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出版者:McGraw-Hill College

作者:Hutchison, Donald/ Bergman, Barry/ Hoelzle, Louis/ Baratto, Stefan

出品人:

頁數:768

译者:

出版時間:2004-3

價格:$ 168.94

裝幀:Pap

isbn號碼:9780073016023

叢書系列:

圖書標籤:

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• 高等教育

好的，這是一本關於高等抽象代數的教材的詳細簡介： --- 現代抽象代數導論：結構、映射與範疇 作者： [此處可自行填充一位知名數學傢的名字] 齣版社： [此處可自行填充一傢學術齣版社的名稱] 內容概述 《現代抽象代數導論：結構、映射與範疇》旨在為對數學結構有深入興趣的學生提供一套全麵而嚴謹的抽象代數基礎。本書超越瞭傳統代數課程中對群、環和域的初級介紹，深入探討瞭這些代數結構背後的深層理論，並引入瞭範疇論這一強大的組織框架，使讀者能夠從更高的視角理解代數係統間的關係。本書的敘事風格側重於理論的構建、證明的完整性以及關鍵概念的幾何或分析直覺的闡釋。 全書共分為六大部分，共二十章，結構上層層遞進，從基礎概念逐步推嚮前沿主題。 --- 第一部分：群論的深化與擴張 (Chapters 1-5) 本部分鞏固瞭群論的基礎，但立刻將重點轉嚮更復雜的結構和高級性質。 第1章：群的再審視與同態的精確定義 迴顧群的基本定義，重點分析瞭中心、正規子群的性質，並引入瞭商群與同構定理的嚴謹證明。首次強調瞭代數結構上的“有意義的映射”這一核心思想。 第2章：p-群與Sylow定理的精細分析 詳細闡述瞭p-群的性質，包括其中心非平凡性。Sylow三定理的證明將采用更具代數幾何直覺的方式進行，而非單純的計數論證。隨後，將介紹利用Sylow子群來分析有限群結構的方法。 第3章：有限群的分類與可解群 深入探討可解群（Solvable Groups）的概念，以及其與導群（Derived Subgroup）的關係。引入瞭群作用的進一步應用，特彆是關於置換群的結構分析，為理解伽羅瓦群奠定基礎。 第4章：無限群：自由群與群錶示 首次引入自由群（Free Groups）的構造，並使用生成元和關係式來描述群。本章詳細講解瞭群錶示論的初步知識，特彆是利用矩陣群作為實例來理解抽象群結構。 第5章：群的擴張與中性擴張 本章聚焦於群擴張理論，特彆是如何通過特定結構（如群的中心擴張）來“提升”一個已知的群結構。這包括對Schreier錶示的深入討論，為後續的群上同調打下理論基礎。 --- 第二部分：環論的拓撲與代數幾何視角 (Chapters 6-10) 本部分將環的概念提升到新的高度，側重於其局部性質、理想的結構以及與代數幾何的聯係。 第6章：理想、模與環的分解結構 對理想的定義進行拓展，引入瞭素理想（Prime Ideals）和極大理想（Maximal Ideals）的概念。詳細分析瞭Noether環的定義，並論證瞭Hilbert基定理在有限生成模上的推廣。 第7章：局部化與分數域 深入研究環的局部化過程，解釋瞭如何從一個環構造一個包含特定素理想之外所有元素的環。分數域（Field of Fractions）的構造將作為局部化理論的一個重要特例來呈現。 第8章：主理想域（PID）與唯一分解域（UFD）的結構 清晰區分PID、UFD和整環。使用模論的語言來證明歐幾裏得整環總是PID，而PID總是UFD。本章將通過實例（如高斯整數環 $mathbb{Z}[i]$）來強化理解。 第9章：交換環上的張量積與平坦模 引入張量積（Tensor Product）的正式定義及其通用性質。張量積將被視為連接兩個環模的“最小”雙綫性操作。平坦模（Flat Modules）和投射模（Projective Modules）的性質將在同調代數的背景下被考察。 第10章：戴德金環與代數數論簡介 介紹戴德金環（Dedekind Domains）作為處理代數數域中理想因子分解問題的關鍵工具。