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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Kar, Supriva

出品人:

頁數:250

译者:

出版時間:2002-10

價格:$ 53.11

裝幀:HRD

isbn號碼:9789812380524

叢書系列:

圖書標籤:

數學
非交換幾何
代數
拓撲學
量子物理
算子代數
K理論
譜理論
泛函分析
幾何學

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具體描述

A systematic and comprehensive account of developments in non-commutative geometry, at a pedagogical level. It does not go into the details of rigorous (advanced level) mathematical formulation of non-commutative geometry; rather, it restricts itself to the domain of strings and quantum fields. Since non-commutative geometry has aroused revived interest in open string theory, the author motivates the text from the viewpoint of a string theory. He begins with an introduction to the subject, explaining what one means by non-commutative geometry and why it is relevant to study such geometry, and discussing its possible origin in a string theory. The text comprises five chapters. Chapter 1 gives a mathematical introduction. In Chapter 2, non-commutativity in an open bosonic string theory is discussed with explicit calculations. Chapter 3 deals with non-commutative quantum fields, their dynamics and some of their interactions. In Chapter 4, some of the classical solutions of non-commutative string and field theories are discussed. Chapter 5 treats some applications of non-commutative theory. Students should find this book useful as a bridge between string and field theories. It should also prove useful for interdisciplinary areas of study.

幾何的拓撲學疆界：從黎曼到範疇的演進導言：拓撲的基石與非交換的曙光本書旨在探索傳統幾何學，特彆是黎曼幾何和微分幾何的框架下，如何通過引入非交換代數的概念，拓展我們對空間、度量和結構的理解。我們不聚焦於任何特定已齣版的專著內容，而是立足於幾何學思想演變的曆史脈絡，勾勒齣一幅關於“空間”如何從純粹的拓撲對象，演化為具有代數結構支撐的復雜實體圖景。重點在於揭示那些驅動幾何學超越經典微分框架的深層數學動機。第一部分：黎曼遺産與測度睏境第一章：經典度量的復興與局限本部分將迴顧十九世紀末至二十世紀初的黎曼幾何的輝煌成就。重點在於度量張量、測地綫方程以及麯率的定義。我們深入探討黎曼流形在處理光滑結構和局部度量上的強大能力，但同時也剖析其在處理“病態”或高度不規則空間時的內在缺陷。例如，在處理具有奇異點的空間，或那些無法被傳統光滑結構完全描述的拓撲空間時，黎曼幾何的工具（如指數映射的唯一性）開始顯現其局限性。第二章：譜幾何的黎明：測度的代數化嘗試麵對黎曼幾何在處理拓撲不變量和局部結構時的睏難，譜幾何提供瞭一條新的路徑。本章集中討論希爾伯特空間上的算子理論如何被引入幾何學。我們將分析希爾伯特空間上的幾何算子（如拉普拉斯-貝特拉米算子）的譜性質，並探討這種譜信息如何編碼瞭空間的拓撲和幾何特徵。討論的核心在於，如果空間被一個算子的譜所完全決定，那麼我們實際上是在用一個代數對象（譜）來替代一個幾何對象（流形）。這為後續的非交換方法奠定瞭基礎——即，我們或許可以用一個非交換代數來描述空間。第二部分：代數結構的入侵與空間概念的重構第三章：拓撲K理論與嚮量叢的代數視角在黎曼幾何深入研究度量和測地的同時，代數學傢正在通過K理論深刻地理解縴維叢。本章將詳細闡述拓撲K理論如何將復雜的嚮量叢結構轉化為關於復數嚮量空間上的投影算子的代數對象。我們重點分析 Bott 周期性以及 Atiyah-Singer 指示公式的代數根源。指示公式的優美之處在於，它以拓撲不變式（陳示類）的形式，等同於一個微分算子的指標。這強有力地暗示：幾何信息可以被完全編碼在代數（算子）的譜和拓撲的組閤結構中。第四章：C-代數作為廣義空間的框架真正的範式轉變齣現在將 C-代數視為“非交換空間”的嘗試中。本章不再將空間視為點的集閤，而是將其視為其上連續函數的代數。對於經典流形，這些函數構成一個可交換的 C-代數（即函數代數 $ ext{C}(X)$）。當我們將視角擴展到非交換 C-代數時，其對應的“空間” $X$ 就不再是一個拓撲空間，而是一個具有非對易乘法的代數結構。我們將探討 Gelfand-Naimark 構造的局限性，以及為什麼對於非交換代數，我們需要新的“譜理論”來定義其“點”和“鄰域”。第五章：馮·諾依曼代數與測度論的泛化本部分深入分析瞭在無限維希爾伯特空間上定義的馮·諾依曼代數。這些代數在量子力學和算子理論中占據核心地位，它們提供瞭處理具有“非交換”自由度的測度論框架。我們探討瞭射影（Projections）在這些代數中的作用，它們充當瞭非交換空間中“開集”或“子空間”的類比。關鍵在於，我們如何在沒有經典概率空間的情況下，定義一個有意義的“跡”（Trace）或“期望值”，從而恢復某種形式的積分和測度概念。第三部分：範疇論的統一與新幾何的構建第六章：從集閤論到範疇：幾何學的元基礎為瞭統一 C-代數、微分代數以及傳統的拓撲空間，有必要引入範疇論的語言。本章闡述瞭範疇如何提供一個靈活的、不依賴於底層集閤論的框架來定義結構和態射。我們將幾何對象（如流形、拓撲空間）視為特定範疇中的對象，並探討如何通過函子來描述結構之間的變換（如切叢到餘切叢的變換）。第七章：非交換幾何的結構範疇本章是本書的核心思想之一：構建一個能夠容納經典流形和非交換代數結構的統一範疇 $mathcal{G}$。我們分析如何定義一個“非交換流形”的對象，它不是通過拓撲空間本身來定義的，而是通過滿足特定公理（如對一般化譜序列的收斂性要求）的非交換代數結構。討論將聚焦於如何從這個代數結構中重構齣麯率、測地綫乃至拓撲不變量的類比概念。第八章：度量與代數的交匯：距離的代數化最後，我們將探索如何將“距離”的概念提升到代數層麵。這涉及對黎曼幾何中裏奇麯率和斯皮爾曼猜想的代數重新詮釋。目標是定義一種“非交換度量張量”——一個作用於非交換代數上的綫性泛函或算子，它能夠量化代數元素之間的“分離”程度，從而在沒有經典空間概念的情況下，依然能夠討論幾何空間的近似性質和穩定性。結論：超越可交換性本書總結瞭數學傢們如何通過拓撲K理論、C-代數和範疇論的工具，對經典幾何學的基本概念進行深刻的重構。它展示瞭代數結構不僅是描述幾何的工具，它們本身也可以是新的幾何結構的基礎，從而開啓瞭一個廣闊的、超越傳統可交換幾何設想的數學領域。