Regularization of Ill-posed Problems by Iteration Methods pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Kluwer Academic Pub

作者:Gilyazov, S. F./ Gol'Dman, N. L.

出品人:

页数:351

译者:

出版时间:1999-12

价格:$ 145.77

装帧:HRD

isbn号码:9780792361312

丛书系列:

图书标签:

迭代方法
反问题
正则化
数值分析
优化算法
泛函分析
近似解
误差分析
机器学习
信号处理

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具体描述

This volume presents new results in regularization of ill-posed problems by iteration methods, which is one of the most important and rapidly developing topics of the theory of ill-posed problems. The new theoretical results are connected with the proposed united approach to the proof of regularizing properties of the 'classical' iteration methods (steepest descent, conjugate direction) complemented by the stopping rule depending on the level of errors in the input data. Much emphasis is given to the choice of the iteration index as the regularization parameter and to the rate convergence estimates of the approximate solutions. Results of calculations for important applications in non-linear thermophysics are also presented. Audience: This work will be a useful resource for specialists in the theory of partial differential and integral equations, in numerical analysis and in theory and methods.

好的，这是一本关于非线性优化理论与现代算法的专业著作的详细简介，内容专注于该领域的核心概念、方法及其在实际工程中的应用，且不涉及您提到的关于迭代正则化方法或反问题的具体内容。 --- 优化理论前沿：非线性约束优化与高效求解策略书籍简介《优化理论前沿：非线性约束优化与高效求解策略》是一部深入探讨现代优化理论，特别是针对大规模、复杂非线性约束优化问题的专著。本书旨在为数学、计算机科学、运筹学、工程控制以及金融工程领域的科研人员和高级工程师提供一套全面、严谨且实用的理论框架和先进的计算工具。在工程实践和科学建模中，许多核心问题最终都归结为寻找一组变量，使得某个目标函数在满足一系列复杂的非线性等式或不等式约束的同时达到最优（最小或最大）值。本书摒弃了对基础线性规划的重复介绍，而是将焦点集中于处理高维、非凸、大规模的非线性约束优化问题（Nonlinear Constrained Optimization, NCO）。第一部分：理论基础与问题结构分析本书伊始，首先对非线性优化问题的数学结构进行了深入剖析。我们详细阐述了凸优化与非凸优化的本质区别，并重点讨论了非凸性对求解过程的挑战。 1. 优化问题的精确描述与分类：本部分清晰界定了带有等式约束 $h(mathbf{x}) = 0$ 和不等式约束 $g(mathbf{x}) le 0$ 的一般形式的非线性优化问题。我们引入了KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件作为局部最优解的必要条件，并深入分析了在不同约束类型下KKT条件的完备性和有效性。特别地，我们探讨了强对偶性（Strong Duality）在凸优化中的作用，并分析了在非凸情况下对偶理论的局限性与扩展。 2. 局部最优性与几何性质：本书强调理解最优点的局部几何特性。我们详细介绍了二阶充分条件（Second-Order Sufficient Conditions, SOSC），阐明了如何利用Hessian矩阵（或其作用于可行方向上的二次型）的性质来判断一个驻点是局部极小值、极大值还是鞍点。此外，我们引入了几何乘子的概念，用以解释约束条件对最优目标函数值的影响和敏感度分析。 3. 约束处理的机制：传统的处理约束的方法往往效率低下或数值不稳定。本部分着重介绍了罚函数方法（Penalty Methods）的现代改进，如内点法中的障碍函数（Barrier Functions）的构造原理。我们探讨了如何设计惩罚参数（或障碍参数）的更新策略，以确保序列的收敛性和鲁棒性。第二部分：现代算法框架与核心技术本部分是本书的核心，聚焦于当前最前沿且高效的非线性约束求解算法。我们将算法划分为两大主要阵营进行系统讲解：序列二次规划（SQP）家族和内点法（Interior-Point Methods）。 1. 序列二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP）： SQP 方法被公认为是求解中小型非线性约束问题的黄金标准之一。本书详尽阐述了SQP的核心思想：在每一步迭代中，通过求解一个局部二次规划子问题来确定搜索方向。子问题求解：详细分析了求解二次规划子问题的不同技术，包括使用Cholesky分解或共轭梯度法。拟牛顿近似：鉴于计算精确的Hessian矩阵成本过高，本书深入探讨了如何使用BFGS或L-BFGS来近似Hessian矩阵或其与搜索方向的乘积（即拟牛顿SQP），从而大大提升了算法的效率和可扩展性。线搜索与信赖域策略：讨论了如何使用非线性约束下的精确线搜索和信赖域（Trust Region）方法来保证每一步迭代的全局收敛性，特别是当初始点离最优解较远时。 2. 内点法（Interior-Point Methods, IPMs）在约束优化中的应用：内点法是求解大规模优化问题的强大工具，特别是在商业求解器中的普及度极高。本书专注于牛顿型内点法（Newton-type IPMs）。障碍函数与中心路径：详细描述了如何将不等式约束转化为一系列障碍问题，并构建中心路径（Central Path）。求解算法本质上是沿着该路径的牛顿步。 KKT系统的线性化：内点法的核心在于求解一个大型的、稀疏的、有时是奇异的增广系统（Augmented System）。本书提供了求解该线性系统的现代技术，包括稀疏直接求解器的应用和预条件子（Preconditioner）的设计策略，以应对高维问题中矩阵运算的瓶颈。混合方法与定制：探讨了如何结合SQP的局部精确性和内点法的全局收敛特性，形成混合方法，以平衡计算成本和收敛速度。第三部分：算法的鲁棒性、大规模化与应用实践现代优化必须面对数据的噪声、计算资源的限制以及对结果鲁棒性的要求。 1. 求解器的数值鲁棒性：在实际应用中，计算机浮点精度限制和病态矩阵（Ill-conditioned matrices）是常见挑战。本书讨论了如何设计数值稳定的算法，例如使用修改的Cholesky分解来保证Hessian矩阵的（拟）正定性，以确保搜索方向的可靠性。 2. 稀疏性与大规模问题处理：针对拥有数百万变量和约束的大规模问题，计算复杂度是决定性因素。我们探讨了如何利用问题的稀疏结构来优化存储和计算效率。这包括矩阵分解技术的稀疏化、并行计算在矩阵向量乘法中的应用，以及在算法设计层面如何避免频繁进行昂贵的全矩阵运算。 3. 实际工程中的应用案例（非反问题聚焦）：本书通过多个工程实例展示了这些算法的有效性，这些案例涵盖了：结构优化设计：最小化材料用量同时满足强度和刚度约束。过程控制：在系统动态模型限制下实现最优的生产调度或路径规划。资源分配与组合优化：在满足容量和需求约束下的复杂资源调度问题。目标读者本书面向具有扎实的微积分、线性代数和初步优化知识的读者。它尤其适合于：研究生（硕士与博士）和从事数值优化研究的学者。需要开发或定制优化求解器的软件工程师。在航空航天、能源、金融建模中处理复杂优化任务的工程师。通过系统学习本书内容，读者将不仅掌握非线性约束优化的核心算法，还能理解其背后的数学原理，从而能够批判性地选择、应用和改进现代优化求解器。