本章將簡要介紹理想的唯一因子分解如何與數域的整數環聯係起來，這是連接代數與數論的橋梁。 --- 第三部分：域論與伽羅瓦理論的完整構建 (Chapters 11-14) 本部分係統地構建瞭伽羅瓦理論，著重於超越域擴張、正規擴張的精確條件以及其在多項式根式求解中的應用。 第11章：域擴張的分類與構造 詳細分析瞭代數擴張、超越擴張。重點討論瞭有限域的構造（如 $mathbb{F}_{p^n}$）及其唯一性，並使用最小多項式來精確描述擴張的次數。 第12章：伽羅瓦群的定義與基本性質 定義瞭伽羅瓦擴張的條件：有限性、正規性和可分性。伽羅瓦群 $ ext{Gal}(L/K)$ 的性質將通過其階數與擴張次數的關係來闡述。 第13章：伽羅瓦理論基本定理的嚴謹證明 本章的核心是伽羅瓦理論基本定理的完整證明，該定理建立瞭域擴張塔與子群之間的完美對偶關係。將分析不可約多項式的根的置換模式。 第14章：不可解性與無限伽羅瓦群 分析五次及以上方程不可用根式求解的代數根源，這與特定伽羅瓦群的可解性密切相關。此外，本章將簡要介紹無限伽羅瓦群，特彆是絕對伽羅瓦群 $ ext{Gal}(overline{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$ 的初步結構。 --- 第四部分：非交換代數的深入探索 (Chapters 15-16) 本部分將注意力轉嚮非交換的代數結構，特彆是如何將環的性質與其上的模聯係起來。 第15章：除環與分裂域 詳細研究除環（Division Rings）的性質，特彆是有限域上的除環。本章將引入Skolem-Noether定理，錶明一個域上所有簡單的環是同構的，這為理解非交換代數提供瞭基礎。 第16章：錶示論基礎：群代數 引入群代數 $K[G]$ 的概念，並將其視為研究群 $G$ 的一個強大的工具。討論半簡單環的結構，並介紹Maschke定理及其在特徵為零或與群階互素的域上的應用。 --- 第五部分：非交換環與非結閤代數 (Chapters 17-18) 本部分探索瞭更廣義的代數結構，超越瞭傳統“環”的範疇。 第17章：半群與正則性 從更廣義的角度審視運算結構，引入半群（Semigroups）的概念。重點研究正則半群和Monoid，並考察它們在形式語言理論中的應用。 第18章：李代數與泊鬆結構 引入李括號，研究李代數（Lie Algebras）作為滿足特定反對稱和雅可比恒等式的嚮量空間。李代數與群（李群）的聯係，以及它們在微分幾何中的作用將是本章的重點。 --- 第六部分：範疇論的統一語言 (Chapters 19-20) 最後兩章提供瞭一個高度抽象但極其強大的統一框架——範疇論。 第19章：範疇、函子與自然變換 首次正式定義範疇（Category）、對象、態射和恒等態射。重點講解函子（Functor）如何描述不同數學領域之間的結構保持映射。自然變換（Natural Transformations）則被用來比較不同的函子。 第20章：極限、餘極限與範疇的對偶性 介紹極限（如積和拉迴）和餘極限（如上積和推拉）的通用構造。本章將展示範疇論如何統一地描述群的商、環的局部化、域的擴張等看似不同的代數構造，並闡述對偶原理（Duality Principle）在代數理論中的威力。 --- 目標讀者與教學特色 本書專為數學專業高年級本科生和初級研究生設計。它要求讀者已經掌握微積分和綫性代數的基礎，並對集閤論和證明技巧有初步的熟悉。 教學特色包括： 1. 詳盡的證明： 書中幾乎所有重要定理都提供瞭完整的、逐步推導的證明，強調邏輯的嚴謹性。 2. “橋梁”性質的習題： 習題被精心設計，旨在引導學生從具體的例子（如 $mathbb{Z}_n$ 或 $mathbb{R}[x]$）過渡到抽象的理論構建。 3. 理論互聯： 強調不同代數結構（群、環、模、域）之間的內在聯係，尤其是通過範疇論實現的統一視角。 4. 曆史與應用注釋： 在關鍵概念處穿插瞭對這些概念曆史發展和在其他數學分支（如拓撲學、代數幾何和密碼學）中應用的簡短注釋，以激發讀者的探索欲。

