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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Kar, Supriva

出品人:

页数:250

译者:

出版时间:2002-10

价格:$ 53.11

装帧:HRD

isbn号码:9789812380524

丛书系列:

图书标签:

数学
非交换几何
代数
拓扑学
量子物理
算子代数
K理论
谱理论
泛函分析
几何学

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具体描述

A systematic and comprehensive account of developments in non-commutative geometry, at a pedagogical level. It does not go into the details of rigorous (advanced level) mathematical formulation of non-commutative geometry; rather, it restricts itself to the domain of strings and quantum fields. Since non-commutative geometry has aroused revived interest in open string theory, the author motivates the text from the viewpoint of a string theory. He begins with an introduction to the subject, explaining what one means by non-commutative geometry and why it is relevant to study such geometry, and discussing its possible origin in a string theory. The text comprises five chapters. Chapter 1 gives a mathematical introduction. In Chapter 2, non-commutativity in an open bosonic string theory is discussed with explicit calculations. Chapter 3 deals with non-commutative quantum fields, their dynamics and some of their interactions. In Chapter 4, some of the classical solutions of non-commutative string and field theories are discussed. Chapter 5 treats some applications of non-commutative theory. Students should find this book useful as a bridge between string and field theories. It should also prove useful for interdisciplinary areas of study.

几何的拓扑学疆界：从黎曼到范畴的演进导言：拓扑的基石与非交换的曙光本书旨在探索传统几何学，特别是黎曼几何和微分几何的框架下，如何通过引入非交换代数的概念，拓展我们对空间、度量和结构的理解。我们不聚焦于任何特定已出版的专著内容，而是立足于几何学思想演变的历史脉络，勾勒出一幅关于“空间”如何从纯粹的拓扑对象，演化为具有代数结构支撑的复杂实体图景。重点在于揭示那些驱动几何学超越经典微分框架的深层数学动机。第一部分：黎曼遗产与测度困境第一章：经典度量的复兴与局限本部分将回顾十九世纪末至二十世纪初的黎曼几何的辉煌成就。重点在于度量张量、测地线方程以及曲率的定义。我们深入探讨黎曼流形在处理光滑结构和局部度量上的强大能力，但同时也剖析其在处理“病态”或高度不规则空间时的内在缺陷。例如，在处理具有奇异点的空间，或那些无法被传统光滑结构完全描述的拓扑空间时，黎曼几何的工具（如指数映射的唯一性）开始显现其局限性。第二章：谱几何的黎明：测度的代数化尝试面对黎曼几何在处理拓扑不变量和局部结构时的困难，谱几何提供了一条新的路径。本章集中讨论希尔伯特空间上的算子理论如何被引入几何学。我们将分析希尔伯特空间上的几何算子（如拉普拉斯-贝特拉米算子）的谱性质，并探讨这种谱信息如何编码了空间的拓扑和几何特征。讨论的核心在于，如果空间被一个算子的谱所完全决定，那么我们实际上是在用一个代数对象（谱）来替代一个几何对象（流形）。这为后续的非交换方法奠定了基础——即，我们或许可以用一个非交换代数来描述空间。第二部分：代数结构的入侵与空间概念的重构第三章：拓扑K理论与向量丛的代数视角在黎曼几何深入研究度量和测地的同时，代数学家正在通过K理论深刻地理解纤维丛。本章将详细阐述拓扑K理论如何将复杂的向量丛结构转化为关于复数向量空间上的投影算子的代数对象。我们重点分析 Bott 周期性以及 Atiyah-Singer 指示公式的代数根源。指示公式的优美之处在于，它以拓扑不变式（陈示类）的形式，等同于一个微分算子的指标。这强有力地暗示：几何信息可以被完全编码在代数（算子）的谱和拓扑的组合结构中。第四章：C-代数作为广义空间的框架真正的范式转变出现在将 C-代数视为“非交换空间”的尝试中。本章不再将空间视为点的集合，而是将其视为其上连续函数的代数。对于经典流形，这些函数构成一个可交换的 C-代数（即函数代数 $ ext{C}(X)$）。当我们将视角扩展到非交换 C-代数时，其对应的“空间” $X$ 就不再是一个拓扑空间，而是一个具有非对易乘法的代数结构。我们将探讨 Gelfand-Naimark 构造的局限性，以及为什么对于非交换代数，我们需要新的“谱理论”来定义其“点”和“邻域”。第五章：冯·诺依曼代数与测度论的泛化本部分深入分析了在无限维希尔伯特空间上定义的冯·诺依曼代数。这些代数在量子力学和算子理论中占据核心地位，它们提供了处理具有“非交换”自由度的测度论框架。我们探讨了射影（Projections）在这些代数中的作用，它们充当了非交换空间中“开集”或“子空间”的类比。关键在于，我们如何在没有经典概率空间的情况下，定义一个有意义的“迹”（Trace）或“期望值”，从而恢复某种形式的积分和测度概念。第三部分：范畴论的统一与新几何的构建第六章：从集合论到范畴：几何学的元基础为了统一 C-代数、微分代数以及传统的拓扑空间，有必要引入范畴论的语言。本章阐述了范畴如何提供一个灵活的、不依赖于底层集合论的框架来定义结构和态射。我们将几何对象（如流形、拓扑空间）视为特定范畴中的对象，并探讨如何通过函子来描述结构之间的变换（如切丛到余切丛的变换）。第七章：非交换几何的结构范畴本章是本书的核心思想之一：构建一个能够容纳经典流形和非交换代数结构的统一范畴 $mathcal{G}$。我们分析如何定义一个“非交换流形”的对象，它不是通过拓扑空间本身来定义的，而是通过满足特定公理（如对一般化谱序列的收敛性要求）的非交换代数结构。讨论将聚焦于如何从这个代数结构中重构出曲率、测地线乃至拓扑不变量的类比概念。第八章：度量与代数的交汇：距离的代数化最后，我们将探索如何将“距离”的概念提升到代数层面。这涉及对黎曼几何中里奇曲率和斯皮尔曼猜想的代数重新诠释。目标是定义一种“非交换度量张量”——一个作用于非交换代数上的线性泛函或算子，它能够量化代数元素之间的“分离”程度，从而在没有经典空间概念的情况下，依然能够讨论几何空间的近似性质和稳定性。结论：超越可交换性本书总结了数学家们如何通过拓扑K理论、C-代数和范畴论的工具，对经典几何学的基本概念进行深刻的重构。它展示了代数结构不仅是描述几何的工具，它们本身也可以是新的几何结构的基础，从而开启了一个广阔的、超越传统可交换几何设想的数学领域。