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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Andrew Baker

出品人:

页数:330

译者:

出版时间:2003-10

价格:USD 59.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781852334703

丛书系列:Springer Undergraduate Mathematics Series

图书标签:

• 数学
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《矩阵群：理论与应用》 本书深入探讨了数学中一个引人入胜且至关重要的领域——矩阵群。我们旨在为读者提供对这一概念的全面理解，从其基本定义和结构，到其在现代数学和科学各个分支中的广泛应用。本书力求平衡理论的严谨性和应用的直观性，使之成为数学专业学生、研究人员以及对代数结构及其应用感兴趣的广大读者的理想读物。 第一部分：基础理论 在本书的开篇，我们将建立起理解矩阵群所需的核心概念。 群论基础： 我们首先回顾群的公理定义——一个集合，连同一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。我们将介绍一些基本群的概念，如子群、陪集、正规子群、同态和同构。这些基础知识对于理解更为复杂的矩阵群结构至关重要。 矩阵与线性代数回顾： 接着，我们将简要回顾矩阵和线性代数中的一些关键概念，包括矩阵的运算（加法、乘法）、行列式、逆矩阵、迹、特征值和特征向量。这些工具将是我们研究矩阵群的语言和基础。 定义矩阵群： 本章将正式引入矩阵群的概念。我们将定义一个矩阵群为一个可逆方阵的集合，该集合在一个群结构下构成一个群。我们将重点关注一般线性群 $GL(n, mathbb{F})$，其中 $mathbb{F}$ 是一个域（如实数域 $mathbb{R}$ 或复数域 $mathbb{C}$）。我们将介绍其单位元（单位矩阵）、逆元（矩阵的逆）以及乘法运算。 特殊线性群与正交群： 在此基础上，我们将深入研究一些重要的矩阵子群。特殊线性群 $SL(n, mathbb{F})$ 由行列式为1的矩阵组成，它在保持体积方面扮演着重要角色。正交群 $O(n)$ 由保持欧几里得长度和角度的矩阵组成，其在几何变换中具有核心地位。我们将探讨它们的代数性质和几何意义。 酉群与辛群： 进一步，我们将介绍酉群 $U(n)$，它是复数域上的正交群的推广，在量子力学中有广泛应用。辛群 $Sp(2n)$ 在经典力学和量子场论中也扮演着关键角色。我们将分析这些群的结构和特性。 群的表示理论简介： 虽然不是矩阵群的直接组成部分，但表示理论为理解抽象群提供了一个强大的框架，而矩阵群本身就是一种具体的表示。我们将简要介绍表示的概念，即一个抽象群同态到一个由矩阵组成的群。这为我们从更抽象的角度理解矩阵群的性质打开了新的视野。 第二部分：矩阵群的结构与性质 在掌握了基础理论后，我们将深入挖掘矩阵群的内在结构和关键性质。 李群导论： 许多重要的矩阵群实际上是李群，即既是群又是光滑流形的结构。我们将介绍李群的基本概念，包括连通性、李代数以及指数映射。我们将探讨李群与其李代数之间的对应关系，这为分析矩阵群的局部结构提供了强大的工具。 李代数： 对于一个李群，其李代数是一个向量空间，并配备一个李括号运算。我们将详细讨论不同矩阵群（如 $GL(n, mathbb{F})$, $SL(n, mathbb{F})$, $O(n)$, $U(n)$, $Sp(2n)$）的李代数。我们将展示如何通过李代数来研究李群的性质，例如其生成元和紧致性。 紧致性与非紧致性： 矩阵群的紧致性是一个重要的性质，它对群的表示和分析有深远影响。我们将区分紧致群（如 $O(n), U(n)$）和非紧致群（如 $GL(n, mathbb{F})$），并讨论紧致性带来的性质，如酉表示的存在性。 群的生成元： 我们将研究如何用一组生成元来描述一个矩阵群。这将涉及对群的结构进行分解，并理解生成元之间的关系。 群的分类： 对于某些类别的矩阵群，例如有限群或紧致李群，已经有了成熟的分类理论。我们将介绍一些重要的分类结果，并展示如何利用这些分类来理解不同矩阵群的共性与差异。 第三部分：矩阵群的应用 本部分将展示矩阵群在各个领域的强大应用，揭示其作为统一语言和强大工具的角色。 几何学与拓扑学： 矩阵群在几何学中扮演着核心角色，它们描述了各种几何变换。例如，正交群描述了刚体旋转和反射，而仿射群则描述了更一般的线性变换。我们将探讨矩阵群如何用于研究流形、对称性和不变量。 物理学： 经典力学： 辛群在哈密顿力学中至关重要，它描述了相空间的正则变换，并与守恒律密切相关。 量子力学： 酉群在量子力学中扮演着核心角色，它们描述了量子态的演化和对称性。例如，$U(1)$ 群与电磁相互作用有关，而 $SU(2)$ 群则与自旋和弱相互作用有关。 粒子物理学： 标准模型基于李群，如 $SU(3) imes SU(2) imes U(1)$，这些群描述了基本粒子及其相互作用的对称性。我们将介绍这些群如何嵌入到更大的群结构中，以及它们在描述基本粒子性质方面的重要性。 密码学： 某些矩阵群的有限域上的性质，例如 $GL(n, mathbb{F}_q)$，被用于构建现代密码学算法。我们将讨论如何利用矩阵运算的复杂性来实现安全的加密和数字签名。 计算机科学与工程： 在计算机图形学中，矩阵群用于描述三维空间的变换，如平移、旋转和缩放。在信号处理和控制理论中，矩阵群也扮演着重要角色，用于分析系统的稳定性和动态行为。 代数与组合数学： 矩阵群的研究也与代数中的其他领域，如表示论、群代数以及组合数学中的一些问题紧密相连。 结论 《矩阵群：理论与应用》旨在提供一个结构清晰、内容详实的学习路径，帮助读者全面掌握矩阵群这一重要数学工具。我们相信，通过对矩阵群理论的深入理解和对其丰富应用的探索，读者将能够更好地理解和解决现代科学和数学中的诸多挑战。本书适合作为一本参考书，也可作为相关课程的教材，为所有对矩阵群感兴趣的读者打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

