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出版者:McGraw-Hill Science/Engineering/Math

作者:Robert T Smith

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:2006-03-07

价格:$ 85.32

装帧:Paperback

isbn号码:9780072869576

丛书系列:

图书标签:

• Calculus
• Solutions Manual
• Student's Solutions Manual
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Engineering
• Science
• Calculus
• Problem Solving

综合微积分学习指南：理论、应用与深度解析 本书旨在为所有学习微积分的学生提供一套全面且深入的辅助学习材料，其内容覆盖微积分学从基础概念到高级应用的全部核心领域。我们专注于构建坚实的理论基础，并辅以丰富的实例和练习，以期帮助学习者真正掌握微积分的精髓。 第一部分：极限、连续性与导数的基础构建 本部分是整个微积分体系的逻辑起点。我们不只是简单地呈现定义，而是深入探讨极限背后的直觉与严谨性。 1.1 极限的本质与计算 极限的直观理解： 通过函数图像和数列逼近的几何解释，帮助初学者建立对“无限接近”概念的感性认识。 $varepsilon-delta$ 语言的精确表达： 详细解析极限的正式定义，并提供一系列逐步升级的证明示例，从基本的多项式函数到涉及三角函数和绝对值的复杂表达式。强调理解 $varepsilon$ 和 $delta$ 之间的相互制约关系。 极限的代数技巧： 深入讲解如何处理不定型（如 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$），包括有理化、因式分解以及利用等价无穷小量进行快速求解。 单侧极限与无穷极限： 探讨函数在特定点左、右两侧的行为差异，以及函数值趋向于正无穷或负无穷的情况，为理解垂直渐近线做铺垫。 1.2 连续性：从局部到全局的平滑过渡 连续性的定义与分类： 阐述函数在某点连续的三个条件，并区分可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。 连续函数的性质： 详细证明和应用介值定理（Intermediate Value Theorem），展示其在证明方程根存在性方面的强大威力。 一致连续性（Optional）： 对于有深入研究意愿的学生，本章会引入一致连续性的概念，并对比其与点态连续性的区别。 1.3 导数的概念与定义 切线斜率的几何意义： 从平均变化率过渡到瞬时变化率，清晰界定导数的定义式。 导数的物理意义： 将导数与速度、加速度等实际物理量联系起来，强调其作为变化率的衡量标准。 基本微分法则： 系统梳理幂法则、乘法法则、除法法则以及链式法则的推导过程和应用。重点在于熟练掌握链式法则在复合函数中的灵活运用。 1.4 导数的应用：分析函数行为 隐含微分法： 讲解如何处理不显式表达为 $y=f(x)$ 的方程，如圆和椭圆的求导。 相关变化率问题： 提供一套系统性的解题步骤，指导学生识别已知量、未知量以及它们之间随时间（或变量）变化的关系。 导数在优化问题中的应用： 引入一阶导数检验（判定函数的增减区间和局部极值点）和二阶导数检验（判定函数的凹凸性和拐点）。通过详尽的步骤分析，解决最大值和最小值问题。 第二部分：积分学——累积与面积的艺术 第二部分将焦点转向积分，这是解决累积和求和问题的核心工具。 2.1 定积分与不定积分的桥梁 黎曼和的构建： 详细解释定积分的定义是如何通过对区间进行无限细分和求和（黎曼和）得来的，强调“面积”的严格定义。 微积分基本定理 (FTC)： 深入探讨 FTC 第一部分和第二部分，这是连接微分和积分的基石。提供多个角度的证明思路，展示积分是如何“微分的逆运算”。 牛顿-莱布尼茨公式的实践： 大量示例展示如何运用 FTC 求解定积分，并讨论积分上下限改变对结果的影响。 2.2 积分的计算方法 本章是技巧的集中展示，强调对不同类型被积函数的识别和选择合适的积分技巧。 换元积分法（Substitution Rule）： 强调选择 $u$ 的关键，并指导学生在定积分中如何同步替换积分上下限。 分部积分法 (Integration by Parts)： 详细解释 $int u dv = uv - int v du$ 的选取策略（如 LIATE 法则的应用），并展示其在处理对数函数和反三角函数积分中的威力。 三角函数积分： 系统性地分类处理三角函数的奇次幂和偶次幂的积分，包括使用半角公式的技巧。 三角代换法： 针对含有 $sqrt{a^2-x^2}$, $sqrt{a^2+x^2}$, $sqrt{x^2-a^2}$ 形式的被积函数，详细说明选择 $sin heta$, $ an heta$, $sec heta$ 替换的原理。 部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition)： 详细讲解如何对有理函数进行分解，并提供如何处理不同类型的因子（线性因子、不可约二次因子）的完整步骤。 2.3 积分的应用拓展 面积与体积计算： 平面区域的面积： 讲解使用垂直切片（关于 $x$ 轴）和水平切片（关于 $y$ 轴）计算面积，以及如何处理两个函数夹带的区域。 旋转体的体积： 详细推导并应用圆盘法、圆环法（Washer Method）以及著名的壳层法（Shell Method），并重点分析何时应选择哪种方法以简化计算。 平均值与功的计算： 将积分应用于物理和工程问题，如计算函数在区间上的平均值，以及计算力的功。 第三部分：超越有限的积分——无穷级数与序列 本部分将分析无限序列和级数的收敛性，这是从有限求和迈向分析学深度的关键一步。 3.1 数列与级数的基础 数列的收敛性： 考察数列极限的性质，如夹逼定理的应用。 级数的基本概念： 区分序列和级数，引入部分和（Partial Sums）的概念来定义级数的和。 检验收敛性的初步工具： 掌握 $n$ 项检验（测试项不趋于零），以及几何级数和 $p$-级数的判别。 3.2 级数收敛性的判别法 正项级数判别法： 详细阐述比较试验、极限比较试验、积分判别法（并给出积分判别的几何意义）。 交错级数： 引入交错级数，并应用莱布尼茨判别法（Alternating Series Test），区分条件收敛与绝对收敛。 比值判别法与根值判别法： 展示这两个强大的工具在处理因子阶乘或 $n$ 次方形式的级数时的优势。 3.3 幂级数与泰勒级数 幂级数与收敛半径： 使用比值判别法求出幂级数的收敛区间和收敛半径。 泰勒与麦克劳林级数： 详细推导常见函数的泰勒展开式（如 $e^x, sin x, cos x$），并解释如何利用这些级数来近似计算函数值或求解微分方程。 泰勒级数的余项估计： 介绍拉格朗日余项，用于精确估计泰勒多项式近似的误差范围。 通过上述三个部分的系统学习，学生不仅能够熟练掌握微积分的计算技巧，更能深入理解其背后的数学逻辑和在自然科学与工程中的广泛应用。本书侧重于概念的澄清和解题方法的结构化，确保学习者能够自信地应对各类微积分挑战。

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