想的深度解析我们将详细介绍模定理（现已证明为模定理）的基本思想，即每个定义在 $mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线都与一个模形式相关联。我们将解释 $L$-函数是如何联系起来的——椭圆曲线的 $L$-函数与其模形式的L-函数相等。本书将重点关注这一对应关系如何为费马大定理的证明提供了坚实的数学工具。第八章：椭圆曲线上的计算应用本章聚焦于椭圆曲线在现代密码学中的实际应用，特别是椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）。我们将描述使用有限域上椭圆曲线进行密钥交换和数字签名的基本算法流程，强调其相对于传统离散对数系统的效率优势。我们将讨论点群的阶的确定性计算，并分析攻击这些系统的潜在威胁。结论：未竟的探索本书结束于对现代数论前沿的展望，强调了分析工具与代数结构的深刻统一。我们总结了黎曼猜想的未解决状态及其对数论其他分支的渗透，以及椭圆曲线理论在统一数学不同领域中的关键作用。本书旨在培养读者对数论美学与逻辑的深刻欣赏，鼓励他们继续探索更深层次的数学结构。 --- 目标读者：数学专业高年级本科生、研究生，以及对高级数论有浓厚兴趣的数学爱好者。先决条件：微积分、实分析基础、集合论基础、线性代数，以及复变函数初步知识。本书特色：专注于分析数论的宏大猜想（RH）与代数几何（椭圆曲线）的深度结合，避免了基础算术的冗余，直接切入现代数论的核心挑战。本书强调理论的严谨推导和概念的清晰阐释。