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这本《矩阵群组》简直是本时间杀手，我本来是想找本轻松的读物放松一下，结果一头扎进去，感觉像是误入了一个错综复杂的迷宫。作者在开篇就给我设了个局，引人入胜，但随后就开始铺陈那些我以为我能理解，结果却越来越晦涩难懂的概念。那些关于结构、变换和对称性的描述，读起来就像是喝了一杯加了太多香料的鸡尾酒，初尝或许有种异域风情，但多品几口就觉得过于浓烈，甚至有点齁人。我记得有几章专门讲了某个特定群的性质，那段落我来来回回读了不下五遍，感觉自己像个试图用勺子舀干海洋的人，每舀起一勺，水波晃动间又似乎重新填满了空虚。书中的图表和公式密密麻麻，虽然我能隐约感受到它们背后蕴含的某种深刻逻辑，但真正要将这些抽象符号与现实世界中的具体事物联系起来时，我的大脑就开始报警了。我怀疑作者是不是故意设置了这么多门槛，好让普通读者望而却步，只留下那些真正能在数学深渊中自如呼吸的“精英”才能领略其真谛。我最终还是放弃了追逐每一个细节，转而选择性地浏览，挑选那些勉强能抓住的珍珠，但整体感觉，这更像是一次精神上的长途跋涉，而非一次愉快的阅读体验。

