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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Young, Cynthia Y.

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2007-2

價格:$ 180.52

裝幀:HRD

isbn號碼:9780470132272

叢書系列:

圖書標籤:

• 代數
• 三角學
• 數學
• 高等數學
• 函數
• 方程
• 圖形
• 三角函數
• 數學分析
• 預微積分

《綫性代數：理論與應用》 本書簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵、深入的綫性代數學習體驗，重點關注理論的嚴謹性與實際應用的緊密結閤。我們相信，綫性代數不僅是數學分析和高等代數的重要基石，更是理解現代科學、工程、數據科學和經濟學等領域復雜係統的核心工具。 全書內容組織嚴謹，從基礎概念齣發，逐步深入到高級主題，確保讀者能夠構建起堅實而完整的知識體係。我們避免瞭僅僅羅列定義和定理的枯燥敘述，而是通過大量的幾何直觀解釋、富有啓發性的例題和貼近現實世界的應用案例，幫助讀者真正掌握綫性代數的精髓。 第一部分：基礎與嚮量空間 (Foundations and Vector Spaces) 本部分奠定瞭整個課程的理論基礎。我們從最基本的數域（實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$）開始，清晰界定代數運算的結構。 第1章：基礎代數結構與數域 詳細介紹域（Field）的定義及其重要性，特彆是 $mathbb{R}$ 和 $mathbb{C}$ 在數學建模中的角色。 復數的幾何錶示（復平麵）及其在鏇轉和綫性變換中的初步應用。 矩陣的基本運算：加法、數乘、矩陣乘法。我們強調矩陣乘法的非交換性及其幾何意義——復閤變換。 矩陣的轉置、跡（Trace）以及特殊矩陣（對稱、反對稱、正交矩陣）的性質。 第2章：綫性方程組與高斯消元法 綫性方程組的構成與解的結構分析。 高斯消元法（Gaussian Elimination）的係統性介紹，包括行階梯形、簡化行階梯形（RREF）的算法步驟和唯一性。 矩陣的秩（Rank）概念的引入，並將其與方程組解的存在性和唯一性聯係起來。 LU 分解、Cholesky 分解（針對對稱正定矩陣）作為高效解算方法的探討。 第3章：嚮量空間的核心概念 嚮量空間（Vector Space）的嚴格定義與基本性質。我們通過集閤論的視角，確保讀者理解為何特定集閤（如多項式空間 $P_n$、函數空間 $C[a, b]$）可以構成嚮量空間。 子空間（Subspace）的概念，重點分析子空間的判定定理。 綫性組閤、綫性相關性與綫性無關性：這是理解基和維度的前提。我們通過反證法和秩的性質，深入探討綫性無關的本質。 生成集（Span）與子空間的構造。 第4章：基、維度與坐標變換 基（Basis）的定義和構造，以及如何從生成集中提取基。 維度（Dimension）定理的證明與應用。 坐標係（Coordinates）的概念，以及從一個基到另一個基的坐標變換矩陣的推導。這部分為後續的算子分析打下基礎。 四大基本子空間：列空間（Column Space）、零空間（Null Space）、行空間（Row Space）和左零空間（Left Null Space），以及它們之間的正交性關係（弗雷德裏剋斯定理的初步介紹）。 第二部分：綫性變換與特徵分析 (Linear Transformations and Spectral Analysis) 本部分將視角從抽象的嚮量空間轉嚮描述空間之間映射的綫性變換，並引入特徵值理論，這是應用數學中最具威力的工具之一。 第5章：綫性變換 綫性變換（Linear Transformation）的定義、核（Kernel）和像（Image）的概念。 矩陣與綫性變換的雙重身份：變換的錶示。 同構（Isomorphism）的概念，以及為什麼在有限維空間中，所有相同維度的嚮量空間在代數結構上是等價的。 變換的復閤與逆變換的矩陣錶示。 第6章：行列式 (Determinants) 行列式的定義：通過置換和Leibniz公式，強調其多綫性、反對稱的性質。 計算方法：利用行基本變換的性質計算行列式。 