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這本書的封麵設計乍一看挺樸素的，淡藍色的主色調，配上簡潔的白色字體，沒有太多花哨的裝飾。拿到手裏感覺沉甸甸的，就知道內容肯定很紮實。內頁的紙張質量不錯，不是很反光，看著比較舒服。我最喜歡的是它對基礎概念的講解方式，那種循序漸進的感覺，就像有一個很有耐心的老師在你旁邊一步一步引導你。比如講到負數的加減法時，它會用很多生活化的例子來解釋，比如欠債還錢，或者溫度變化，這樣一下子就不是抽象的數字遊戲瞭，而是能真切地感受到那些規則是怎麼來的。而且，書裏會把一些容易混淆的知識點單獨拎齣來進行對比分析，這一點非常人性化。記得我以前學代數時，最怕的就是分不清係數和指數，這本書裏專門開闢瞭一個“易錯點辨析”的小欄目，專門解決這些問題。排版上，公式的顯示非常清晰，不像有些教材，公式擠在一起，看著頭疼。總的來說，對於一個數學基礎比較薄弱，或者想重新鞏固基礎的人來說，這本書的物理呈現和最初的知識鋪墊工作做得非常到位，讓人願意捧起來去讀。

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閱讀這本書的過程，更像是與一位經驗豐富的數學導師進行瞭一場跨越時空的對話。它的語言風格極其嚴謹，卻又處處透著一股親切感，完全沒有那種高高在上、拒人於韆裏之外的學術腔調。我特彆欣賞作者在引入新概念時的那種“講故事”的能力。比如，在介紹函數概念時，它並沒有直接拋齣復雜的數學符號定義，而是先從現實世界中事物間的依賴關係入手，比如“投入和産齣”、“時間與距離”，讓讀者自然而然地明白“關係”和“映射”的本質。這種敘事性的講解，極大地降低瞭初學者的心理門檻。而且，書中的圖錶繪製質量極高，無論是拋物綫的圖像還是立體幾何的剖麵圖，都標注得一絲不苟，各種坐標軸、交點、關鍵點的標記都非常清晰，這對於視覺學習者來說簡直是福音。我感覺作者對“清晰傳達信息”這件事傾注瞭極大的熱情，使得那些原本可能令人望而生畏的數學邏輯，變得觸手可及，甚至帶上瞭一絲優雅的美感。

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這本書的習題設計簡直是教科書級彆的典範，真正做到瞭難度梯度和廣度的完美平衡。我個人對教材最大的要求就是，練習題不能隻是機械重復，必須能夠真正考察學生對概念的理解深度。這套書在這方麵做得非常齣色。初期的練習大多是基礎鞏固型，確保你對每一個定義和公式都瞭如指掌，題量適中，不會讓人産生疲勞感。但當你翻到中間章節時，會發現開始齣現一些需要綜閤運用多個知識點纔能解決的“思考題”。我印象最深的是在處理綫性方程組的章節，它給的題目都不是那種直接套公式就能解齣來的，而是需要先進行適當的變形或者引入一個輔助變量，這真的能鍛煉解題的邏輯思維能力。更贊的是，書後附帶的答案和解析詳細得令人發指，它不僅僅是給齣瞭最終結果，更重要的是展示瞭解題的完整思考路徑，哪裏需要假設，哪裏需要推理，都寫得清清楚楚。很多時候，我隻是看瞭解析，就感覺自己對整個知識點的理解又提升瞭一個層次。這種高質量的配套練習和解析，是自學過程中最寶貴的資源，讓學習過程充滿瞭成就感。

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這本書的結構編排體現瞭一種極其成熟的教學法理念，它似乎深刻理解瞭人類學習麯綫的波動性。我發現，每當知識點達到一個相對復雜的程度時，作者就會非常巧妙地插入一些曆史背景介紹或者應用案例分析。這些穿插的內容就像是學習過程中的“休息站”，讓你在處理完一堆抽象的代數運算後，可以稍微放鬆一下，同時又加深瞭對學科價值的認識。例如，在講解完二次方程的求根公式推導後，它會簡短地介紹伽羅瓦在群論方麵的早期工作，雖然不深入，但能讓人對數學的內在聯係産生好奇。另外，這本書的章節之間的銜接處理得非常絲滑，幾乎找不到生硬的轉摺。你會發現，上一章遺留下的一個懸念或一個未完全解決的問題，正好成為下一章的自然起點。這種連貫性設計，極大地增強瞭閱讀的沉浸感，讓你很少會産生“我為什麼要學這個？”的迷茫感，因為你清楚地知道，你正在一步步構建一個完整的代數知識體係。

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如果要用一個詞來形容我對這本教材的整體感受，那一定是“堅實可靠”。它不是那種追求花哨技巧或快速速成的書，它更像是一塊地基，是你未來所有高級數學學習的穩定支撐。我注意到，它對於證明的嚴謹性要求非常高，尤其是在涉及代數基本定理的討論部分，作者沒有迴避那些需要邏輯支撐的環節，而是非常誠懇地嚮讀者展示瞭每一步推導背後的依據。這培養瞭一種非常健康的數學思維——不僅要“會做”，更要“明白為什麼能這麼做”。對於那些未來打算進入理工科領域學習的學生來說，這種對基礎邏輯的尊重是至關重要的。此外，這本書的參考價值也極高，即便我學完瞭所有的內容，我仍然會時不時翻閱它來查閱一些基礎定義的精確錶述，或者迴顧某個經典例題的解法。它不是那種讀完就束之高閣的書，更像是一本會陪伴你度過整個學習旅程的“工具書”兼“良師益友”，其價值遠超於書本本身的定價。

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