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说实话，翻开这本书的时候，我期待的是那种能让我茅塞顿开，拍案叫绝的数学美感，但《矩阵群组》带给我的更多是一种知识上的压迫感。它不像某些科普读物那样，用生动的比喻和巧妙的类比将高深的理论软化，而是直接把概念的骨架生硬地摆在你面前，要求你自行去血肉填充。我特别欣赏作者在探讨某些特定例子时所展现出的那种一丝不苟的严谨性，但这种严谨性也成了我阅读过程中的主要障碍。有一次，我为了理解一个关于李群与代数之间关系的论述，不得不去查阅好几本背景知识的书籍，感觉这本书更像是一个专业领域的“索引”，而不是一个独立的故事线索。它对读者的预设知识要求极高，仿佛作者默认我们每个人都是从同一所顶尖大学的同一个实验室里出来的。那种强烈的“圈内话”氛围，让我这个圈外人倍感疏离。读到后面，我开始怀疑，这些复杂的理论结构，在现实世界的应用中，真的有这么复杂到需要如此层层叠叠的铺陈吗？也许是我的认知格局还不够，但这本书确实让我感受到了理论的冰冷和遥远。

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这本书的结构设计非常独特，它似乎更倾向于“深度优先”而不是“广度优先”。作者把大量的篇幅集中在对几个核心群结构的细致剖析上，这无疑满足了追求极致细节的专业人士的需求，但对我这种更倾向于宏观把握的读者来说，却成了一种负担。那些冗长的定理证明，虽然逻辑上无懈可击，但其行文方式过于陈旧和刻板，缺乏现代数学书籍中常见的那种引导性叙述。我经常需要在脑海中构建一个三维的模型来试图理解作者在二维平面上描绘的那个抽象空间，这种认知上的额外努力，极大地消耗了我的阅读热情。而且，书中的例子往往是高度专业化的，要真正理解这些例子是如何体现所讨论的群性质的，我需要花费比理解理论本身更多的时间去消化其背景知识。总而言之，这本书更像是一部为“同行”编写的、极其精密的参考手册，它为你提供精确的工具，但不会手把手地教你如何使用它们来搭建你的知识大厦。读完它，我感觉自己获得了一些精确的“零件”，但如何将它们组装成一个有意义的整体，还需要我付出更多的、来自外部的努力。

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拿到《矩阵群组》时，我本来对它抱有极大的热情，毕竟“矩阵”和“群”这两个词听起来就充满了力量感和结构美。然而，阅读体验远没有预想的那么酣畅淋漓。这本书的叙事节奏极其缓慢，而且非常偏重于抽象概念的构建，很少有能够落地生根的例子来辅助理解。我花了好大力气才进入状态，但一旦进入，又很快发现自己被困在了一个由定义、引理和推论构成的无菌环境中。最让我感到困惑的是，作者似乎对读者的背景知识有着一种近乎傲慢的自信，很多基础概念只是一带而过，甚至连符号的定义都写得含糊不清，让人不得不反复翻阅前面的章节去寻找蛛丝马迹。这本书的价值，我猜想，主要体现在它为那些已经具备深厚基础的研究人员提供了一个标准的参考框架，但对于我这种想要从入门到精通的读者来说，它就像是一部没有地图的探险指南，充满了危险和未知的深渊。读完之后，我感觉自己好像站在了一个宏伟但冰冷的大理石建筑前，虽然能感知到其规模，却触摸不到任何温暖的人性化细节。

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这本书的装帧和排版倒是中规中矩，纸张质量也对得起它的价格，但内容本身，简直是一场对耐心极限的严峻考验。我本来以为“群组”这个词会指向一些更具组织性或社会学的探讨，结果完全是数学的硬核世界。最让我抓狂的是，某些关键的定理的证明过程，写得极其跳跃，仿佛作者认为我们已经心领神会了中间那十几个至关重要的推理步骤。我试着自己补全，结果往往是陷入更深的逻辑死胡同。每一次试图跟上作者的思路，都像是在一个布满陷阱的场地上进行高空钢丝行走，稍有不慎就会跌落。而且，书中引用的参考资料和脚注也显得有些零散，不像是一个成熟体系的总结，反而更像是一系列专业讲座的未加整理的笔记。我甚至开始觉得，如果我不是为了完成某个课程作业，我绝对不会选择从头到尾去啃这本书。它需要极强的自律性和对特定分支数学的狂热爱好才能坚持读完，否则，它更适合作为工具书，在需要时查阅某一公式的精确表达，而不是拿来系统学习。

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will write a book review

评分☆☆☆☆☆

看这本薄薄的我能不能看懂...fuck

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