Measure Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Academic Pr

作者:Kubrusly, Carlos S.

出品人:

页数:176

译者:

出版时间:2006-12

价格:$ 65.48

装帧:HRD

isbn号码:9780123708991

丛书系列:

图书标签:

• 2014
• 数学
• 测度论
• 实分析
• 概率论
• 高等数学
• 数学分析
• 集合论
• 积分
• 拓扑学
• 理论基础

好的，这是一本名为《拓扑学基础》的图书简介，旨在深入探讨现代数学的基石之一——拓扑学，内容完全独立于您提到的《测度论》。 --- 拓扑学基础：从点集到流形 丛书名：现代数学核心概念系列 作者：[此处可填充作者姓名，例如：张伟、李明] 丛书定位 本套丛书旨在为数学、物理学、计算机科学及工程领域的研究者和高年级学生提供坚实的理论基础。《拓扑学基础》作为核心卷之一，重点剖析空间结构、连续性概念的本质及其在不同数学分支中的应用，为后续学习代数拓扑、微分几何乃至抽象代数提供必要的工具箱。 内容简介 拓扑学，常被称为“几何学的橡皮泥版”，研究的是那些在连续形变（拉伸、弯曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。它超越了欧几里得几何中对距离、角度的严格依赖，转而关注集合的邻域、极限和连通性。本书旨在系统地构建严谨的拓扑学框架，从最基础的点集拓扑学（General Topology）出发，逐步迈向更具几何直觉的代数拓扑的初步概念。 全书分为六大部分，逻辑清晰，循序渐进： --- 第一部分：预备知识与集合论基础的回顾 在正式进入拓扑空间之前，本部分将对必要的集合论工具进行快速而严谨的复习和提炼。重点在于强调集合、函数、笛卡尔积、幂集等概念在构造空间时的基础作用。我们将着重阐述良序原理、选择公理（及其等价命题，如Zorn引理）在证明拓扑性质（如存在性定理）中的关键地位，为后续抽象论证打下坚实的基础。 第二部分：拓扑空间的定义与基本概念 这是本书的核心。拓扑学的灵魂在于“拓扑”本身。本部分将严格定义拓扑空间 $(mathrm{X}, au)$，即集合 $mathrm{X}$ 及其上的开集族 $ au$。 我们将详细讨论： 开集与闭集：开集族 $ au$ 的公理化定义，闭集作为开集的补集的性质。 邻域系统：从开集推导出邻域的概念，以及邻域基、局部基的结构。 构造方法：讨论几种主要的拓扑构造方法，包括子空间拓扑（研究子集内在结构）、商拓扑（研究通过等价关系产生的空间结构）、以及积拓扑（研究多维空间的组合结构）。例如，对 $mathbb{R}^n$ 上的欧几里得拓扑进行深入分析，并将其与度量空间拓扑进行对比。 第三部分：连续性、等价性与函数性质 拓扑学中“连续性”的概念比微积分中的更一般、更本质。本部分专注于如何衡量两个拓扑空间之间的映射关系。 拓扑连续性：定义一个拓扑映射 $f: mathrm{X} o mathrm{Y}$ 满足原像下保持开集性的条件。 拓扑等价：引入同胚（Homeomorphism）的概念——一种双射且反函数也连续的映射。同胚是拓扑学的“等价”标准，它保留了所有拓扑性质。 紧致性（Compactness）：这是一个极其重要的概念。我们将从开覆盖的有限子覆盖这一基本定义出发，证明在 $mathbb{R}^n$ 上的Heine-Borel 定理。紧致性在函数分析和微分方程中具有不可替代的地位。 第四部分：分离公理与度量空间 本部分将拓扑空间进一步细化，引入“分离性”的要求，这使得我们可以谈论点之间的关系。 分离公理族：详细介绍 $mathrm{T}_1$（点可分离）、$mathrm{T}_2$（Hausdorff 条件，即豪斯多夫空间）的定义和相互关系。例如，Hausdorff 空间是度量空间必然满足的条件。 度量空间（Metric Spaces）：从定义一个度量函数 $d$ 开始，讨论其诱导出的拓扑结构（度量拓扑）。我们将证明度量拓扑总是满足 $mathrm{T}_3$ 和 $mathrm{T}_4$ 等更高阶的分离公理。 完备性（Completeness）：讨论柯西序列，引入完备度量空间的概念，这是处理极限和收敛问题的关键。Baire 范畴定理作为完备性在函数空间中的重要应用将被详细论证。 第五部分：连通性、分离与结构分析 空间是否能被分解或分割，是拓扑学分析的另一维度。 连通性（Connectedness）：定义连通空间，讨论其传递性和局部性质。重点分析路径连通性，并证明在 $mathbb{R}^n$ 中，路径连通与连通是等价的。 分离（Separation）：研究如何用开集或闭集将空间的不同部分分离开来。 构造性分解：讨论连通分支和路径连通分支的唯一性及其性质。 第六部分：从点集到代数——纤维化与基础群的初步概念 在点集拓扑学的基础上，本书的最后一章将目光投向代数拓扑学的入口，展示拓扑结构如何转化为代数对象。 函数空间的拓扑：引入紧开（Compact-Open）拓扑，用于研究函数空间。 基础群（Fundamental Group）：直观引入路径和同伦的概念，用圆周 $mathrm{S}^1$ 的例子说明如何通过路径的“缠绕数”来区分拓扑空间（例如，区分 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^2$ 移除一点的空间）。虽然不深入代数结构，但会奠定利用代数工具解决拓扑问题的思想基础。 --- 读者对象与学习建议 本书面向对数学有浓厚兴趣，且已掌握实分析或高等代数基础知识的读者。学习本课程需要具备严谨的逻辑思维能力。建议读者在学习过程中，不要仅仅停留在概念的记忆上，而要着重理解每一定义背后的几何直觉，并尝试自行构造反例来检验拓扑性质的边界。 本书特色 1. 严谨性与可读性的平衡：在保证数学严谨性的前提下，穿插大量的几何实例和直观解释。 2. 丰富的习题集：每章后附有分级练习，从基本概念验证到需要深入思考的定理证明。 3. 现代视角：不仅涵盖经典拓扑学内容，还对现代数学（如流形、泛函分析）中拓扑概念的实际应用进行了必要的铺垫。 《拓扑学基础》是一次对“空间”本质的探索之旅，它将彻底改变你对连续性、极限和形状的理解。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