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出版者:Prentice Hall

作者:Sullivan, Michael

出品人:

页数:1164

译者:

出版时间:2006-1

价格:$ 185.32

装帧:HRD

isbn号码:9780131874756

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

深入探究：微积分的基石与跨越 本书并非那本您已知的《Precalculus》教材，而是一部旨在为读者系统构建和巩固微积分学习所需数学基础的深度专著。我们的目标是超越传统预备课程的表面介绍，深入挖掘支撑微积分理论的每一个关键概念，确保读者在进入高等数学殿堂时，拥有无可动摇的知识结构和敏锐的数学直觉。 本书的结构精心设计，分为五大核心模块，每个模块都环环相扣，旨在引导读者完成从代数思维到函数分析，再到极限概念的平稳过渡。 第一部分：代数与函数的坚实地基 (The Bedrock of Algebra and Functions) 本部分将重新审视并深化对代数核心概念的理解，为后续复杂的分析打下坚实基础。我们不会仅仅停留在公式的机械应用，而是侧重于理解代数结构背后的逻辑。 1. 拓展的数系与运算律的再探： 我们将从实数系统出发，系统地引入复数系统。复数的几何表示（复平面）、德莫弗定理（De Moivre's Theorem）及其在周期性问题中的应用，将被详尽阐述。重点不在于计算，而在于理解代数结构在更高维度空间中的延展性。 2. 函数：现代数学的语言： 函数不再仅仅是输入到输出的映射。本章将深入探讨函数的内在性质：单射性、满射性、反函数存在的条件及其构造。我们将分析函数的复合操作，强调其在建模现实世界中多阶段过程中的重要性。此外，我们将详细探讨多项式函数、有理函数，重点分析它们的渐近行为、根的分布及其在笛卡尔坐标系中的精确图像描绘方法，包括利用洛必达法则（在不预设微积分知识的前提下，通过多项式除法和近似分析）来推导某些行为。 3. 变换、对称与周期性： 对函数图像的平移、伸缩、反射等几何变换进行严谨的代数描述。理解函数对称性（奇偶性）与周期函数（如三角函数基础）之间的深层联系。本节将用向量的初步概念来辅助理解某些变换的组合效果。 第二部分：三角学的几何与分析统一 (Unifying Trigonometry: Geometry and Analysis) 本部分致力于消除三角学作为孤立知识点的地位，将其整合为描述周期性现象和几何关系的核心工具。 1. 弧度制与单位圆的解析： 超越角度的度量，重点分析弧长与角速度的关系。单位圆不再只是记忆正弦余弦值的工具，而是定义三角函数在所有实数域上（而非仅限 $[0, 2pi]$）的解析基础。我们将推导欧拉公式（Euler's Formula）的基础形式，展示三角函数与指数函数的内在联系，尽管不深入复变函数，但其基础概念将为后续学习埋下伏笔。 2. 三角恒等式的深度挖掘： 不再满足于背诵和简单的代换。本章将通过几何证明（如和差角公式的几何推导）和代数构造来理解这些恒等式的来源。和差化积、积化和差公式的推导将展示如何将三角函数的加性问题转化为乘性问题，这在信号处理和波动分析中至关重要。 3. 三角方程的求解策略： 针对复杂三角方程，我们将发展一套系统化的解题流程，包括：化简、变量代换、利用周期性确定通解集。特别关注如何处理周期交叠和解的冗余问题。 第三部分：指数与对数函数：增长与衰减的建模 (Modeling Growth and Decay: Exponentials and Logarithms) 本模块将指数和对数函数提升到描述自然界中动态变化过程的核心地位。 1. 自然指数增长的起源： 我们将从离散复利问题出发，通过极限的直观理解，自然地导出常数 $e$ 的定义。这不是一个凭空出现的常数，而是连续变化率的必然结果。本节将强调 $e^x$ 作为唯一一个导数等于自身的函数的特性，并用严格的代数方法（如二项式展开的极限）来证明其增长的“纯粹性”。 2. 对数的逆向思维与应用： 对数函数被定位为指数函数的逆运算，重点在于理解其在尺度转换中的作用（如 pH 值、分贝、里氏震级）。我们将详细解析换底公式的代数证明，并讨论对数在简化乘法和幂运算中的历史意义。 3. 复合增长模型的构建： 应用指数和对数函数解决实际问题，如放射性衰变、人口增长模型，以及债务摊销的计算。关键在于理解函数模型的参数（增长率、初始值）在现实背景下的物理意义。 第四部分：解析几何的复兴与向量的初步接触 (Revival of Analytic Geometry and Introduction to Vectors) 本部分将代数、函数与几何空间进行深度融合，为理解多变量微积分做准备。 1. 曲线的精确描绘： 圆锥曲线——抛物线、椭圆、双曲线——的标准方程的推导将基于其几何定义（如焦点和准线的距离关系），而不是简单的配方。重点在于识别曲线的焦点、顶点、离心率，并理解离心率如何决定曲线的“形状”。 2. 坐标系的转换与旋转： 分析如何通过坐标系旋转来消除圆锥曲线方程中的交叉项 ($xy$ 项)，从而化简其标准形式。这要求读者掌握基础的三角函数和旋转矩阵（矩阵概念可作初步介绍，侧重其几何意义）。 3. 平面上的向量基础： 引入二维向量的概念，将其视为具有大小和方向的量。向量的加法、减法、标量乘法在几何上和代数上的表示。重点讲解向量的点积（内积），揭示其与投影和两向量夹角之间的关系，这是后续微分中“方向导数”概念的雏形。 第五部分：极限的直觉构建 (Intuitive Construction of Limits) 这是全书的收官与升华。本部分的目标是建立对“无限接近”这一概念的严格、非直观的理解，为微积分的 $epsilon-delta$ 语言做准备，但暂时不使用严格的 $epsilon-delta$ 符号，而是采用更具解释性的语言。 1. 序列与数列的收敛性： 分析数列的极限，理解极限存在与否的条件。通过有界单调数列收敛定理（不作严格证明，但强调其逻辑必要性），巩固对“无限过程”的把握。 2. 函数的极限概念（直观）： 通过一系列精巧构造的函数（如 $frac{sin x}{x}$ 在 $x o 0$ 时的行为，或分段函数的跳跃点），直观地阐释左极限、右极限以及极限存在的意义。强调极限关注的是“路径”而非“终点”。 3. 连续性的解析理解： 将连续性定义为“函数在某点的值等于该点的极限”，并探究其几何意义——图像上不存在“断点”或“洞”。分析不连续的类型（可去、跳跃、无穷不连续）。 4. 无穷大与无穷小： 将无穷大视为一种“行为”而非一个“数”。分析有理函数和三角函数中出现无穷大和无穷小的常见情况，并预示这些概念将如何通过导数和积分来精确量化。 本书的编写风格力求严谨、深入，旨在培养读者对数学概念的深刻洞察力，使其能够带着成熟的代数和几何分析工具，自信地迈入微积分的学习旅程。我们相信，对基础的透彻理解，是攀登数学高峰的唯一途径。

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