行列式的幾何意義：體積（或麵積）的縮放因子。 Cramer's Rule（剋拉默法則）作為理論工具的應用，而非首選的數值解法。 第7章：特徵值與特徵嚮量 (Eigenvalues and Eigenvectors) 特徵值問題 $Amathbf{v} = lambdamathbf{v}$ 的提齣與幾何解釋：變換下方嚮不變的嚮量。 特徵多項式的計算與特徵值的確定。 代數重數與幾何重數的概念區分與關係。 對角化（Diagonalization）的充分必要條件：綫性無關的特徵嚮量集閤。 第8章：相似性與矩陣的對角化 相似矩陣（Similar Matrices）的定義及其在不同基下錶示同一綫性變換的本質。 若一個 $n imes n$ 矩陣可對角化，則其特徵嚮量構成 $mathbb{R}^n$ 的一組基。 Jordan 標準型的引入（作為對角化失敗情況的補充），用於處理非對角化矩陣（如涉及復特徵值或重根但幾何重數不足時）。 冪次迭代法（Power Iteration）在求解主導特徵值中的應用。 第三部分：內積空間與正交性 (Inner Product Spaces and Orthogonality) 本部分擴展瞭嚮量空間的概念，引入瞭幾何結構——長度和角度，這是傅裏葉分析、最小二乘法和優化理論的基礎。 第9章：內積、長度與正交性 內積（Inner Product）的定義及其公理。標準內積（歐幾裏得點積）的推廣。 由內積導齣的長度（範數）和角度的概念。 正交性（Orthogonality）：兩個嚮量或子空間垂直的代數錶達。 正交補（Orthogonal Complement）的概念及其與四大基本子空間的關係。 第10章：正交投影與最小二乘法 正交投影定理：嚮量到子空間的最近點。 Gram-Schmidt 正交化過程：如何從任意基構造一組正交基（$mathbf{q}_1, mathbf{q}_2, ldots$）。 QR 分解：利用 Gram-Schmidt 過程，將任意矩陣分解為正交矩陣與上三角矩陣的乘積，是數值計算中的核心工具。 最小二乘解（Least Squares Solutions）：解決超定綫性方程組（Overdetermined Systems）的理論與幾何解釋。 第11章：對稱矩陣與二次型 對稱矩陣（Symmetric Matrices）的特殊性質：所有特徵值均為實數，且特徵嚮量相互正交。 譜定理（Spectral Theorem）的闡述與應用。 二次型（Quadratic Forms） $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的錶示。 正定、半正定性的判彆：通過特徵值或主子式（Schur 穩定判據）。 主軸定理（Principal Axes Theorem）：通過正交變換化二次型為隻含平方項的形式（在幾何上，這對應於鏇轉坐標係以消除交叉項）。 第四部分：應用與進階主題 (Applications and Advanced Topics) 本部分展示綫性代數在現代科學中的實際威力。 第12章：矩陣分解在數據科學中的應用 奇異值分解 (Singular Value Decomposition, SVD)：作為最強大的矩陣分解工具，它適用於任何矩陣（不要求方陣或對稱性）。 SVD 的幾何解釋：對單位圓進行拉伸、鏇轉、再鏇轉。 SVD 在主成分分析 (PCA) 中的核心作用：降維與數據壓縮。 低秩近似（Low-Rank Approximation）的意義。 第13章：動態係統的綫性模型 差分方程與馬爾可夫鏈：利用特徵值分析描述離散時間係統隨時間的演化。 穩定性和極限分布的判斷（基於特徵值模長）。 微分方程組：$mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 的解析解法，通過對角化或 Jordan 型來求解係統的瞬態行為。 第14章：綫性代數在優化中的作用 牛頓法的迭代公式中涉及Hessian矩陣的逆（或求解綫性係統）。 拉格朗日乘數法在約束優化中的幾何意義（梯度與約束法嚮量平行）。 全書的敘述風格力求清晰、邏輯遞進，每章均配有詳盡的推導過程和豐富的圖示輔助理解。我們希望讀者在閤上本書時，不僅能熟練運用高斯消元法或計算特徵值，更能從根本上理解嚮量空間、變換和正交性如何共同構成瞭現代定量分析的語言框架。

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