Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Lunardi, Alessandra

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:1405.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9780817651725

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 抛物型方程
• 半群理论
• 泛函分析
• 正则性
• 最优正则性
• 分析学
• 数值分析
• 无穷维空间
• 演化方程

好的，以下是根据您的要求，围绕一本名为《Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems》的书籍，撰写的一份内容详尽、不提及原书内容的图书简介。 --- 抽象与非线性：现代偏微分方程的动力学分析 图书名称： 抽象与非线性：现代偏微分方程的动力学分析 内容简介： 本书深入探讨了现代偏微分方程（PDEs）理论中的关键领域，特别是那些涉及非线性演化、奇异扰动以及高维空间中动力学行为的课题。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为研究人员、高级研究生以及对数学物理、流体力学、金融数学等领域有深入兴趣的读者提供一套全面的分析工具箱。 第一部分：泛函分析基础与演化方程 本书的开篇聚焦于为后续的复杂分析奠定坚实的泛函分析基础。我们首先回顾了Banach空间和Hilbert空间上的算子理论，重点阐述了无界算子、稠密定义域以及自伴随算子的谱理论。这些概念不仅是理解线性演化方程的核心，也是处理非线性问题稳定性和局部解存在性的先决条件。 紧接着，我们转向一类重要的线性演化方程——抛物型方程的解的正则性理论。 我们详细分析了具有变系数和不规则边界的齐次和非齐次抛物型方程。通过引入H"older空间和Sobolev空间，我们构建了关于时间变量和空间变量的混合范数框架，并利用傅里叶积分变换和拉普拉斯逆算子技术，系统地推导了经典解的先验估计。其中，对热核（Heat Kernel）性质的深入分析，尤其是其在亚椭圆性条件下的估计，构成了后续处理非线性项的基石。 动力系统视角下的演化： 本部分的一个重要特色是将偏微分方程视为无穷维空间中的常微分方程。我们探讨了由线性算子生成的连续半群理论，特别是$C_0$半群的性质。这使我们能够将瞬态解的演化问题转化为寻找满足特定泛函微分方程的轨迹问题。我们详细考察了生成元在特定函数空间（如$L^p$或Bessel势空间）上的密度性质，并讨论了指数稳定性和遍历行为。 第二部分：非线性挑战与不动点理论 进入第二部分，我们将焦点从线性框架转向更具挑战性的非线性偏微分方程。非线性项的出现，使得传统的线性叠加原理失效，对解的存在性、唯一性及稳定性分析提出了更高的要求。 非线性算子的迭代与不动点： 书中重点介绍了处理非线性演化方程的不动点定理工具集。我们详细阐述了Banach压缩映射原理在局部光滑解存在性证明中的应用。对于更广义的非光滑或局部Lipschitz连续的非线性项，我们深入研究了Schauder不动点定理和Tychonoff不动点定理在紧致嵌入空间中的有效性。在讨论中，特别强调了如何构造合适的参数空间和合适的凸紧集，以满足定理的应用条件。 粘性解与弱解的概念： 针对涉及梯度依赖的非线性耗散方程，如高阶梯度流或非线性对流-扩散方程，传统的强解概念往往难以维系。本书引入了粘性解（Viscosity Solutions）的概念，这对于分析鞍点问题和具有尖锐非线性项的方程至关重要。我们详细论证了粘性解的存在性、唯一性以及它们与传统解（如果存在）之间的联系，并给出了粘性解在某些情况下等价于极小极大解的证明路径。 分岔理论与稳定性分析： 当非线性参数变化时，系统的平衡点结构可能发生剧烈变化。本书专门辟出一章讨论分岔理论在PDEs中的应用，特别是Hopf分岔和Pitchfork分岔在模式形成问题中的体现。我们利用临界点理论和Lyapunov函数方法，分析了固定点或周期解的稳定性，并引入了指数稳定的概念来量化系统偏离平衡点的恢复速度。 第三部分：奇异扰动与正则化方法 第三部分聚焦于处理那些在特定极限下结构会发生显著变化的系统，即奇异扰动问题。这在描述具有快速尺度分离的物理现象时尤为重要。 多尺度分析与边界层理论： 我们详细研究了涉及小参数 $epsilon$ 的抛物型方程，其中 $epsilon$ 影响了扩散项的强度或对流项的系数。我们应用匹配渐近展开法（Method of Matched Asymptotic Expansions）来构造解的整体近似。这需要精确地分离外层解（Outer Solution）和内层解（Inner Solution，即边界层解），并通过匹配条件将两者连接起来。我们分析了由对流项引起的锐利梯度区域（边界层或内部层）的宽度估计和行为特征。 正则化与数值逼近的理论联系： 奇异扰动问题常常需要依赖于正则化技术来获得可解的形式。本书探讨了诸如Penalization和Regularization方法，这些方法将原始的奇异问题转化为一个在小扰动下具有光滑解的近似问题。我们提供了关于这种正则化过程的误差估计，并论证了当正则化参数趋于零时，近似解向原系统解收敛的速率和机制。这为理解和验证数值方法的稳定性提供了重要的理论支撑。 高维空间中的挑战： 随着空间维度的增加（$d o infty$），许多技术，如最大值原理和某些能量估计，会变得不再直接适用。本书讨论了在高维非线性扩散方程中，如何利用概率论工具（如随机微分方程的解的视角）和粗粒化方法来克服维数灾难带来的分析困难。 第四部分：能量方法与耗散结构 本书的收尾部分回归到能量方法的严格构造，这是证明解的先验存在性和全局存在性的核心工具。 Lyapunov 泛函的构建： 我们系统地介绍了如何为非线性抛物型方程设计合适的Lyapunov泛函（或称能量泛函），使其时间导数与解本身或耗散项相关联。重点讨论了二次能量泛函在对数-Lipschitz 类型的非线性项中的局限性，并展示了如何通过引入分数导数或对数导数来构造更精细的能量函数。 爆破分析与有限时间奇性： 针对某些非线性项（例如幂律非线性），解的存在性可能仅限于有限时间。我们运用临界指数理论和分母积分检验，精确地界定了可能发生爆破（Blow-up）的条件。通过对能量泛函时间导数的符号分析和利用下界估计，我们确定了解在特定点或区域内，其范数如何以幂律速率趋向无穷大，并讨论了爆破点的唯一性。 耗散与维持： 最后，本书探讨了在耗散（如阻尼项）和激发（如源项）相互竞争的系统中，解的长期行为。我们利用谱分析和特征值分离的原理，证明了在耗散作用占优的条件下，系统最终会收敛到平衡态，并对收敛的指数速率进行了量化估计。 --- 本书的特点： 本书的编写风格强调数学推导的严密性和物理意义的契合。它避免了对具体物理模型的冗余描述，而专注于抽象范畴内工具的开发和应用。全书通过对算子理论、不动点理论、渐近分析和能量方法的综合运用，为读者提供了一个分析现代非线性演化系统的强大、统一的框架。读者在阅读过程中需要具备扎实的实分析和泛函分析背景。

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